SL ₂ ( R ) -SL₂(R)

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro obraz suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny akcja Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupowy V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór Koło Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v T mi

W matematyce , w szczególnym liniową grupę SL (2, R) lub SL ₂ (R) jest grupa 2 x 2 rzeczywistym macierzy z wyznacznik jednego:

${\ Displaystyle {\ mbox {SL}} (2, \ mathbf {R} ) = \ lewo \ {{\ zacząć {pmatrix} a & b \ \ c & d \ koniec {pmatrix}} \ dwukropek a, b, c, d\ w \mathbf {R} {\mbox{ i }}ad-bc=1\right\}.}$

Jest to połączona, niekompaktowa, prosta, rzeczywista grupa Liego wymiaru 3 z zastosowaniami w geometrii , topologii , teorii reprezentacji i fizyce .

SL(2,  R ) działa na złożonej górnej półpłaszczyźnie przez ułamkowe przekształcenia liniowe . Działanie grupowe rozkłada się przez iloraz PSL(2, R) ( specjalna projekcyjna grupa liniowa 2 × 2 nad R ). Dokładniej,

PSL(2,  R ) = SL(2,  R ) / {± I },

gdzie I oznacza macierz identyczności 2 × 2 . Zawiera grupę modułową PSL(2,  Z ).

Również blisko spokrewniona jest podwójna grupa pokrywająca Mp(2,  R ), grupa metaplektyczna (myślenie o SL(2,  R ) jako grupie symplektycznej ).

Inną powiązaną grupą jest SL ^± (2,  R ), grupa macierzy rzeczywistych 2 × 2 z wyznacznikiem ±1; jest to jednak częściej używane w kontekście grupy modułowej .

Opisy

SL (2,  R ) oznacza grupę wszystkich liniowych przemian z R ² , które zachowują zorientowaną powierzchnię . Jest izomorficzny z grupą symplektyczną Sp(2,  R ) i specjalną grupą unitarną SU(1,1) . Jest również izomorficzny z grupą kokwaternionów o jednostkowej długości . Grupa SL ^± (2,  R ) zachowuje obszar niezorientowany: może odwrócić orientację.

Iloraz PSL(2,  R ) ma kilka interesujących opisów:

• Jest to grupa orientacji -preserving projekcyjne przemian z rzeczywistym rzutowej linii R ∪ {∞}.
• Jest to grupa konforemnych automorfizmy na kole jednostkowym .
• Jest to grupa orientacji -preserving izometrii o hiperbolicznej płaszczyzną .
• Jest to ograniczona grupa Lorentza trójwymiarowej przestrzeni Minkowskiego . Równoważnie jest izomorficzny z nieokreśloną grupą ortogonalną SO ⁺ (1,2). Wynika z tego, że SL(2,  R ) jest izomorficzny z grupą spinową Spin(2,1) ⁺ .

Elementy grupy modularnej PSL(2,  Z ) mają dodatkowe interpretacje, podobnie jak elementy grupy SL(2,  Z ) (jako przekształcenia liniowe torusa), a interpretacje te można również rozpatrywać w świetle ogólnej teorii SL(2,  R ).

Homografie

Elementami PSL(2,  R ) są homografie na rzeczywistej prostej rzutowej R ∪ {∞} :

${\ Displaystyle [x, 1] \ mapsto [x, \ 1] {\ zacząć {pmatrix} a & c \ \ b i d \ koniec {pmatrix}} \ = \ [ax + b, \ cx + d] \ = \, \ lewo[{\frac {ax+b}{cx+d}},\ 1\prawo].}$

Te przekształcenia rzutowe tworzą podgrupę PSL(2,  C ), która działa na sferę Riemanna przez przekształcenia Möbiusa .

Kiedy rzeczywista linia jest uważana za granicę płaszczyzny hiperbolicznej , PSL(2,  R ) wyraża ruchy hiperboliczne .

transformacje Möbiusa

Elementy PSL(2,  R ) działają na płaszczyźnie zespolonej przez transformacje Möbiusa:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;\;{\mbox{(gdzie}}a,b,c,d\w \mathbf {R} {\mbox{)}}.}$

Jest to dokładnie zbiór przekształceń Möbiusa, które zachowują górną półpłaszczyznę . Wynika z tego, że PSL(2,  R ) jest grupą konformalnych automorfizmów górnej półpłaszczyzny. Według twierdzenia Riemanna o odwzorowaniu jest on również izomorficzny z grupą automorfizmów konformalnych dysku jednostkowego.

Te transformacje Möbiusa działają jako izometrie modelu górnej półpłaszczyzny przestrzeni hiperbolicznej, a odpowiadające im transformacje Möbiusa dysku są hiperbolicznymi izometriami modelu dysku Poincarégo .

Powyższy wzór może być również użyty do zdefiniowania przekształceń Möbiusa liczb podwójnych i podwójnych (aka split-complex) . Odpowiednie geometrie pozostają w nietrywialnych relacjach z geometrią Łobaczewskiego .

Reprezentacja łączona

Grupa SL(2,  R ) działa na swoją algebrę Liego sl(2,  R ) przez koniugację (pamiętaj, że elementy algebry Liego są również macierzami 2 × 2), dając wierną trójwymiarową liniową reprezentację PSL(2,  R ) ). Można to alternatywnie opisać jako działanie PSL(2,  R ) na przestrzeń form kwadratowych na R ² . Rezultatem jest następująca reprezentacja:

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} a&b\\c&d\koniec {bmatrix}}\mapsto {\zacząć {bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d ^{2}\koniec{bmatrycy}}.}$

Forma Killing na sl(2,  R ) ma sygnaturę (2,1) i wywołuje izomorfizm między PSL(2,  R ) a grupą Lorentza SO ⁺ (2,1). To działanie PSL(2,  R ) na przestrzeń Minkowskiego ogranicza się do izometrycznego działania PSL(2,  R ) na hiperboloidalny model płaszczyzny hiperbolicznej.

Klasyfikacja elementów

Wartości własne elementu A ∈ SL(2,  R ) spełniają wielomian charakterystyczny

${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} \, - \, \ operatorname {tr} (A) \ \ lambda \ + \ 1 \, = \ 0}$

i dlatego

${\ Displaystyle \ Lambda = {\ Frac {\ operatorname {tr} (A) \ pm {\ sqrt {\ operatorname {tr} (A) ^ {2}-4}}} {2}}.}$

Prowadzi to do następującej klasyfikacji pierwiastków, z odpowiednim działaniem na płaszczyźnie euklidesowej:

• Jeśli |tr( A )| < 2, to A nazywa się eliptycznym i jest sprzężone z rotacją .
• Jeśli |tr( A )| = 2, to A nazywa się parabolicznym i jest odwzorowaniem ścinania .
• Jeśli |tr( A )| > 2, to A nazywa się hiperbolicznym i jest odwzorowaniem ściśnięcia .

Nazwy odpowiadają klasyfikacji przekrojów stożkowych według mimośrodu : jeśli zdefiniujemy mimośród jako połowę wartości bezwzględnej śladu (ε = ½ tr; podzielenie przez 2 koryguje wpływ wymiaru, podczas gdy wartość bezwzględna odpowiada pominięciu całkowitego współczynnika ±1 tak jak podczas pracy w PSL(2, R )), to daje: , eliptyczny; , paraboliczny; , hiperboliczny. ${\ Displaystyle \ epsilon <1}$${\ Displaystyle \ epsilon =1}$${\displaystyle \epsilon>1}$

Element tożsamości 1 i element tożsamości negatywne -1 (w PSL(2,  R ) są takie same), mają ślad ±2, a zatem według tej klasyfikacji są elementami parabolicznymi, chociaż często są rozpatrywane oddzielnie.

Ta sama klasyfikacja jest stosowana dla SL(2,  C ) i PSL(2,  C ) ( przekształcenia Möbiusa ) i PSL(2,  R ) (rzeczywiste przekształcenia Möbiusa), z dodatkiem przekształceń „loksodromicznych” odpowiadających złożonym śladom; analogiczne klasyfikacje są stosowane gdzie indziej.

Podgrupa, który jest zawarty z eliptycznych (odpowiednio, paraboliczny, hiperboliczny) elementów, oraz tożsamość i negatywnej identyfikacji, jest nazywany eliptyczny podgrupy (odpowiednio paraboliczny podgrupy , hiperboliczny podgrupy ).

Jest to klasyfikacja na podzbiory, a nie na podgrupy: zbiory te nie są zamykane przy mnożeniu (iloczyn dwóch elementów parabolicznych nie musi być paraboliczny i tak dalej). Jednak wszystkie elementy są sprzężone w jedną z 3 standardowych podgrup jednoparametrowych (prawdopodobnie razy ±1), jak opisano poniżej.

Topologicznie, ponieważ ślad jest mapą ciągłą, elementy eliptyczne (z wyłączeniem ±1) są zbiorem otwartym , podobnie jak elementy hiperboliczne (z wyłączeniem ±1), natomiast elementy paraboliczne (z wyłączeniem ±1) są zbiorem domkniętym .

Elementy eliptyczne

Wartości własne elementu eliptycznego są złożone i są wartościami sprzężonymi na okręgu jednostkowym . Taki element jest sprzężony z obrotem płaszczyzny euklidesowej – można je interpretować jako rotacje w możliwie nieortogonalnej podstawie – a odpowiadający mu element PSL(2,  R ) działa jako (sprzężony z) obrotem płaszczyzny hiperbolicznej i przestrzeni Minkowskiego .

Eliptyczne elementy grupy modułowej muszą mieć wartości własne {ω, ω ⁻¹ }, gdzie ω jest pierwotnym trzecim, czwartym lub szóstym pierwiastkiem jedności . Są to wszystkie elementy grupy modularnej o skończonym porządku , które działają na torus jako okresowe dyfeomorfizmy.

Elementy śladu 0 można nazwać „elementami kołowymi” (przez analogię z mimośrodem), ale rzadko się to robi; odpowiadają one elementom o wartościach własnych ± i i są sprzężone z obrotem o 90° i kwadratem z - I : są inwolucjami nie-tożsamości w PSL(2).

Elementy eliptyczne są sprzężone w podgrupę obrotów płaszczyzny euklidesowej, specjalną grupę ortogonalną SO(2); kąt obrotu to arccos połowy śladu, ze znakiem obrotu wyznaczonym przez orientację. (Obrót i jego odwrotność są sprzężone w GL(2), ale nie w SL(2).)

Elementy paraboliczne

Element paraboliczny ma tylko jedną wartość własną, która wynosi 1 lub -1. Taki element służy jako mapowanie ścinania w płaszczyźnie euklidesowej, i odpowiedniego elementu PSL (2,  R ) działa jako ograniczał obrót hiperbolicznej płaszczyźnie, jak obrót pustego w przestrzeni Minkowskiego .

Paraboliczne elementy grupy modułowej działają jak skręty Dehna torusa.

Elementy paraboliczne są sprzężone w dwuskładnikową grupę standardowych nożyc × ± I : . W rzeczywistości, wszystkie one są sprzężone (w SL (2)), do jednego z czterech matryc , (w GL (2) lub SL ^± (2), przy czym ± mogą być pominięte, ale SL (2) nie może). ${\ Displaystyle \ lewo ({\ zacząć {mała matryca} 1 i \ lambda \ \ i 1 \ koniec {mała matryca}} \ po prawej) \ razy \ {\ pm I \}}$${\ Displaystyle \ lewo ({\ zacząć {mała matryca} 1 i \ pm 1 \ \ i 1 \ koniec {mała matryca}} \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ lewo ({\ zacznij {mała matryca} -1 i \ pm 1 \ \ i -1 \ koniec {mała matryca}} \ po prawej)}$

Elementy hiperboliczne

Wartości własne dla elementu hiperbolicznego są zarówno rzeczywiste, jak i odwrotności. Taki element działa jak odwzorowanie ściśnięcia płaszczyzny euklidesowej, a odpowiadający mu element PSL(2,  R ) działa jako translacja płaszczyzny hiperbolicznej i jako wzmocnienie Lorentza na przestrzeni Minkowskiego .

Elementy hiperboliczne grupy modułowej działają jak dyfeomorfizmy Anosowa torusa.

Elementy hiperboliczne są sprzężone w dwuskładnikową grupę standardowych ściśnięć × ± I : ; hiperboliczny kąt hiperbolicznej obrotu jest przez arcosh połowy śladu, ale znak może być dodatnia lub ujemna: w przeciwieństwie do eliptycznej przypadku, wycisnąć i jego odwrotność są sprzężone w SL₂ (przez obrót w osi; dla osi standardowych obrót o 90°). ${\ Displaystyle \ lewo ({\ zacząć {mała matryca} \ lambda \ \ & \ lambda ^ {-1} \ koniec {mała matryca}} \ po prawej) \ razy \ {\ pm ja \}}$

Klasy koniugatu

Według postaci normalnej Jordana , macierze są klasyfikowane aż do sprzężenia (w GL( n ,  C )) przez wartości własne i nilpotencję (konkretnie nilpotencja oznacza, gdzie jedynki występują w blokach Jordana). Zatem elementy SL(2) są klasyfikowane aż do sprzężeń w GL(2) (lub rzeczywiście SL ^± (2)) przez ślad (ponieważ wyznacznik jest stały, a ślad i wyznacznik określają wartości własne), chyba że wartości własne są równe, więc ±I oraz elementy paraboliczne śladu +2 i śladu -2 nie są sprzężone (pierwsze nie mają pozadiagonalnych wpisów w formie Jordana, drugie tak).

Aż do sprzężenia w SL(2) (zamiast GL(2)), istnieje dodatkowe odniesienie odpowiadające orientacji: obrót w prawo i w lewo (eliptyczny) nie jest sprzężony, podobnie jak ścinanie dodatnie i ujemne, jak opisano powyżej ; zatem dla wartości bezwzględnej śladu mniejszej niż 2 istnieją dwie klasy sprzężeń dla każdego śladu (obroty zgodne z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), dla wartości bezwzględnej śladu równej 2 istnieją trzy klasy sprzężeń dla każdego śladu (ścinanie dodatnie, identyczne, ścinanie ujemne ), a dla wartości bezwzględnej śladu większej niż 2 istnieje jedna klasa sprzężeń dla danego śladu.

Topologia i uniwersalna osłona

Jako przestrzeń topologiczną PSL(2,  R ) można opisać jako jednostkową wiązkę styczną płaszczyzny hiperbolicznej. Jest to wiązka kołowa i ma naturalną strukturę kontaktową indukowaną przez strukturę symplektyczną na płaszczyźnie hiperbolicznej. SL(2,  R ) to dwukrotne pokrycie PSL(2,  R ) i można je traktować jako wiązkę spinorów na płaszczyźnie hiperbolicznej.

Podstawowa grupa SL(2,  R ) to nieskończona grupa cykliczna Z . Uniwersalny zespół pokrycia , oznaczony jest przykładem grupy Lie skończonej wymiarowa nie jest grupą matrycy . Oznacza to, że nie przyznaje się do wiernego , skończenie wymiarowego przedstawienia . ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R})}}}$${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R})}}}$

Jako przestrzeń topologiczna jest wiązką liniową nad płaszczyzną hiperboliczną. Po nasyceniu metryką lewostronną , trójdzielnik staje się jedną z ośmiu geometrii Thurstona . Na przykład jest uniwersalnym pokryciem jednostki wiązki stycznej do dowolnej powierzchni hiperbolicznej . Każda modelowana rozmaitość jest orientowalna i jest wiązką kołową nad jakąś dwuwymiarową hiperboliczną orbifoldą ( przestrzeń włókien Seiferta ). ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R})}}}$ ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R})}}}$${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R})}}}$${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R})}}}$

Pod tym przykryciem przedobrazem grupy modułowej PSL(2,  Z ) jest grupa plecionek na 3 generatorach B ₃ , która jest uniwersalnym centralnym rozszerzeniem grupy modułowej. Są to kraty wewnątrz odpowiednich grup algebraicznych, a to odpowiada algebraicznie uniwersalnej grupie pokrywającej w topologii.

Dwukrotną grupę pokrywającą można zidentyfikować jako Mp(2,  R ), grupę metaplektyczną , myśląc o SL(2,  R ) jako grupie symplektycznej Sp(2,  R ).

Wyżej wymienione grupy tworzą razem ciąg:

${\ Displaystyle {\ overline {\ operatorname {SL} (2, \ mathbf {R}}}} \ do \ cdots \ do \ operatorname {MP} (2, \ mathbf {R}) \ do \ operatorname {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).}$

Istnieją jednak inne grupy pokrywające PSL(2,  R ) odpowiadające wszystkim n , jako n Z < Z ≅ π ₁ (PSL(2,  R )), które tworzą sieć grup pokrywających przez podzielność; obejmują one SL(2,  R ) wtedy i tylko wtedy, gdy n jest parzyste.

Struktura algebraiczna

Centrum od SL (2,  R ) oznacza grupę dwuelementowa {± 1}, a iloraz PSL (2,  R ) jest prosta .

Dyskretne podgrupy PSL(2,  R ) nazywane są grupami fuchsowskimi . Są to hiperboliczne odpowiedniki euklidesowych grup tapet i grup fryzowych . Najbardziej znaną z nich jest grupa modułowa PSL(2,  Z ), która działa na teselacji płaszczyzny hiperbolicznej przez trójkąty idealne.

Grupa koło SO (2) jest to ilość zwarty podgrupy z SL (2,  R ), a koło SO (2) / {± 1} jest ilość zwarty podgrupa PSL (2,  R ).

Schur mnożnik dyskretnej PSL grupy (2,  R ) jest znacznie większa niż Z , i uniwersalny centralnego występu jest znacznie większa niż w powszechnej grupy pokrywającego. Jednak te duże centralne rozszerzenia nie uwzględniają topologii i są nieco patologiczne.

Teoria reprezentacji

SL(2,  R ) jest rzeczywistą, niezwartą prostą grupą Liego i jest podzieloną-rzeczywistą postacią zespolonej grupy Liego SL(2,  C ). Algebra Lie z SL (2,  R ), oznaczoną sl (2,  R ) jest Algebra wszystkich rzeczywistych, bezśladowy 2 x 2 macierzy. Jest to algebra Bianchi typu VIII.

Skończenie wymiarowa teoria reprezentacji SL(2,  R ) jest równoważna teorii reprezentacji SU(2) , która jest zwartą postacią rzeczywistą SL(2,  C ). W szczególności SL(2,  R ) nie ma nietrywialnych skończenie wymiarowych reprezentacji unitarnych. Jest to cecha każdej połączonej prostej, niezwartej grupy Lie. Aby zapoznać się z zarysem dowodu, zobacz niejednolitość reprezentacji .

Nieskończenie wymiarowa teoria reprezentacji SL(2,  R ) jest dość interesująca. Grupa posiada kilka rodzin reprezentacji unitarnych, które zostały szczegółowo opracowane przez Gelfanda i Naimark (1946), V. Bargmanna (1947) i Harish-Chandra (1952).

Zobacz też

Bibliografia

• Bargmann, Walentynki (1947). „Nieredukowalne jednostkowe reprezentacje Grupy Lorentz”. Roczniki Matematyki . 48 (3): 568–640. doi : 10.2307/1969129 . JSTOR  1969129 . MR  0021942 .
• Gelfand, Izrael Moiseevich; Neumark, Marek Aronowicz (1946). „Jednostkowe reprezentacje grupy Lorentz”. Acad. Nauka. ZSRR. J. Fiz . 10 : 93–94. MR  0017282 .
• Harish-Chandra (1952). „Wzór Plancherela dla rzeczywistej grupy unimodularnej 2×2” . Proc. Natl. Acad. Nauka. Stany Zjednoczone . 38 (4): 337–342. Kod Bibcode : 1952PNAS...38..337H . doi : 10.1073/pnas.38.4.337 . MR  0047055 . PMC  1063558 . PMID  16589101 .
• Lang, Serge (1985). . Teksty magisterskie z matematyki. 105 . Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-5142-2 . Numer ISBN${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbf {R})}$ 0-387-96198-4. MR  0803508 .
• Thurston, William (1997). Geometria i topologia trójwymiarowa. Tom. 1 . Seria matematyczna Princeton. 35 . Pod redakcją Silvio Levy. Princeton, NJ: Princeton University Press. Numer ISBN 0-691-08304-5. MR  1435975 .