Filtr nieliniowy — Nonlinear filter

W przetwarzaniu sygnału , A nieliniowy (lub nieliniowe ) filtra jest filtr , którego moc nie jest funkcją liniową jego wejścia. Oznacza to, że gdy filtr WYJŚCIA sygnały R i S dla dwóch sygnałów wejściowych, r i s niezależnie, ale nie zawsze wysyłany aR  +  pS , gdy wejście jest kombinacja liniowa aR  +  pS .

Zarówno filtry w domenie ciągłej, jak i w domenie dyskretnej mogą być nieliniowe. Prostym przykładem tego pierwszego byłoby urządzenie elektryczne, którego napięcie wyjściowe R ( t ) w dowolnym momencie jest kwadratem napięcia wejściowego r ( t ); lub który jest sygnałem wejściowym przyciętym do ustalonego zakresu [ a , b ], mianowicie R ( t ) = max( a , min( b , r ( t ))). Ważnym przykładem tego ostatniego jest filtr z medianą ruchu , taki że każda próbka wyjściowa R i jest medianą trzech ostatnich próbek wejściowych r i , r i −1 , r i −2 . Podobnie jak filtry liniowe, filtry nieliniowe mogą być niezmienne lub nie.

Filtry nieliniowe mają wiele zastosowań, zwłaszcza w usuwaniu pewnych rodzajów szumów , które nie sumują się . Na przykład filtr medianowy jest szeroko stosowany do usuwania szumu kolców — który wpływa tylko na niewielki procent próbek, prawdopodobnie w bardzo dużych ilościach. Rzeczywiście, wszystkie odbiorniki radiowe wykorzystują filtry nieliniowe do konwersji sygnałów kilo- do gigaherców na zakres częstotliwości audio ; a całe przetwarzanie sygnałów cyfrowych zależy od filtrów nieliniowych ( przetworników analogowo-cyfrowych ), które przekształcają sygnały analogowe na liczby binarne .

Jednak filtry nieliniowe są znacznie trudniejsze w użyciu i projektowaniu niż filtry liniowe, ponieważ nie można na nich zastosować najpotężniejszych matematycznych narzędzi analizy sygnału (takich jak odpowiedź impulsowa i odpowiedź częstotliwościowa ). Na przykład filtry liniowe są często używane do usuwania szumów i zniekształceń, które powstały w wyniku procesów nieliniowych, po prostu dlatego, że odpowiedni filtr nieliniowy byłby zbyt trudny do zaprojektowania i skonstruowania.

Z powyższego możemy wiedzieć, że filtry nieliniowe zachowują się zupełnie inaczej niż filtry liniowe. Najważniejszą cechą jest to, że w przypadku filtrów nieliniowych moc wyjściowa lub odpowiedź filtra nie jest zgodna z opisanymi wcześniej zasadami, w szczególności skalowaniem i niezmiennością przesunięcia. Ponadto filtr nieliniowy może generować wyniki, które różnią się w sposób nieintuicyjny.

System liniowy

System liniowy definiuje kilka zasad . Podstawowa definicja liniowości jest taka, że ​​wyjście musi być liniową funkcją wejść, czyli

dla dowolnych wartości skalarnych i . Jest to podstawowa właściwość projektowania systemów liniowych, znana jako superpozycja. Mówi się więc, że system jest nieliniowy, jeśli to równanie nie jest poprawne. To znaczy, gdy system jest liniowy, można zastosować zasadę superpozycji. Ten ważny fakt jest powodem, że techniki analizy systemów liniowych są tak dobrze rozwinięte.

Aplikacje

Usuwanie szumów

Sygnały często ulegają uszkodzeniu podczas transmisji lub przetwarzania; a częstym celem w projektowaniu filtrów jest przywrócenie oryginalnego sygnału, proces powszechnie nazywany „usuwaniem szumów”. Najprostszym rodzajem uszkodzenia jest addytywny szum przy pożądany sygnał S zostaje dodany niepożądany sygnał N , który nie jest znany związek z S . Jeśli szum N ma prosty opis statystyczny, taki jak szum Gaussa , to filtr Kalmana zredukuje N i przywróci S w stopniu dozwolonym przez twierdzenie Shannona . W szczególności, jeśli S i N nie nakładają się w dziedzinie częstotliwości , mogą być całkowicie oddzielone przez liniowe filtry pasmowoprzepustowe .

Z drugiej strony, w przypadku prawie każdej innej formy szumu, potrzebny będzie jakiś rodzaj filtra nieliniowego, aby maksymalnie odzyskać sygnał. Na przykład w przypadku szumu multiplikatywnego (który jest mnożony przez sygnał, a nie dodawany do niego), wystarczy przekonwertować dane wejściowe na skalę logarytmiczną , zastosować filtr liniowy, a następnie przekonwertować wynik na skalę liniową . W tym przykładzie pierwszy i trzeci krok nie są liniowe.

Filtry nieliniowe mogą być również przydatne, gdy pewne „nieliniowe” cechy sygnału są ważniejsze niż ogólna zawartość informacji. Na przykład w cyfrowym przetwarzaniu obrazu można chcieć zachować ostrość krawędzi sylwetki obiektów na fotografiach lub łączność linii na zeskanowanych rysunkach. Liniowy filtr usuwający szumy zwykle rozmywa te cechy; filtr nieliniowy może dać bardziej zadowalające wyniki (nawet jeśli rozmyty obraz może być bardziej „poprawny” w sensie informacyjno-teoretycznym).

Wiele nieliniowych filtrów usuwających szumy działa w dziedzinie czasu. Zazwyczaj badają wejściowy sygnał cyfrowy w skończonym oknie otaczającym każdą próbkę i używają pewnego statystycznego modelu wnioskowania (w sposób pośredni lub jawny), aby oszacować najbardziej prawdopodobną wartość oryginalnego sygnału w tym punkcie. Konstrukcja takich filtrów jest znany jako filtrowania problemu dotyczącego stochastycznego procesu w teorii estymacji i teorii sterowania .

Przykłady filtrów nieliniowych obejmują:

Filtr nieliniowy zajmuje również decydującą pozycję w funkcjach przetwarzania obrazu. W typowym potoku przetwarzania obrazu w czasie rzeczywistym często stosuje się wiele filtrów nieliniowych do formowania, kształtowania, wykrywania i manipulowania informacjami o obrazie. Ponadto każdy z tych typów filtrów można sparametryzować, aby działał w jeden sposób w określonych okolicznościach, a inny w innym zestawie okoliczności, przy użyciu generowania reguł filtru adaptacyjnego. Cele różnią się od usuwania szumów po abstrakcję funkcji. Filtrowanie danych obrazu to standardowy proces stosowany w prawie wszystkich systemach przetwarzania obrazu. Filtry nieliniowe to najczęściej wykorzystywane formy konstrukcji filtrów. Na przykład, jeśli obraz zawiera niewielką ilość szumu, ale stosunkowo dużą wielkość, wówczas bardziej odpowiedni może być filtr medianowy.

Filtrowanie Kushnera-Stratonovicha

Problem optymalnego filtrowania nieliniowego został rozwiązany pod koniec lat pięćdziesiątych i na początku lat sześćdziesiątych przez Ruslana L. Stratonovicha i Harolda J. Kushnera .

Rozwiązanie Kushnera-Stratonovicha jest stochastycznym równaniem różniczkowym cząstkowym . W 1969 Moshe Zakai wprowadził uproszczoną dynamikę dla nieznormalizowanego prawa warunkowego filtra znanego jako równanie Zakai . Zostało udowodnione przez Mireille Chaleyat-Maurel i Dominique Michel, że rozwiązanie jest ogólnie nieskończenie wymiarowe i jako takie wymaga skończonych aproksymacji wymiarowych. Mogą to być oparte na heurystyce, takie jak rozszerzony filtr Kalmana lub zakładane filtry gęstości opisane przez Petera S. Maybecka lub filtry projekcji wprowadzone przez Damiano Brigo , Bernarda Hanzona i François Le Gland , których niektóre podrodziny, jak wykazano, pokrywają się z filtruje gęstość Zakładana .

Filtry przenoszące energię

Filtry transferu energii to klasa nieliniowych filtrów dynamicznych, które mogą być używane do przenoszenia energii w sposób zaprojektowany. Energia może być przeniesiona do wyższych lub niższych pasm częstotliwości, rozłożona na zaprojektowany zakres lub skoncentrowana. Możliwych jest wiele konstrukcji filtrów do przenoszenia energii, które zapewniają dodatkowe stopnie swobody w projektowaniu filtrów, które po prostu nie są możliwe w przypadku konstrukcji liniowych.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

  • Jaźwiński, Andrzej H. (1970). Procesy stochastyczne i teoria filtrowania . Nowy Jork: prasa akademicka. Numer ISBN 0-12-381550-9.

Linki zewnętrzne