grupa jeden parametr - One-parameter group

W matematyce , ą grupa jeden parametr lub jedną podgrupę parametrów zwykle oznacza ciągłą homomorfizm grupy

${\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ rightarrow G}$

z prostej (tak jak w grupie dodatków ) do innej grupy topologicznych . Oznacza to, że nie jest w rzeczywistości grupa , ściśle mówiąc; Jeśli jest za pomocą wstrzyknięć następnie obraz będzie podgrupę , która jest izomorficzny w dodatku do grupy. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ varphi (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Grupy jednoparametrową zostały wprowadzone przez Sophus Lie w 1893 zdefiniować nieskończenie transformacje . Według Lie nieskończenie transformacja jest nieskończenie małe transformację grupy jeden parametr, który nie wytwarza. Jest nieskończenie te transformacje, które generują algebry Lie , który jest używany do opisania grupy Lie dowolnego wymiaru.

Dyskusja

Oznacza to, że możemy zacząć wiedząc tylko, że

${\ Displaystyle \ varphi (s + t) = \ varphi (e) \ varphi (t)}$

gdzie , są „parametry” elementów w grupie . Możemy mieć ${\ S} displaystyle$${\ T} displaystyle$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ varphi (i) = E}$The element neutralny w ,${\ Displaystyle G}$

dla niektórych . Dzieje się tak na przykład, jeśli jest koło jednostki i ${\ Displaystyle s \ neq 0}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ varphi (i) = E {} _ ^ {to}}$,

W tym przypadku jądro z składa się z całkowitej wielokrotności . ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$

Działanie grupy jednego parametru na zestaw jest znany jako przepływ .

Komplikacje techniczną jest to, że jako podprzestrzeń od może prowadzić topologię, która jest grubsza niż w ; może się to zdarzyć w przypadku, gdy jest injective. Przykładowo, że dla przypadku, w którym jest torusa i jest skonstruowany przez nawijanie cały linii prostej na stoku nieracjonalne. ${\ Displaystyle \ varphi (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle T}$

Dlatego też jedna grupa parametr lub jedną podgrupę parametrów należy odróżnić od grupy lub podgrupy się na trzech powodów

1. to ma określony parametryzacji ,
2. homomorfizm grupy nie może być za pomocą wstrzyknięć i
3. indukowane topologia nie może być standardem jednym z prostej rzeczywistej.

Przykłady

Takie grupy jednoparametrową mają podstawowe znaczenie w teorii grup Liego , dla którego każdy element związany Lie algebry definiuje taki homomorfizm, ten wykładniczy mapę . W przypadku grup otoczki jest przez matrycę wykładniczej .

Inna ważna sprawa jest widoczne w analizie funkcjonalnej , przy czym do grona operatorów unitarnych w przestrzeni Hilberta . Zobacz twierdzenie Stone'a na jednoparametrową grup jednostkowych . ${\ Displaystyle G}$

W 1957 jego monografia Lie grup , PM Cohn daje następujące twierdzenie na stronie 58:

Każdy połączony jeden trójwymiarowy zespół Lie analitycznie izomorficzne albo addytywna grupa liczb rzeczywistych lub , grupy dodatków liczb rzeczywistych . W szczególności, każdy 1-wymiarowe grupy Lie jest lokalnie izomorficzna .${\ Displaystyle {\ mathfrak {R}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}}}$${\ Displaystyle \ 1} mod$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Fizyka

W fizyce , grupy jednoparametrową opisać układów dynamicznych . Ponadto, gdy układ praw fizycznych przyznaje grupę jednego parametru różniczkowalnych symetrii , a następnie jest konserwowane ilość przez twierdzenie noether .

W badaniu czasoprzestrzeni stosowanie hiperboli jednostki kalibracji pomiarów w czasie i przestrzeni stało się powszechne, ponieważ Hermann Minkowski omówiono je w 1908 roku zasada wzgl obniżono do arbitralnego którego średnica hiperboli jednostkę został użyty do określenia świecie, linia . Używanie parametryzacji hiperboli hiperbolicznej kątem teoria względności warunkiem rachunku względny ruch z jednej grupy parametrach indeksowana szybkością . Szybkość zastępuje prędkość w kinematyki i dynamiki teorii względności. Ponieważ szybkość jest nieograniczona, grupa jeden parametr stoi na nie jest zwarta. Koncepcja szybkość został wprowadzony przez ET Whittaker w 1910 roku i nazwany przez Alfreda Robb następnego roku. Parametr szybkość wynosi do długości hiperbolicznej versor , koncepcji XIX wieku. Fizyków matematycznych James Cockle , William Kingdon Clifford i Alexander Macfarlane miał cały zatrudniony w swoich pismach równoważny mapowanie płaszczyźnie kartezjańskiej przez operatora , w której jest hiperboliczny kąt a . ${\ Displaystyle (\ cosh {A} + r \ sinh {A})}$${\ A} displaystyle$${\ Displaystyle R ^ {2} = + 1}$

W GL (n ℂ)

Ważnym przykładem teorii grup Lie powstaje, gdy przyjmuje się , grupa odwracalnych matryc złożonych pozycji. W tym przypadku podstawowym wynik jest następujący:${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} (n; \ mathbb {C})}$${\ Razy displaystyle n \}$

Twierdzenie Przypuśćmy, że jest to grupa parametr. Wtedy istnieje unikalny matrycy tak, że ${\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ rightarrow \ operatorname {GL} (n; \ mathbb {C})}$${\ Razy displaystyle n \}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ varphi (t) = E {^ tX}}$

dla wszystkich .${\ Displaystyle T \ in \ mathbb {R}}$

Wynika z tego wyniku, że jest różniczkowalna, choć nie było to założenie twierdzenia. Matryca może być odzyskany z a ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle X = \ lewo {\ Frac {d \ varphi (t)} {dt}} \ prawo. | _ {T} = 0}$,

Wynik ten może być używany, na przykład, aby pokazać, że każdy ciągły homomorfizm między osnową grup Lie jest gładka.

Zobacz też

• integralną krzywa
• Jeden parametr półgrupa
• twierdzenie noether

Referencje

• Hall, Brian C. (2015), Lie Lie Groups, Algebry i Przedstawicielstwa: Elementarna Wstęp , absolwent Teksty w Matematyki, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN  978-3319134666,