n -wektor - n-vector

N -wektor reprezentacji (zwany również geodezyjny normalny lub elipsoidalny wektor normalny) jest trójparametrowy nieosobliwe reprezentacja dobrze nadaje się do zastąpienia szerokości i długości , jak poziomej reprezentacji pozycji w obliczeń matematycznych i algorytmów komputerowych.

Geometrycznie, wektor n dla danej pozycji na elipsoidzie jest wektorem jednostkowym skierowanym na zewnątrz, który jest normalny w tym położeniu do elipsoidy. Do reprezentowania pozycji poziomych na Ziemi elipsoida jest elipsoidą odniesienia, a wektor jest rozłożony w ustalonym na Ziemi układzie współrzędnych ze środkiem Ziemi . Zachowuje się płynnie na wszystkich pozycjach Ziemi i zachowuje matematyczną właściwość jeden do jednego .

Bardziej ogólnie, koncepcja może być stosowana do stanowisk reprezentujących na granicy ściśle wypukła ograniczonym podzbiorem z k -wymiarowej przestrzeni euklidesowej , pod warunkiem, że ta granica jest różniczkowalna kolektorze . W tym ogólnym przypadku wektor n składa się z k parametrów.

Właściwości ogólne

Wektor normalny do ściśle wypukłej powierzchni mogą być wykorzystywane do jednoznacznego określenia położenia powierzchni. n -vector jest normalnym wektorem skierowanym na zewnątrz o jednostkowej długości używanym jako reprezentacja pozycji.

W większości zastosowań powierzchnia jest elipsoidą odniesienia Ziemi, a zatem n- wektor jest używany do reprezentowania pozycji poziomej. Stąd kąt między n- wektorem a płaszczyzną równikową odpowiada szerokości geodezyjnej , jak pokazano na rysunku.

Kierunek wektora n odpowiada szerokości geodezyjnej

Położenie powierzchni ma dwa stopnie swobody , a zatem dwa parametry wystarczają do przedstawienia dowolnego położenia na powierzchni. Na elipsoidzie odniesienia szerokość i długość geograficzna są wspólnymi parametrami do tego celu, ale podobnie jak wszystkie reprezentacje dwuparametrowe mają osobliwości . Jest to podobne do orientacji , która ma trzy stopnie swobody, ale wszystkie reprezentacje trójparametrowe mają osobliwości. W obu przypadkach osobliwości są unikane poprzez dodanie dodatkowego parametru, tj. Użycie n- wektora (trzy parametry) do reprezentowania pozycji poziomej i jednostki kwaternion (cztery parametry) do reprezentacji orientacji .

n- wektor jest reprezentacją jeden do jednego , co oznacza, że ​​dowolne położenie powierzchni odpowiada jednemu unikalnemu n- wektorowi, a każdy n- wektor odpowiada jednej unikalnej pozycji powierzchni.

Jako wektor euklidesowy 3D , do obliczania pozycji można zastosować standardową algebrę wektorów 3D , co sprawia, że n - wektor dobrze nadaje się do większości obliczeń pozycji poziomej.

Konwersja szerokości / długości geograficznej na wektor- n

Na podstawie definicji układu współrzędnych ECEF , zwanego e , jasne jest, że przejście od szerokości / długości geograficznej do wektora n jest osiągane poprzez:

${\ Displaystyle \ mathbf {n} ^ {e} = \ lewo [{\ początek {macierz} \ cos (\ mathrm {szerokość}) \ cos (\ mathrm {długość}) \\\ cos (\ mathrm {szerokość} ) \ sin (\ mathrm {długość}) \\\ sin (\ mathrm {latitude}) \\\ end {matrix}} \ right]}$

Indeks górny E oznacza, że n -wektor jest rozłożone w układzie współrzędnych E (czyli pierwszy składnik jest skalar występ z n -wektor na x -osiowy od E , druga na y -osiowy z e itp.); Zauważ, że równanie jest dokładne zarówno dla sferycznego, jak i elipsoidalnego modelu Ziemi.

Konwersja wektora n na szerokość / długość geograficzną

Z tych trzech składowych n -wektor, , i , szerokości można uzyskać stosując: ${\ Displaystyle n_ {x} ^ {e}}$${\ displaystyle n_ {y} ^ {e}}$${\ displaystyle n_ {z} ^ {e}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {latitude} = \ arcsin \ lewo (n_ {z} ^ {e} \ prawej) = \ arctan \ lewo ({\ Frac {n_ {z} ^ {e}} {\ sqrt {{n_ {x} ^ {e}} ^ {2} + {n_ {y} ^ {e}} ^ {2}}}} \ right)}$

Wyrażenie skrajnie prawe najlepiej nadaje się do implementacji programu komputerowego.

Długość geograficzną można znaleźć za pomocą:

${\ Displaystyle \ mathrm {długość} = \ arctan \ lewo ({\ Frac {n_ {y} ^ {e}} {n_ {x} ^ {e}}} \ prawej)}$

W tych wyrażeniach należy zaimplementować za pomocą wywołania atan2 ( y , x ). Pole osobliwości o długości jest oczywiste, jak atan2 (0,0) jest nieokreślona. Zauważ, że równania są dokładne zarówno dla sferycznego, jak i elipsoidalnego modelu Ziemi. ${\ Displaystyle \ arctan (r / x)}$

Przykład: duża odległość koła

Wyznaczanie odległości po ortodromie między dwiema pozycjami poziomymi (zakładając kulistą Ziemię) zwykle wykonuje się na podstawie szerokości i długości geograficznej. Powszechne są trzy różne wyrażenia określające tę odległość; pierwsza oparta jest na arccos , druga na arcsin , a ostatnia na arctanie . Wyrażenia, które są kolejno coraz bardziej złożone, aby uniknąć niestabilności liczbowych , nie są łatwe do znalezienia, a ponieważ są oparte na szerokości i długości geograficznej, osobliwości biegunów mogą stać się problemem. Zawierają również delty szerokości i długości geograficznej, które generalnie należy stosować ostrożnie w pobliżu południka ± 180 ° i biegunów.

Rozwiązanie tego samego problemu za pomocą n- wektora jest prostsze ze względu na możliwość zastosowania algebry wektorów . Wyrażenie ARccOS uzyskuje się z iloczynu skalarnego , natomiast wielkość tego produktu przekroju daje ekspresję arcsin. Połączenie tych dwóch daje wyrażenie arctan:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ Delta \ sigma = \ arccos \ lewo (\ mathbf {n} _ {a} \ cdot \ mathbf {n} _ {b} \ prawej) \\ & \ Delta \ sigma = \ arcsin \ left (\ left | \ mathbf {n} _ {a} \ times \ mathbf {n} _ {b} \ right | \ right) \\ & \ Delta \ sigma = \ arctan \ left ({\ frac {\ left | \ mathbf {n} _ {a} \ times \ mathbf {n} _ {b} \ right |} {\ mathbf {n} _ {a} \ cdot \ mathbf {n} _ {b} }} \ right) \\\ end {aligned}}}$

gdzie i są n- wektorami reprezentującymi dwie pozycje a i b . jest różnicą kątową, a zatem odległość ortodromy jest uzyskiwana przez pomnożenie przez promień Ziemi. To wyrażenie działa również na biegunach i na południku ± 180 °. ${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {b}}$${\ displaystyle \ Delta \ sigma}$

Istnieje kilka innych przykładów, w których użycie algebry wektorów upraszcza standardowe problemy. Aby zapoznać się z ogólnym porównaniem różnych reprezentacji, zobacz stronę z reprezentacjami pozycji poziomej .

Zobacz też

• Reprezentacja pozycji poziomej
• Szerokość
• Długość geograficzna
• Uniwersalny poprzeczny układ współrzędnych Mercator
• Kwaternion

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Rozwiązanie 10 zadań za pomocą wektora n