Pappus z Aleksandrii -Pappus of Alexandria

Ten artykuł dotyczy greckiego matematyka. Aby poznać strukturę kwiatu, zobacz Pappus (botanika) .

Strona tytułowa Mathematicae Collectiones Pappusa , przetłumaczona na łacinę przez Federico Commandino (1589).

Pappus z Aleksandrii ( / ˈ p æ p ə s / ; gr . Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; ok.   290  - ok.   350 ne) był jednym z ostatnich wielkich greckich matematyków starożytności, znanych z Synagogi (Συναγωγή) lub Zbiorów ( ok.   340 ) oraz twierdzenia Pappusa o sześciokątach w geometrii rzutowej . Nic nie wiadomo o jego życiu, poza tym, co można znaleźć w jego własnych pismach: że miał syna o imieniu Hermodorus i był nauczycielem w Aleksandrii.

Collection , jego najbardziej znane dzieło, jest kompendium matematyki w ośmiu tomach, z których większość przetrwała. Obejmuje szeroki zakres tematów, w tym geometrię , matematykę rekreacyjną , podwojenie sześcianu , wielokąty i wielościany .

Kontekst

Pappus działał w IV wieku naszej ery. W okresie powszechnej stagnacji na studiach matematycznych wyróżnia się jako niezwykły wyjątek. „Jak daleko był ponad swoimi współczesnymi, jak mało przez nich doceniany lub rozumiany, świadczy brak odniesień do niego u innych greckich pisarzy oraz fakt, że jego praca nie miała wpływu na powstrzymanie upadku nauk matematycznych” pisze Thomas Little Heath . „Pod tym względem los Pappusa do złudzenia przypomina los Diofanta ”.

Randki

W swoich zachowanych pismach Pappus nie podaje daty autorów, z których prac korzysta, ani czasu (ale patrz poniżej), w którym sam pisał. Gdyby nie były dostępne żadne inne informacje o dacie, wszystko, co można by było wiedzieć, to to, że był on późniejszy niż Ptolemeusz (zm. ok. 168 r.), którego cytuje, i wcześniej niż Proclus (ur . ok.   411 r. ), który go cytuje.

Suda z X wieku stwierdza, że ​​Pappus był w tym samym wieku co Theon z Aleksandrii , który działał za panowania cesarza Teodozjusza I (372–395). Inną datę podaje notatka na marginesie rękopisu z końca X wieku (kopia tabeli chronologicznej tego samego Theona), w której obok wpisu o cesarzu Dioklecjanie (panującym 284-305) stwierdza się, że „w tym czasie czas napisał Pappus”.

Prawdziwa data pochodzi jednak z datowania zaćmienia Słońca, o którym wspomina sam Pappus, kiedy w swoim komentarzu do Almagestu wylicza „miejsce i czas koniunkcji, które dały początek zaćmieniu w Tybi w 1068 po Nabonasarze ”. To oznacza 18 października 320, więc Pappus musiał pisać około 320.

Pracuje

Kolekcje Matematyki , 1660

Wielkie dzieło Pappusa, zawarte w ośmiu księgach i zatytułowane Synagoga lub Zbiór , nie zachowało się w pełnej formie: pierwsza księga zaginęła, pozostałe ucierpiały znacznie. Suda wymienia inne dzieła Pappusa: Χωρογραφία οἰκουμενική ( Chorographia oikoumenike czyli Opis zamieszkałego świata ) , komentarz do czterech ksiąg Almagestu Ptolemeusza , Ποταμοὺς τοὺς ἐν ΛιβὈιρ ( The Interpretation of The ). Sam Pappus wspomina o innym własnym komentarzu do Ἀνάλημμα ( Analemma ) Diodora z Aleksandrii . Pappus napisał także komentarze do Elementów Euklidesa ( których fragmenty zachowały się w Proklosie i Scholii , podczas gdy w księdze dziesiątej znajduje się w rękopisie arabskim) oraz do Ἁρμονικά Ptolemeusza ( Harmonia ).

Federico Commandino przetłumaczył Kolekcję Pappusa na łacinę w 1588 roku. Niemiecki klasyk i historyk matematyczny Friedrich Hultsch (1833-1908) opublikował trzytomową prezentację przekładu Commandino z wersją grecką i łacińską (Berlin, 1875-1878). Korzystając z pracy Hultscha, belgijski historyk matematyki Paul ver Eecke jako pierwszy opublikował tłumaczenie Kolekcji na współczesny język europejski; jego dwutomowe tłumaczenie francuskie nosi tytuł Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique (Paryż i Brugia, 1933).

Kolekcja

Charakterystyczną cechą Zbioru Pappusa jest to, że zawiera on systematycznie uporządkowany opis najważniejszych wyników uzyskanych przez jego poprzedników, a po drugie, notatki wyjaśniające lub rozszerzające poprzednie odkrycia. Odkrycia te tworzą w istocie tekst, na którym Pappus rozwija dyskursywnie. Heath uważał, że systematyczne wstępy do różnych książek są cenne, ponieważ jasno przedstawiają zarys treści i ogólny zakres poruszanych tematów. Z tych wstępów można ocenić styl pisania Pappusa, który jest doskonały, a nawet elegancki, gdy uwalnia się od kajdan matematycznych formuł i wyrażeń. Heath stwierdził również, że jego charakterystyczna dokładność sprawiła, że ​​jego Kolekcja była „najbardziej godnym podziwu substytutem tekstów wielu cennych traktatów wcześniejszych matematyków, których pozbawił nas czas”.

Ocalałe części Kolekcji można podsumować w następujący sposób.

Możemy tylko przypuszczać, że utracona Księga I , podobnie jak Księga II, dotyczyła arytmetyki, a Księga III została wyraźnie wprowadzona jako początek nowego tematu.

Cała księga II (której poprzednia część zaginęła, istniejący fragment zaczyna się w połowie zdania czternastego) omawia sposób mnożenia z nienazwanej księgi Apoloniusza z Pergi . Ostatnie propozycje dotyczą mnożenia wartości liczbowych liter greckich w dwóch wierszach poezji, co daje dwie bardzo duże liczby w przybliżeniu równe2 × 10 54 i2 × 1038 . _

Księga III zawiera zagadnienia geometryczne, płaskie i bryłowe. Można go podzielić na pięć sekcji:

  1. O słynnym problemie znajdowania dwóch średnich proporcjonalnych między dwoma podanymi liniami, które powstały z powielenia sześcianu, sprowadzonego przez Hipokratesa z Chios do pierwszej. Pappus podaje kilka rozwiązań tego problemu, w tym metodę dokonywania kolejnych przybliżeń rozwiązania, którego znaczenia najwyraźniej nie docenił; dodaje własne rozwiązanie bardziej ogólnego problemu znalezienia geometrycznego boku sześcianu, którego zawartość jest w dowolnym stosunku do zawartości danego.
  2. O środkach arytmetycznych, geometrycznych i harmonicznych między dwiema liniami prostymi oraz problem przedstawiania wszystkich trzech w jednej i tej samej figurze geometrycznej. Służy to jako wprowadzenie do ogólnej teorii środków, z których Pappus wyróżnia dziesięć rodzajów i podaje tabelę przedstawiającą przykłady każdego z nich w liczbach całkowitych.
  3. O ciekawym problemie zaproponowanym przez Euklidesa I. 21.
  4. Na wpisywaniu każdego z pięciu wielościanów foremnych w kulę. Tutaj Pappus zauważył, że dwunastościan foremny i dwudziestościan foremny mogą być wpisane w tę samą sferę, tak że ich wszystkie wierzchołki leżą na tych samych 4 okręgach szerokości geograficznej, przy czym 3 z 12 wierzchołków dwudziestościanu na każdym okręgu i 5 z 20 wierzchołków dwunastościanu na każdym okręgu. Ta obserwacja została uogólniona na wielowymiarowe wielowymiarowe wielowymiarowe .
  5. Dodatek późniejszego pisarza o innym rozwiązaniu pierwszego problemu książki.

W księdze IV tytuł i przedmowa zostały utracone, więc program trzeba było pobrać z samej książki. Na początku jest dobrze znane uogólnienie Euklidesa I.47 ( Twierdzenie Pappusa o polu ), następnie prześledź różne twierdzenia o kole, prowadząc do problemu zbudowania koła, które będzie obejmowało trzy dane okręgi, stykając się ze sobą dwoma. i dwa. Ta i kilka innych propozycji dotyczących kontaktu, np. przypadki stykających się ze sobą okręgów wpisanych w figurę złożoną z trzech półokręgów, zwaną arbelos ("nóż szewski"), tworzą pierwszy rozdział księgi; Pappus przechodzi następnie do rozważenia pewnych własności spirali Archimedesa , konchoidy Nikomedesa (wspomnianej już w księdze I jako dostarczającej metody podwojenia sześcianu) oraz krzywej odkrytej najprawdopodobniej przez Hippiasza z Elidy ok. 420 r. p.n.e. imię, τετραγωνισμός lub quadratrix . Twierdzenie 30 opisuje konstrukcję krzywej podwójnej krzywizny zwanej przez Pappusa helisą na sferze; opisuje go punkt poruszający się jednostajnie po łuku wielkiego koła, który sam obraca się jednostajnie wokół swojej średnicy, punkt opisujący ćwiartkę i wielkie koło jako pełny obrót w tym samym czasie. Znajduje się obszar powierzchni zawarty między tą krzywą a jej podstawą – pierwszy znany przypadek kwadratury zakrzywionej powierzchni. Pozostała część książki traktuje o trisekcji kąta i rozwiązywaniu bardziej ogólnych problemów tego samego rodzaju za pomocą czworokąta i spirali. Jednym z rozwiązań tego pierwszego problemu jest pierwsze odnotowane użycie własności stożka (hiperboli) w odniesieniu do ogniska i kierownicy.

W księdze V , po interesującej przedmowie dotyczącej wielokątów foremnych i zawierającej uwagi o sześciokątnym kształcie komórek plastrów miodu , Pappus zajmuje się porównaniem pól różnych figur płaskich , które mają ten sam obwód ( za traktatem Zenodora ) . na ten temat) oraz objętości różnych brył, które mają wszystkie te same powierzchnie, i na koniec porównanie pięciu regularnych brył Platona . Nawiasem mówiąc, Pappus opisuje trzynaście innych wielościanów ograniczonych równobocznymi i równokątnymi, ale nie podobnymi wielokątami, odkrytymi przez Archimedesa i znajduje, metodą przypominającą Archimedesa, powierzchnię i objętość kuli.

Zgodnie z przedmową księga VI ma na celu rozwiązanie trudności występujących w tzw. „mniejszych dziełach astronomicznych” (Μικρὸς Ἀστρονομούµενος), czyli dziełach innych niż Almagest . W związku z tym komentuje Sphaerica Teodozjusza , Ruchomą sferę Autolykosa , książkę Teodozjusza o Dniu i Nocy , traktat Arystarcha O wielkości i odległościach Słońca i Księżyca oraz Optykę Euklidesa i Fenomeny .

Księga VII

Odkąd Michel Chasles zacytował tę książkę Pappusa w swojej historii metod geometrycznych, stała się ona przedmiotem znacznej uwagi.

Przedmowa Księgi VII wyjaśnia terminy analiza i synteza oraz rozróżnienie między twierdzeniem a problemem. Pappus wylicza następnie dzieła Euklidesa , Apoloniusza , Arysteusza i Eratostenesa , łącznie trzydzieści trzy księgi, których treść zamierza podać wraz z lemami niezbędnymi do ich wyjaśnienia. Wspominając o poryzmach Euklidesa mamy opis stosunku poryzmu do twierdzenia i problemu. W tej samej przedmowie znajduje się: (a) słynny problem znany pod imieniem Pappusa, często wypowiadany w ten sposób: Znalezienie pewnej liczby linii prostych, aby znaleźć położenie geometryczne punktu w taki sposób, aby długości pionów na lub (bardziej ogólnie) ) linie poprowadzone z niej ukośnie przy danych nachyleniach do, dane linie spełniają warunek, że iloczyn niektórych z nich może mieć stały stosunek do iloczynu pozostałych; (Pappus nie wyraża tego w tej formie, ale za pomocą układu stosunków, mówiąc, że jeśli dany stosunek jest złożony ze stosunków par jednej z jednego zbioru i jednej z drugiej z tak narysowanych linii i ze stosunku par nieparzystego, jeśli istnieje, do danej prostej, punkt będzie leżał na krzywej podanej w pozycji); (b) twierdzenia, które zostały ponownie odkryte i nazwane na cześć Paula Guldina , ale wydaje się, że zostały odkryte przez samego Pappusa.

Księga VII zawiera również

  1. pod nagłówkiem De Sectione Determinata Apoloniusza, lematy, które po dokładnym zbadaniu są uważane za przypadki inwolucji sześciu punktów;
  2. ważne lematy dotyczące poryzmów Euklidesa, w tym tak zwane twierdzenie Pappusa o sześciokątach ;
  3. lemat o Loci powierzchni Euklidesa, który stwierdza, że ​​miejsce punktu takiego, że jego odległość od danego punktu ma stały stosunek do jego odległości od danej linii prostej, jest stożkiem , po czym następuje dowód, że stożka jest parabola , elipsa lub hiperbola według stałego stosunku jest równy, mniejszy lub większy niż 1 (pierwsze zarejestrowane dowody właściwości, które nie pojawiają się u Apoloniusza).

Cytowanie przez Chaslesa Pappusa zostało powtórzone przez Wilhelma Blaschke i Dirka Struika . W Cambridge w Anglii John J. Milne dał czytelnikom korzyść z lektury Pappusa. W 1985 roku Alexander Jones napisał na ten temat pracę magisterską na Brown University . Poprawiona forma jego tłumaczenia i komentarza została opublikowana przez Springer-Verlag w następnym roku. Jonesowi udało się pokazać, w jaki sposób Pappus manipulował pełnym czworokątem , wykorzystywał relację sprzężeń projekcyjnych harmonicznych i wykazywał świadomość stosunków krzyżowych punktów i linii. Co więcej, pojęcie bieguna i bieguna zostało ujawnione jako lemat w Księdze VII.

Księga VIII

Wreszcie, księga VIII zajmuje się głównie mechaniką, właściwościami środka ciężkości i niektórymi siłami mechanicznymi. Przeplatają się niektóre propozycje dotyczące czystej geometrii. Twierdzenie 14 pokazuje, jak narysować elipsę przez pięć danych punktów, a Propozycja 15 podaje prostą konstrukcję osi elipsy, gdy podana jest para sprzężonych średnic .

Dziedzictwo

Kolekcja Pappusa była praktycznie nieznana Arabom i średniowiecznym Europejczykom, ale wywarła wielki wpływ na matematykę XVII wieku po przetłumaczeniu na łacinę przez Federico Commandino . Arithmetica Diofanta i Kolekcja Pappusa były dwoma głównymi źródłami Isagoge in artem analyticam Viète ( 1591). Problem Pappusa i jego uogólnienie doprowadziły Kartezjusza do opracowania geometrii analitycznej . Fermat opracował również swoją wersję geometrii analitycznej i metodę Maxima i Minima na podstawie streszczeń Pappusa dotyczących zaginionych dzieł Apoloniusza: Plane Loci i On Determinate Section . Inni matematycy pod wpływem Pappusa to Pacioli , da Vinci , Kepler , van Roomen , Pascal , Newton , Bernoulli , Euler , Gauss , Gergonne , Steiner i Poncelet .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Atrybucja:

Dalsza lektura

  • „Pappus z Aleksandrii (mieszkał ok. 200-350 ne)” . Słownik biografii naukowej Hutchinsona . Wydawnictwo Helikon. 2004. Grecki matematyk, astronom i geograf, którego główne znaczenie tkwi w komentarzach do prac matematycznych jego poprzedników
  • Eecke, Paul Ver (1933). Pappus d'Alexandrie: La Collection Mathématique avec une Introduction et des Notes (2 tomy Fondation Universitaire de Belgique ed.). Paryż: Albert Blanchard.

Zewnętrzne linki