Produkt zewnętrzny - Outer product

W liniowym Algebra The zewnętrzny iloczyn dwóch współrzędnych wektorów jest matryca . Jeśli te dwa wektory mają wymiary n i m , to ich iloczynem zewnętrznym jest macierz n × m . Mówiąc bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę dwa tensory (wielowymiarowe tablice liczb), ich iloczyn zewnętrzny jest tensorem. Iloczyn zewnętrzny tensorów jest również nazywany ich iloczynem tensorowym i może być użyty do zdefiniowania algebry tensorowej .

Produkt zewnętrzny kontrastuje z:

• Iloczyn skalarny (znany również jako „wewnętrznego produktu”), który zajmuje parę współrzędnych wektorów jako sygnał wejściowy i wytwarza skalarne
• Produkt Kronecker , co zajmuje parę matryc jako sygnał wejściowy i wytwarza macierz bloków
• Mnożenie macierzy standardowej

Definicja

Biorąc pod uwagę dwa wektory wielkości i odpowiednio ${\displaystyle m\razy 1}$${\displaystyle n\razy 1}$

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ zacząć {bmatrix} u_ {1} \ \ u_ {2} \ \ \ vdots \ \ u_ {m} \ koniec {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {v} = {\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}$

ich produkt zewnętrzny, oznaczony jako macierz otrzymana przez pomnożenie każdego elementu przez każdy element${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v}}$${\displaystyle m\razy n}$${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$${\displaystyle \mathbf {u}}$${\displaystyle \mathbf {v} :}$

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} = \ mathbf {A} = {\ zacząć {bmatrix} u_ {1} v_ {1} i u_ {1} v_ {2} i \ kropki i u_ {1 }v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\kropki &u_{2}v_{n}\\\vkropki &\vkropki &\dkropki &\vkropki \\u_ {m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}}$

Lub w notacji indeksowej:

${\ Displaystyle (\ mathbf {u} \ czasami \ mathbf {v}) _ {ij} = u_ {i} v_ {j}}$

Oznaczanie iloczynu skalarnego przez jeśli dany wektor to Jeśli dany wektor to${\displaystyle \,\cdot,\,}$${\displaystyle n\razy 1}$${\displaystyle \mathbf {w} ,}$${\ Displaystyle (\ mathbf {u} \ czasami \ mathbf {v} ) \ mathbf {w} = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}) \ mathbf {u}}.$${\displaystyle 1\razy m}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} ,}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}) = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {v} ^ {\ operator {T}} .}$

Jeśli i są wektorami o tym samym wymiarze, to . ${\displaystyle \mathbf {u}}$${\displaystyle \mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ det (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}) = 0}$

Produkt zewnętrzna równa się mnożenia macierzy pod warunkiem, że jest reprezentowana jako wektor kolumnowej i jako wektora kolumny (co daje wektor wiersza). Na przykład, jeśli i wtedy ${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ czasami \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ mathbf {v} ^ {\ nazwa operatora {T}}}$${\displaystyle \mathbf {u}}$${\displaystyle m\razy 1}$ ${\displaystyle \mathbf {v}}$${\displaystyle n\razy 1}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ nazwa operatora {T}}}$${\displaystyle m=4}$${\displaystyle n=3,}$

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} = \ mathbf {u} \ mathbf {v} ^ {\ textsf {T}} = {\ zacząć {bmatrix} u_ {1} \ \ u_ {2 }\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3} \\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{ 3}\koniec{bmatrycy}}.}$

Dla złożonych wektorów, to często jest użyteczne mieć sprzężoną transpozycję z oznaczoną lub : ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ sztylet}}$${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {v} ^ {\ textsf {T}} \ po prawej) ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} = \ mathbf {u} \ mathbf {v} ^ {\ sztylet} = \ mathbf {u} \ lewo (\ mathbf {v} ^ {\ textsf { T}}\prawo)^{*}}$.

Kontrast z euklidesowym produktem wewnętrznym

Jeśli więc można przyjąć iloczyn macierzy w drugą stronę, dając skalar (lub macierz): ${\displaystyle m=n}$${\displaystyle 1\razy 1}$

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ mathbf {u} \ mathbf {v} \ prawo \ rangle = \ mathbf {u} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {v}}$

który jest standardowym produktem wewnętrzny do euklidesowych wektora , lepiej znanego jako iloczynu skalarnego . Produkt wewnętrzny jest śladem produktu zewnętrznego. W przeciwieństwie do iloczynu wewnętrznego iloczyn zewnętrzny nie jest przemienny.

Mnożenie wektora przez macierz można zapisać w postaci iloczynu skalarnego za pomocą zależności . ${\displaystyle \mathbf {w}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ czasami \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} \ prawo) \ mathbf {w} = \ mathbf {u} \ lewo \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {w} \ prawo \ zgrabny }$

Iloczyn zewnętrzny tensorów

Biorąc pod uwagę dwa tensory o wymiarach i , ich iloczyn zewnętrzny jest tensorem o wymiarach i wpisach ${\displaystyle \mathbf {u},\mathbf {v}}$${\ Displaystyle (k_ {1}, k_ {2}, \ kropki, k_ {m})}$${\ Displaystyle (l_ {1}, l_ {2}, \ kropki, l_ {n})}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ czasami \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle (k_ {1}, k_ {2}, \ kropki, k_ {m}, l_ {1}, l_ {2}, \ kropki, l_ {n})}$

${\ Displaystyle (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} ) _ {i_ {1}, i_ {2}, \ kropki i_ {m}, j_ {1}, j_ {2}, \ kropki, j_ {n}}=u_{i_{1},i_{2},\kropki ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\kropki ,j_{n}}}$

Na przykład, jeśli jest rzędu 3 z wymiarami i jest rzędu 2 z wymiarami to ich produkt zewnętrzny jest rzędu 5 z wymiarami Jeśli ma składnik A _{[2, 2, 4]} = 11 i ma składnik B _{[8, 88 ]} = 13 , to składnik produktu zewnętrznego to C _{[2, 2, 4, 8, 88]} = 143 . ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle (3,5,7)}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} }$${\ Displaystyle (10100)}$${\ Displaystyle \ mathbf {C} }$${\ Displaystyle (3,5,7,10,100).}$${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} }$${\ Displaystyle \ mathbf {C} }$

Połączenie z produktem Kronecker

Produkt zewnętrzny i produkt Kroneckera są blisko spokrewnione; w rzeczywistości ten sam symbol jest powszechnie używany do oznaczenia obu operacji.

Jeżeli i , mamy: ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 2 i 3 \ koniec {bmatrix}} ^ {\ textsf {T}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ zacząć {bmatrix} 4 i 5 \ koniec {bmatrix}} ^ {\ textsf {T}}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbf {u} \ otimes _ {\ tekst {Kron}} \ mathbf {v} & = {\ zacząć {bmatrix} 4 \ \ 5 \ \ 8 \ \ 10 \ \ 12 \\15\end{bmatrix}},&\mathbf {u} \otimes _{\text{zewnętrzny}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix }}\end{wyrównany}}}$

W przypadku wektorów kolumnowych iloczyn Kroneckera można postrzegać jako formę wektoryzacji (lub spłaszczenia) produktu zewnętrznego. W szczególności dla dwóch wektorów kolumnowych i , możemy napisać: ${\displaystyle \mathbf {u}}$${\displaystyle \mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ otimes _ {\ tekst {Kron}} \ mathbf {v} = \ operatorname {vec} (\ mathbf {v} \ otimes _ {\ tekst {zewnętrzny}} \ mathbf {u} )}$

Zauważ, że kolejność wektorów jest odwrócona po prawej stronie równania.

Inną podobną tożsamością, która dodatkowo podkreśla podobieństwo między operacjami, jest:

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ otimes _ {\ text {Kron}} \ mathbf {v} ^ {\ textsf {T}} = \ mathbf {u} \ mathbf {v} ^ {\ textsf {T}} =\mathbf {u} \otimes _{\text{zewnętrzny}}\mathbf {v} }$

gdzie kolejność wektorów nie musi być odwrócona. Wyrażenie środkowe wykorzystuje mnożenie macierzy, gdzie wektory są traktowane jako macierze kolumnowe/wierszowe.

Nieruchomości

Zewnętrzny iloczyn wektorów spełnia następujące właściwości:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (\ mathbf {u} \ czasami \ mathbf {v} ) ^ {\ textsf {T}} i = (\ mathbf {v} \ czasami \ mathbf {u} ) \ \ ( \mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\ mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{wyrównany} }}$

Iloczyn zewnętrzny tensorów spełnia dodatkową własność asocjatywności :

${\ Displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}) \otimes \mathbf {w} = \mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w})}$

Ranga produktu zewnętrznego

Jeśli u i v są niezerowe, to macierz iloczynu zewnętrznego uv ^T zawsze ma macierz rang 1. Rzeczywiście, wszystkie kolumny iloczynu zewnętrznego są proporcjonalne do pierwszej kolumny. Zatem wszystkie są liniowo zależne od tej jednej kolumny, stąd macierz ma pierwszeństwo.

(„Ranga macierzy” nie powinna być mylona z „ rządem tensora ” lub „stopień tensora”, który jest czasami określany jako „ranga”).

Definicja (abstrakt)

Niech V i W będą dwiema przestrzeniami wektorowymi . Produktem zewnętrznym i jest pierwiastek . ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ w V}$${\ Displaystyle \ mathbf {w} \ w W}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w} \ w V \ otimes W}$

Jeżeli V jest przestrzenią iloczynu wewnętrznego , to można zdefiniować iloczyn zewnętrzny jako odwzorowanie liniowe V → W . W takim przypadku, mapa liniowy jest elementem podwójnego miejsca w V . Iloczyn zewnętrzny V → W jest wtedy dany przez ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ mapsto \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {x} \ rangle}$

${\ Displaystyle (\ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w} ) (\ mathbf {x} ) = \ lewo \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {x} \ prawo \ rangle \ mathbf {w}}$

To pokazuje, dlaczego w złożonym przypadku często przyjmuje się transpozycję sprzężoną v .

W językach programowania

W niektórych językach programowania, biorąc pod uwagę funkcję dwóch argumentów f(lub operatora binarnej), zewnętrzny iloczyn fi dwie tablice jednowymiarowe Ai Bjest dwuwymiarową tablicą Ctak, że C[i, j] = f(A[i], B[j]). Jest to reprezentowane składniowo na różne sposoby: w APL , jako operator binarny wrostkowy ; w J , jako przysłówek przyrostkowy ; w R , jako funkcja lub specjalny ; w Mathematica , jako . W MATLAB funkcja jest używana dla tego produktu. Te często uogólniają się na argumenty wielowymiarowe i więcej niż dwa argumenty. ∘.ff/outer(A, B, f)%o%Outer[f, A, B]kron(A, B)

W bibliotece Pythona NumPy zewnętrzny produkt można obliczyć za pomocą function np.outer(). W przeciwieństwie do tego, np.krondaje tablicę płaską. Zewnętrzny iloczyn tablic wielowymiarowych można obliczyć za pomocą np.multiply.outer.

Aplikacje

Ponieważ produkt zewnętrzny jest blisko spokrewniony z produktem Kronecker , niektóre zastosowania produktu Kroneckera wykorzystują produkty zewnętrzne. Zastosowania te można znaleźć w teorii kwantowej, przetwarzaniu sygnałów i kompresji obrazu .

Spinory

Załóżmy y , T , W , Z ∈ C tak, że ( s , t ) oraz ( W , Z ) są C ² . Wtedy iloczyn zewnętrzny tych dwuwektorów zespolonych jest elementem macierzy M(2, C ), macierzy zespolonych 2×2:

${\displaystyle {\zacząć{pmatrix}sw&tw\\sz&tz\end{pmatrix}}.}$

Determinanta tej macierzy jest swtz - sztw = 0 , ze względu na przemienność z C .

W teorii spinorów w trzech wymiarach macierze te są powiązane z wektorami izotropowymi ze względu na tę zerową właściwość. Élie Cartan opisał tę konstrukcję w 1937, ale została ona wprowadzona przez Wolfganga Pauli w 1927, dzięki czemu M(2, C ) zaczęto nazywać algebrą Pauliego .

Koncepcje

W klasyfikacji przydatna jest forma blokowa produktów zewnętrznych. Analiza koncepcji to badanie, które zależy od pewnych produktów zewnętrznych:

Kiedy wektor zawiera tylko zera i jedynek jako wpisy, nazywany jest wektorem logicznym , szczególnym przypadkiem macierzy logicznej . Operacja logiczna i zastępuje mnożenie. Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów logicznych ( u _i ) oraz ( v _j ) jest określony przez macierz logiczną . Ten typ macierzy jest używany w badaniu relacji binarnych i jest nazywany relacją prostokątną lub wektorową . ${\ Displaystyle \ lewo (a_ {ij} \ prawo) = \ lewo (u_ {i} \ ziemia v_ {j} \ prawo)}$

Zobacz też

• Diadyki
• Transformacja domowników
• Norma (matematyka)
• Macierz rozrzutu
• Rachunek Ricciego

Produkty

• Produkt kartezjański
• Produkt krzyżowy
• Produkt zewnętrzny
• Produkt Hadamarda

Dwoistość

• Złożony koniugat
• Transpozycja sprzężona
• Transponować
• Notacja bra-ket dla produktu zewnętrznego

Bibliografia

Dalsza lektura

• Carlena, Erica; Canceicao Carvalho, Maria (2006). „Produkty zewnętrzne i rzuty prostopadłe” . Algebra Liniowa: Od początku . Macmillana. s. 217-218.