Nieprzemienny pierścień - Noncommutative ring

W matematyce , a dokładniej w algebrze abstrakcyjnej i teorii pierścieni , pierścień nieprzemienny to pierścień, którego mnożenie nie jest przemienne ; oznacza to, że istnieje i B w R z jest · bb · . Wielu autorów używa terminu pierścienie nieprzemienne w odniesieniu do pierścieni, które niekoniecznie są przemienne, a zatem obejmują w swojej definicji pierścienie przemienne. Algebra nieprzemienna to badanie wyników mających zastosowanie do pierścieni, które nie muszą być przemienne. Wiele ważnych wyników w dziedzinie algebry nieprzemiennej odnosi się do pierścieni przemiennych jako przypadków specjalnych.

Chociaż niektórzy autorzy nie zakładają, że pierścienie mają tożsamość multiplikatywną, w tym artykule przyjmujemy to założenie, chyba że zaznaczono inaczej.

Przykłady

Oto kilka przykładów pierścieni, które nie są przemienne:

  • Pierścień matrycy z n -by- n macierzy ciągu liczb rzeczywistych , gdzie n > 1 ,
  • kwaterniony Hamiltona ,
  • Dowolny pierścień grupowy utworzony z grupy, która nie jest abelowa ,
  • Swobodny pierścień generowany przez zbiór skończony; przykładem dwóch nierównych elementów są ,
  • Weyl Algebra jest pierścień wielomianowych operatorów różniczkowych określonych przez afinicznej przestrzeni; na przykład, gdzie ideał odpowiada komutatorowi ,
  • Pierścień ilorazowy, w którym nazywa się płaszczyzną kwantową ,
  • Każdy Algebra Clifford można określić bezpośrednio za pomocą prezentacji matematycznego: Biorąc pod uwagę miejsca-wektor o wymiarze n z i formy kwadratowej , skojarzona Clifford Algebra jest przedstawienie dla każdego oparciu o ,
  • Superalgebry są kolejnym przykładem nieprzemiennych pierścieni; mogą być przedstawiane jako .

Historia

Począwszy od pierścieni podziału wynikających z geometrii, badanie pierścieni nieprzemiennych urosło do rangi głównego obszaru współczesnej algebry. Teoria i ekspozycja pierścieni nieprzemiennych była rozwijana i udoskonalana w XIX i XX wieku przez wielu autorów. Niepełna lista takich współpracowników obejmuje E. Artin , Richard Brauer , PM Cohn , WR Hamilton , IN Herstein , N. Jacobson , K. Morita , E. Noether , Ø. Ruda i inne.

Różnice między algebrą przemienną i nieprzemienną

Ponieważ pierścienie nieprzemienne są znacznie większą klasą pierścieni niż pierścienie przemienne, ich struktura i zachowanie są mniej dobrze poznane. Wykonano wiele pracy z powodzeniem uogólniając niektóre wyniki z pierścieni przemiennych na pierścienie nieprzemienne. Główną różnicą pomiędzy pierścieniami, które są i nie są przemienne, jest konieczność oddzielnego rozpatrywania ideałów prawych i ideałów lewych . Powszechne jest, że teoretycy nieprzemiennego pierścienia narzucają warunek na jednym z tych typów ideałów, nie wymagając przy tym, aby był on utrzymywany po przeciwnej stronie. W przypadku pierścieni przemiennych rozróżnienie na lewą i prawą stronę nie istnieje.

Ważne zajęcia

Podział pierścieni

Pierścień podziału, zwany także polem skośnym, to pierścień, w którym podział jest możliwy. W szczególności jest to niezerowy pierścień, w którym każdy niezerowy element a ma odwrotność multiplikatywną , tj. element x z a · x = x · a = 1 . Mówiąc inaczej, pierścień jest pierścieniem dzielenia wtedy i tylko wtedy, gdy grupa jednostek jest równa zbiorowi wszystkich niezerowych elementów.

Pierścienie dzielenia różnią się od pól tylko tym, że ich mnożenie nie musi być przemienne . Jednak według małego twierdzenia Wedderburna wszystkie pierścienie dzielenia skończonego są przemienne, a zatem ciała skończone . Historycznie, pierścienie podziału były czasami określane jako pola, podczas gdy pola były nazywane „polami przemiennymi”.

Półproste pierścienie

Moduł na (nie koniecznie) przemiennej pierścieniu jedności mówi się półprosty (lub całkowicie sprowadzić), jeżeli jest to bezpośredni suma z prostych (nieredukowalnych) podmodułów.

Mówi się, że pierścień jest (lewy)-półprosty, jeśli jest półprosty jako lewy moduł nad sobą. Co zaskakujące, lewy półokrągły pierścień jest również prawostronny i odwrotnie. Dlatego rozróżnienie na lewą i prawą stronę jest niepotrzebne.

Pierścienie półprymitywne

Półprymitywny pierścień lub półprosty pierścień Jacobsona lub pierścień półprosty J to pierścień, którego rodnik Jacobsona wynosi zero. Jest to rodzaj pierścienia bardziej ogólnego niż półprosty , ale w którym proste moduły nadal dostarczają wystarczającej ilości informacji o pierścieniu. Pierścienie takie jak pierścień liczb całkowitych są semiprimitive, i artinian semiprimitive pierścień jest tylko półprosty pierścień . Semiprimitive pierścienie mogą być rozumiane jako produkty subdirect z pierwotnych pierścieni , które są opisane przez twierdzenia gęstości Jacobsona .

Proste pierścienie

Pierścień prosty to pierścień niezerowy , który nie ma ideału dwustronnego poza ideałem zerowym i sobą samym. Prosty pierścień zawsze można uznać za prostą algebrę . Pierścienie, które są proste jak pierścienie, ale nie istnieją jako moduły : pierścień pełnej macierzy nad polem nie ma żadnych nietrywialnych ideałów (ponieważ każdy ideał M( n , R ) ma postać M( n , I ) z I an ideał R ), ale ma nietrywialne lewe ideały (mianowicie zbiory macierzy, które mają pewne ustalone kolumny zerowe).

Zgodnie z twierdzeniem Artina-Wedderburna każdy prosty pierścień, który jest lewy lub prawy artinian, jest pierścieniem macierzy nad pierścieniem podziału . W szczególności jedynymi prostymi pierścieniami, które są skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad liczbami rzeczywistymi, są pierścienie macierzy nad liczbami rzeczywistymi, liczbami zespolonymi lub kwaternionymi .

Każdy iloraz pierścienia przez maksymalny ideał jest pierścieniem prostym. W szczególności pole jest prostym pierścieniem. Pierścień R jest proste i, jeśli tylko jej pierścień naprzeciwko R O jest prosta.

Przykładem prostego pierścienia, który nie jest pierścieniem macierzowym nad pierścieniem dzielącym, jest algebra Weyla .

Ważne twierdzenia

Małe twierdzenie Wedderburna

Małe twierdzenie Wedderburna mówi, że każda skończona dziedzina jest polem . Innymi słowy, dla pierścieni skończonych nie ma rozróżnienia między domenami, pierścieniami podziału i polami.

Twierdzenie Artina-Zorna uogólnia twierdzenie do alternatywnych pierścieni : każdy skończony prosty pierścień alternatywny jest polem.

Twierdzenie Artina-Wedderburna

Twierdzenie Artina-Wedderburna jest twierdzeniem klasyfikacyjnym dla półprostych pierścieni i półprostych algebr . Twierdzenie to mówi, że (artyński) półprosty pierścień R jest izomorficzny z iloczynem skończonej liczby pierścieni macierzowych n i -by- n i nad pierścieniami podziału D i , dla niektórych liczb całkowitych n i , z których obie są jednoznacznie określone aż do permutacji indeks i . W szczególności każdy prosty lewy lub prawy pierścień artinianu jest izomorficzny z pierścieniem macierzy n -by- n nad pierścieniem podziału D , gdzie zarówno n, jak i D są jednoznacznie określone.

Jako bezpośredni wniosek, twierdzenie Artina-Wedderburna implikuje, że każdy prosty pierścień, który jest skończenie wymiarowy nad pierścieniem podziału (prosta algebra) jest pierścieniem macierzy . Oto oryginalny wynik Josepha Wedderburna . Emil Artin później uogólnił to na przypadek pierścieni artyńskich.

Twierdzenie o gęstości Jacobsona

Twierdzenie gęstość Jacobson to twierdzenie dotyczące proste moduły ponad pierścienia R .

Twierdzenie można zastosować, aby pokazać, że każdy pierwotny pierścień może być postrzegany jako „gęsty” podpierścień pierścienia przekształceń liniowych przestrzeni wektorowej. Twierdzenie to po raz pierwszy pojawiło się w literaturze w 1945 roku, w słynnym artykule „Teoria struktury prostych pierścieni bez założeń skończoności” Nathana Jacobsona . Można to postrzegać jako rodzaj uogólnienia wniosku z twierdzenia Artina-Wedderburna o budowie prostych pierścieni artyńskich .

Bardziej formalnie twierdzenie można sformułować w następujący sposób:

Twierdzenie o gęstości Jacobsona. Niech u być prosty prawo R -module, D = koniec ( U R ) , a xU skończoną i D -linearly niezależny zestaw. Jeśli jest D -linear transformacja U to istnieje RR , tak że ( x ) = xR dla wszystkich x w X .

Lemat Nakayamy

Niech J ( R ) oznacza Jacobson rodnik o R . Jeśli U jest prawym modułem nad pierścieniem, R , a I jest prawym ideałem w R , to zdefiniuj U · I jako zbiór wszystkich (skończonych) sum elementów postaci u · i , gdzie · jest po prostu działanie R na U . Koniecznie U · I jest podmodułem U .

Jeżeli V jest modułem ilość od U , a U / V jest prosta . Zatem U · J( R ) jest koniecznie podzbiorem V , zgodnie z definicją J( R ) oraz faktem, że U / V jest proste. Tak więc, jeżeli U zawiera co najmniej jeden (prawidłowego) maksymalna podmodułu, U · J ( R ) jest właściwe z modułem U . Jednak nie musi to dotyczyć dowolnych modułów U nad R , ponieważ U nie musi zawierać żadnych maksymalnych submodułów. Oczywiście, jeśli U jest modułem Noetherian , to się zgadza. Jeśli R jest Noetherian i U jest skończenie generowane , to U jest modułem Noetherian nad R i wniosek jest spełniony. Nieco godne uwagi jest to, że słabsze założenie, a mianowicie, że U jest skończenie generowane jako moduł R (i nie ma założenia skończoności na R ), jest wystarczające do zagwarantowania wniosku. Jest to zasadniczo stwierdzenie lematu Nakayamy.

Dokładnie, jeden ma następujące.

Lemat Nakayamy : Niech U będzie skończenie wygenerowanym prawym modułem nad pierścieniem R . Jeśli u jest niezerowe moduł następnie U · J ( R ) jest właściwe z modułem U .

Wersja lematu dotyczy prawych modułów nad nieprzemiennymi unitarnymi pierścieniami R . Wynikowe twierdzenie jest czasami znane jako twierdzenie Jacobsona-Azumayi .

Nieprzemienna lokalizacja

Lokalizacja to systematyczna metoda dodawania odwrotności multiplikatywnych do pierścienia i jest zwykle stosowana do pierścieni przemiennych. Mając pierścień R i podzbiór S , chcemy skonstruować pewien pierścień R* i homomorfizm pierścienia od R do R* , tak aby obraz S składał się z jednostek (elementów odwracalnych) w R* . Dalej chce się, aby R* był „najlepszym możliwym” lub „najbardziej ogólnym” sposobem na zrobienie tego – w zwykły sposób powinno to być wyrażone przez uniwersalną własność . Lokalizacja R przez S jest zwykle oznaczana przez S  -1 R ; jednak inne notacje są używane w niektórych ważnych szczególnych przypadkach. Jeśli S jest zbiorem niezerowych elementów domeny całkowitej , to lokalizacja jest polem ułamków i dlatego zwykle oznaczana jest Frac( R ).

Lokalizowanie nieprzemiennych pierścieni jest trudniejsze; lokalizacja nie istnieje dla każdego zestawu S potencjalnych jednostek. Jednym z warunków zapewniających istnienie lokalizacji jest warunek Ruda .

Jednym z przypadków dla nieprzemiennych pierścieni, w których lokalizacja ma wyraźne zainteresowanie, są pierścienie operatorów różniczkowych. Ma na przykład interpretację przylegania formalnej odwrotności D- 1 dla operatora różniczkowania D . Odbywa się to w wielu kontekstach w metodach równań różniczkowych . Obecnie istnieje na ten temat wielka matematyczna teoria, zwana mikrolokalizacją , łącząca się z wieloma innymi gałęziami. Mikro- tag jest zrobić z połączeń z teorii Fouriera , w szczególności.

Równoważność Morita

Równoważność Morita to relacja zdefiniowana między pierścieniami, która zachowuje wiele właściwości teoretycznych pierścieni. Jego nazwa pochodzi od japońskiego matematyka Kiiti Mority, który zdefiniował równoważność i podobne pojęcie dwoistości w 1958 roku.

Dwa pierścienie R i S (skojarzone, z 1) są uważane za ( Morita ) równoważne, jeśli istnieje równoważność kategorii (lewych) modułów nad R , R-Mod i kategorii (lewych) modułów nad S , S-Mod . Można wykazać, że lewe kategorie modułów R-Mod i S-Mod są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy prawe kategorie modułów Mod-R i Mod-S są równoważne. Dalej można wykazać, że każdy funktor od R-Mod do S-Mod, który daje równoważność, jest automatycznie addytywny .

Grupa Brauera

Grupa Brauer z pola K jest grupą abelowa której elementy równoważne Morita klas głównych prostych algebrach skończonej stopień ponad K i dodawanie wywołanej przez produkt tensora algebr. Powstała z prób klasyfikacji algebr dzielenia w obrębie ciała i nosi imię algebraisty Richarda Brauera . Grupę można również zdefiniować w kategoriach kohomologii Galois . Bardziej ogólnie, grupa Brauera schematu jest zdefiniowana w terminach algebr Azumaya .

Warunki rudy

Warunek Rudy to warunek wprowadzony przez Rudę Øysteina , w związku z kwestią wykroczenia poza pierścienie przemienne budowy pola ułamków , czy szerzej lokalizacji pierścienia . Odpowiednim stanie rudy o multiplikatywnej podzbioru S z pierścienia R jest to, że wR i sS , przecięcie aSsR ≠ ∅ . Domena, która spełnia właściwy warunek dla Rudy, nazywana jest właściwą domeną Rudy . Podobnie definiuje się lewy przypadek.

Twierdzenie Goldiego

W matematyce , twierdzenie Goldie jest to podstawowy wynik strukturalny w teorii pierścieni , świadczy Alfred Goldie w 1950. To, co obecnie nazywa się prawym pierścieniem Goldie, jest pierścieniem R, który ma skończony jednorodny wymiar (zwany również „skończonym szeregiem”) jako prawy moduł nad sobą i spełnia warunek wznoszącego łańcucha na prawych anihilatorach podzbiorów R .

Twierdzenie Goldiego mówi, że półpierwsze prawe pierścienie Goldiego to dokładnie te, które mają półprosty artyński prawy klasyczny pierścień ilorazów . Struktura tego pierścienia ilorazów jest wtedy całkowicie określona przez twierdzenie Artina-Wedderburna .

W szczególności twierdzenie Goldiego stosuje się do półpierwszych prawych pierścieni noetherowskich , ponieważ z definicji prawe pierścienie noetherowskie mają warunek łańcucha rosnącego na wszystkich właściwych ideałach. To wystarczy, aby zagwarantować, że prawy pierścień Noetherian jest właściwym Goldie. Nie jest odwrotnie: każda dobra domena Rudy jest właściwą domeną Goldie, a zatem każda przemienna domena integralna .

Konsekwencją twierdzenia Goldiego, ponownie ze względu na Goldiego, jest to, że każdy półpierwszy główny prawy idealny pierścień główny jest izomorficzny ze skończoną, prostą sumą pierwszych głównych prawych idealnych pierścieni. Każdy główny główny prawy idealny pierścień jest izomorficzny z pierścieniem macierzy nad prawą domeną rudy.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura