Funkcja kilku zmiennych rzeczywistych - Function of several real variables

W analizie matematycznej jej zastosowania, funkcja kilku zmiennych rzeczywistych lub rzeczywista funkcja wielowymiarowa to funkcja z więcej niż jednym argumentem , przy czym wszystkie argumenty są zmiennymi rzeczywistymi . Koncepcja ta rozszerza ideę funkcji zmiennej rzeczywistej na kilka zmiennych. Zmienne „wejściowe” przyjmują wartości rzeczywiste, natomiast „wyjściowe”, zwane również „wartością funkcji”, mogą być rzeczywiste lub złożone . Jednakże badanie funkcji o wartościach zespolonych można łatwo sprowadzić do badania funkcji o wartościach rzeczywistych, poprzez rozważenie części rzeczywistych i urojonych funkcji zespolonej; dlatego, o ile nie zostało to wyraźnie określone, w tym artykule będą brane pod uwagę tylko funkcje o wartościach rzeczywistych.

Domeny od funkcji n zmiennych jest podzbiorem z R n , dla którego funkcja jest określona. Jak zwykle, dziedzina funkcji kilku zmiennych rzeczywistych powinna zawierać niepusty otwarty podzbiór R n .

Ogólna definicja

n = 1
n = 2
n = 3
Funkcje f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) z n zmiennych wykreślono jako wykresy w przestrzeni R n + 1 . Domeny to czerwone n- wymiarowe regiony, a obrazy to fioletowe n- wymiarowe krzywe.

Funkcja o wartościach rzeczywistych n zmiennych rzeczywistych to funkcja, która przyjmuje jako dane wejściowe n liczb rzeczywistych , zwykle reprezentowanych przez zmienne x 1 , x 2 , …, x n , w celu uzyskania innej liczby rzeczywistej, wartości funkcji, powszechnie oznaczanej f ( x 1 , x 2 , … , x n ) . Dla uproszczenia, w tym artykule funkcja kilku zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych będzie po prostu nazywana funkcją . Aby uniknąć niejasności, inne typy funkcji, które mogą wystąpić, zostaną wyraźnie określone.

Niektóre funkcje są zdefiniowane dla wszystkich rzeczywistych wartości zmiennych (jeden mówi, że są one wszędzie zdefiniowane), ale inne funkcje są zdefiniowane tylko wtedy, gdy wartość zmiennej jest uwzględniona w podzbiorze X z R n , dziedzina funkcji, który zawsze powinien zawierać otwarty podzbiór R n . Innymi słowy, funkcja o wartościach rzeczywistych n zmiennych rzeczywistych jest funkcją

tak, że jego domeny X jest podzbiorem R n , który zawiera zbiór niepusty otwarty.

Element X będący n - krotką ( x 1 , x 2 , …, x n ) (zwykle oddzielony nawiasami), ogólny zapis oznaczający funkcje to f (( x 1 , x 2 , …, x n ) ) . Powszechnym zastosowaniem, znacznie starszym niż ogólna definicja funkcji między zestawami, jest nieużywanie podwójnych nawiasów i po prostu napisanie f ( x 1 , x 2 , …, x n ) .

Często skraca się również n- krotkę ( x 1 , x 2 , …, x n ) za pomocą notacji podobnej do notacji wektorów , takiej jak pogrubienie x , podkreślenie x lub przekreślenie x . W tym artykule użyjemy pogrubienia.

Prostym przykładem funkcji w dwóch zmiennych może być:

który jest objętość V z stożka z obszaru podstawy A i wysokość h mierzoną prostopadle od korpusu. Domena ogranicza wszystkie zmienne do wartości dodatnich, ponieważ długości i obszary muszą być dodatnie.

Przykład funkcji w dwóch zmiennych:

gdzie a i b są rzeczywistymi niezerowymi stałymi. Za pomocą trójwymiarowej kartezjańskim układzie współrzędnych , w którym xy płaszczyzna jest domeną R 2 , a oś z jest codomain R , można wyobrazić sobie obraz być dwuwymiarowej płaszczyźnie, przy nachyleniu w w dodatnim kierunku x oraz nachylenie b w dodatnim kierunku y. Funkcja jest dobrze zdefiniowana we wszystkich punktach ( x , y ) w R 2 . Poprzedni przykład można łatwo rozszerzyć na wyższe wymiary:

dla p niezerowych stałych rzeczywistych a 1 , a 2 , …, a p , co opisuje p- wymiarową hiperpłaszczyznę .

Euklidesowa normą :

jest również funkcją n zmiennych, która jest wszędzie zdefiniowana, podczas gdy

jest zdefiniowany tylko dla x ≠ (0, 0, …, 0) .

Dla przykładowej funkcji nieliniowej w dwóch zmiennych:

który przyjmuje wszystkie punkty w X , dysk o promieniu 8 "przebity" w początku ( x , y ) = (0, 0) w płaszczyźnie R 2 i zwraca punkt w R . Funkcja nie zawiera początku ( x , y ) = (0, 0) , gdyby tak było, f byłoby w tym momencie źle zdefiniowane. Stosując 3d kartezjańskim układzie współrzędnych z xy -plane jak domena R 2 , oraz z osi codomain R , obraz może być wizualizowane w postaci zakrzywionych powierzchni.

Funkcja może być obliczona w punkcie ( x , y ) = (2, 3 ) w X :

Jednak funkcja nie mogła zostać oceniona na, powiedzmy

ponieważ te wartości x i y nie spełniają reguły domeny.

Obraz

Obrazu przez funkcję f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) jest zbiorem wszystkich wartości F , gdy n -tuple ( x 1 , X 2 , ..., x n ) biegnie na całej domeny f . W przypadku ciągłej (definicja poniżej) funkcji o wartościach rzeczywistych, która ma połączoną dziedzinę, obraz jest albo przedziałem, albo pojedynczą wartością. W tym drugim przypadku funkcja jest funkcją stałą .

Preimage danej liczby rzeczywistej c nazywamy zbiór poziom . Jest to zbiór rozwiązań równania f ( x 1 , x 2 , …, x n ) = c .

Domena

Domeny z funkcją wielu zmiennych rzeczywistych jest podzbiorem R n , które jest często, lecz nie zawsze, wyraźnie określone. W rzeczywistości, jeżeli ogranicza domena X z funkcją f podzbioru YX , dostaje formalnie innej funkcji, ograniczenie z F do Y , który jest oznaczany . W praktyce często (ale nie zawsze) identyfikacja f i , a pominięcie ogranicznika | . nie jest szkodliwe T .

Odwrotnie, czasami możliwe jest naturalne powiększenie dziedziny danej funkcji, na przykład poprzez ciągłość lub kontynuację analityczną .

Co więcej, wiele funkcji jest zdefiniowanych w taki sposób, że trudno jednoznacznie określić ich dziedzinę. Na przykład, mając funkcję f , może być trudno określić dziedzinę funkcji Jeśli f jest wielomianem wielowymiarowym , (który ma jako dziedzinę), trudno jest nawet sprawdzić, czy dziedzina g jest również . Jest to równoznaczne z sprawdzeniem, czy wielomian jest zawsze dodatni i czy jest obiektem aktywnego obszaru badawczego (patrz Wielomian dodatni ).

Struktura algebraiczna

Zwykłe operacje arytmetyczne na liczbach rzeczywistych można rozszerzyć na funkcje o wartościach rzeczywistych kilku zmiennych rzeczywistych w następujący sposób:

  • Dla każdej liczby rzeczywistej r Z funkcją stałą
    jest wszędzie zdefiniowana.
  • Dla każdej liczby rzeczywistej r i każdej funkcji f funkcja:
    ma tę samą domenę co f (lub jest wszędzie zdefiniowana, jeśli r = 0 ).
  • Jeśli f i g są dwiema funkcjami odpowiednich dziedzin X i Y takimi, że XY zawiera niepusty otwarty podzbiór R n , wtedy
    oraz
    są funkcjami, które mają domenę zawierającą XY .

Wynika z tego, że zarówno funkcje n zmiennych, które są wszędzie zdefiniowane, jak i funkcje n zmiennych, które są zdefiniowane w pewnym sąsiedztwie danego punktu, tworzą algebry przemienne nad liczbami rzeczywistymi ( R -algebry). To jest prototypowy przykład przestrzeni funkcyjnej .

Można podobnie zdefiniować:

co jest funkcją tylko wtedy, gdy zbiór punktów ( x 1 , …, x n ) w dziedzinie f taki , że f ( x 1 , …, x n ) ≠ 0 zawiera otwarty podzbiór R n . To ograniczenie implikuje, że powyższe dwie algebry nie są polami .

Funkcje jednej zmiennej związane z funkcją wielu zmiennych

Można łatwo uzyskać funkcję w jednej zmiennej rzeczywistej, podając stałą wartość wszystkim zmiennym oprócz jednej. Na przykład, jeśli ( a 1 , …, a n ) jest punktem wnętrza dziedziny funkcji f , możemy ustalić wartości x 2 , …, x n odpowiednio a 2 , …, a n , aby uzyskać jednozmienną funkcję

którego domena zawiera interwał skoncentrowany w a 1 . Funkcję tę można również postrzegać jako ograniczenie funkcji f do prostej określonej równaniami x i = a i dla i = 2, …, n .

Inne funkcje univariable może być określony przez ograniczenie F do każdej linii przechodzącej przez ( a 1 , ..., a n ) . To są funkcje

gdzie c i są liczbami rzeczywistymi, które nie są zerami.

W następnej sekcji pokażemy, że jeśli funkcja wielu zmiennych jest ciągła, to wszystkie te funkcje jednowymiarowe są ciągłe, ale odwrotność niekoniecznie jest prawdziwa.

Ciągłość i limit

Do drugiej połowy XIX wieku matematycy rozważali tylko funkcje ciągłe . Pojęcie ciągłości zostało wówczas wypracowane dla funkcji jednej lub kilku zmiennych rzeczywistych na dość długo przed formalnym zdefiniowaniem przestrzeni topologicznej i ciągłej mapy pomiędzy przestrzeniami topologicznymi. Ponieważ funkcje ciągłe kilku zmiennych rzeczywistych są wszechobecne w matematyce, warto zdefiniować to pojęcie bez odniesienia do ogólnego pojęcia ciągłych odwzorowań między przestrzeniami topologicznymi.

Do określania ciągłości, to użyteczne jest rozważenie funkcji odległości od R n , która jest wszędzie określona funkcja 2 n rzeczywistych zmiennych

Funkcja f jest ciągła w punkcie a = ( a 1 , …, a n ), który znajduje się wewnątrz jej dziedziny, jeśli dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej ε istnieje dodatnia liczba rzeczywista φ taka, że | f ( x ) − f ( a )| < ε dla wszystkich x takich , że d ( x a ) < φ . Innymi słowy, φ można dobrać wystarczająco małe dla mający obraz f kuli o promieniu φ środku w zawarte w przedziale długości 2 ε środku w f ( a ) . Funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Jeżeli funkcja ta jest ciągła w f ( ) , to wszystkie funkcje jednowymiarowych, które są uzyskiwane poprzez zamocowanie wszystkich zmiennych x I z wyjątkiem jednego, w wartości ı , są ciągłe w f ( a ) . Odwrotność jest fałszywa; oznacza to , że wszystkie te jednowymiarowe funkcje mogą być ciągłe dla funkcji , która nie jest ciągła w f ( a ) . Rozważmy na przykład funkcję f taką, że f (0, 0) = 0 i jest inaczej zdefiniowana przez

Funkcje xf ( x , 0) i yf (0, y ) są zarówno stałe, jak i równe zeru, a zatem są ciągłe. Funkcja f nie jest ciągła w (0, 0) , ponieważ jeśli ε < 1/2 i y = x 2 ≠ 0 , mamy f ( x , y ) = 1/2 , nawet jeśli | x | Jest bardzo mały. Chociaż nie jest ciągła, ta funkcja ma dodatkową właściwość, że wszystkie funkcje jednowymiarowe uzyskane przez ograniczenie jej do linii przechodzącej przez (0, 0) są również ciągłe. W rzeczywistości mamy

dla λ ≠ 0 .

Ograniczenie w punkcie w funkcji rzeczywistej o wartościach rzeczywistych z wielu zmiennych jest zdefiniowany w następujący sposób. Niech a = ( a 1 , a 2 , …, a n ) będzie punktem topologicznego domknięcia dziedziny X funkcji f . Funkcja f ma granicę L, gdy x dąży do a , oznaczoną

jeżeli spełniony jest warunek: dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej ε > 0 , istnieje dodatnia liczba rzeczywista δ > 0 taka, że

dla wszystkich x w domenie tak, że

Jeśli limit istnieje, jest unikalny. Jeśli a znajduje się we wnętrzu domeny, granica istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja jest ciągła w a . W tym przypadku mamy

Gdy a znajduje się na granicy dziedziny f , a f ma granicę w a , ta druga formuła pozwala na „rozszerzenie przez ciągłość” dziedziny f do a .

Symetria

Funkcja symetryczna to funkcja f, która pozostaje niezmieniona, gdy dwie zmienne x i oraz x j są zamienione miejscami:

gdzie i i j to 1, 2, …, n . Na przykład:

jest symetryczny w x , y , z od zamiany każdej pary x , y , ż li f zmienia się, lecz nie jest symetryczna na wszystkich X , Y , Z , T , ponieważ zamiany t z X lub Y lub Z daje inną funkcję .

Skład funkcji

Załóżmy, że funkcje

lub bardziej zwięźle ξ = ξ ( x ) , wszystkie są zdefiniowane w domenie X . Ponieważ n -krotka x = ( x 1 , x 2 , …, x n ) zmienia się w X , podzbiór R n , m -krotka ξ = ( ξ 1 , ξ 2 , …, ξ m ) zmienia się w innym region Ξ podzbiór R m . Aby to powtórzyć:

Wtedy funkcja ζ z funkcji ξ ( x ) zdefiniowanych na Ξ ,

jest złożeniem funkcji zdefiniowanym na X , innymi słowy odwzorowanie

Zauważ, że liczby m i n nie muszą być równe.

Na przykład funkcja

zdefiniowane wszędzie na R 2 można przepisać przez wprowadzenie

który jest również wszędzie zdefiniowany w R 3, aby uzyskać

Złożenie funkcji może być użyte do uproszczenia funkcji, co jest przydatne do wykonywania całek wielokrotnych i rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych .

Rachunek różniczkowy

Rachunek elementarny jest rachunkiem funkcji o wartościach rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej, a główne idee różniczkowania i całkowania takich funkcji można rozszerzyć na funkcje więcej niż jednej zmiennej rzeczywistej; to rozszerzenie jest rachunkiem różniczkowym wielu zmiennych .

Częściowe pochodne

Pochodne cząstkowe można zdefiniować w odniesieniu do każdej zmiennej:

Pochodne cząstkowe same w sobie są funkcjami, z których każda reprezentuje tempo zmian f równolegle do jednej z osi x 1 , x 2 , …, x n we wszystkich punktach w dziedzinie (jeśli pochodne istnieją i są ciągłe — patrz także poniżej ). Pierwsza pochodna jest dodatnia, jeśli funkcja rośnie w kierunku odpowiedniej osi, ujemna, jeśli maleje, a zero, jeśli nie ma wzrostu ani spadku. Obliczenie pochodnej cząstkowej w określonym punkcie w dziedzinie daje szybkość zmiany funkcji w tym punkcie w kierunku równoległym do określonej osi, liczbę rzeczywistą.

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, y = f ( x ) , jej pochodna zwyczajna dy / dx jest geometrycznie gradientem linii stycznej do krzywej y = f ( x ) we wszystkich punktach w dziedzinie. Pochodne częściowe rozszerzają tę ideę na styczne hiperpłaszczyzny do krzywej.

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu można obliczyć dla każdej pary zmiennych:

Geometrycznie są one związane z lokalną krzywizną obrazu funkcji we wszystkich punktach domeny. W dowolnym momencie, w którym funkcja jest dobrze zdefiniowana, funkcja może rosnąć wzdłuż niektórych osi i/lub maleć wzdłuż innych osi i/lub wcale nie rosnąć lub maleć wzdłuż innych osi.

Prowadzi to do różnych możliwych punktów stacjonarnych : maksimów globalnych lub lokalnych, minimów globalnych lub lokalnych oraz punktów siodłowych — wielowymiarowego odpowiednika punktów przegięcia funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej. Heskie macierz jest macierzą rzędu drugiego wszystkie pochodne cząstkowe, które są stosowane do badania nieruchomych punktów funkcji, ważne dla optymalizacji matematycznej .

Generalnie pochodne cząstkowe wyższego rzędu p mają postać:

gdzie p 1 , p 2 , …, p n są liczbami całkowitymi od 0 do p takimi, że p 1 + p 2 + ⋯ + p n = p , używając definicji zerowych pochodnych cząstkowych jako operatorów tożsamości :

Liczba możliwych pochodnych cząstkowych wzrasta wraz z p , chociaż niektóre mieszane pochodne cząstkowe (od więcej niż jednej zmiennej) są zbędne ze względu na symetrię pochodnych cząstkowych drugiego rzędu . Zmniejsza to liczbę pochodnych cząstkowych do obliczenia dla niektórych p .

Różniczkowalność wielu zmiennych

Funkcja f ( x ) jest różniczkowalna w sąsiedztwie punktu a jeśli istnieje n -krotka liczb zależna od a w ogólności, A ( a ) = ( A 1 ( a ), A 2 ( a ), …, A n ( a )) , tak aby:

gdzie α → 0 jako | xa | → 0 . Oznacza to, że jeśli f jest różniczkowalne w punkcie a , to f jest ciągłe w x = a , chociaż odwrotność nie jest prawdziwa - ciągłość w dziedzinie nie implikuje różniczkowalności w dziedzinie. Jeśli f jest różniczkowalna w a, to pochodne cząstkowe pierwszego rzędu istnieją w a i:

dla i = 1, 2, …, n , które można znaleźć z definicji poszczególnych pochodnych cząstkowych, więc pochodne cząstkowe f istnieją.

Zakładając n- wymiarowy analog prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych , te pochodne cząstkowe można wykorzystać do utworzenia wektorowego liniowego operatora różniczkowego , zwanego gradientem (znanym również jako „ nabla ” lub „ del ”) w tym układzie współrzędnych:

szeroko stosowany w rachunku wektorowym , ponieważ jest przydatny do konstruowania innych operatorów różniczkowych i zwięzłego formułowania twierdzeń w rachunku wektorowym.

Następnie zastępując gradient f (oceniany przy x = a ) nieznacznym przegrupowaniem otrzymujemy:

gdzie · oznacza iloczyn skalarny . To równanie reprezentuje najlepsze przybliżenie liniowe funkcji f we wszystkich punktach x w sąsiedztwie a . Dla nieskończenie małych zmian w f i x jako x :

który jest zdefiniowany jako całkowita różniczka lub po prostu różniczka z f , w a . Wyrażenie to odpowiada całkowitej nieskończenie małej zmianie f przez dodanie wszystkich nieskończenie małych zmian f we wszystkich kierunkach x i . Ponadto, df może być rozumiane jako kowektor z wektorami bazowymi jako nieskończenie małymi dx i w każdym kierunku i pochodnymi cząstkowymi f jako składowymi.

Geometrycznie f jest prostopadłe do zbiorów poziomów f , dane przez f ( x ) = c , co dla pewnej stałej c opisuje ( n − 1) -wymiarową hiperpowierzchnię. Różniczka stałej wynosi zero:

gdzie d x jest nieskończenie małą zmianą x w hiperpowierzchni f ( x ) = c , a ponieważ iloczyn skalarny ∇ f i d x wynosi zero, oznacza to, że f jest prostopadłe do d x .

W dowolnych krzywoliniowych układach współrzędnych w n wymiarach, wyraźne wyrażenie gradientu nie byłoby takie proste - istniałyby współczynniki skali w postaci tensora metrycznego dla tego układu współrzędnych. W powyższym przypadku używanym w tym artykule metryką jest tylko delta Kroneckera, a wszystkie współczynniki skali wynoszą 1.

Klasy różniczkowalności

Jeżeli wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu wyliczone w punkcie a w dziedzinie:

istnieją i są ciągłe dla wszystkich a w dziedzinie, f ma klasę różniczkowalności C 1 . Ogólnie rzecz biorąc, jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu p wyceniane w punkcie a :

istnieją i są ciągłe, gdzie p 1 , p 2 , …, p n , i p są jak wyżej, dla wszystkich a w dziedzinie, wtedy f jest różniczkowalna w porządku p w całej dziedzinie i ma klasę różniczkowalności C p .

Jeśli f należy do klasy różniczkowalności C , f ma ciągłe pochodne cząstkowe wszelkiego rzędu i nazywa się gładką . Jeśli f jest funkcją analityczną i równa się jej szeregowi Taylora względem dowolnego punktu w dziedzinie, notacja C ω oznacza tę klasę różniczkowalności.

Wielokrotna integracja

Całkowita integracja może zostać rozszerzona do wielokrotnej integracji na kilku zmiennych rzeczywistych z notacją;

gdzie każdy obszar R 1 , R 2 , …, R n jest podzbiorem lub całością linii rzeczywistej:

a ich kartezjański produkt daje regionowi do integracji jako jeden zestaw:

n wymiarową hypervolume . Przy obliczaniu całka oznaczona jest liczbą rzeczywistą, jeśli całka zbiega się w obszarze całkowania R (wynik całki oznaczonej może odbiegać do nieskończoności dla danego obszaru, w takim przypadku całka pozostaje nieokreślona). Zmienne są traktowane jako zmienne „fikcyjne” lub „związane”, które w procesie całkowania zastępują liczby.

Całka funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej y = f ( x ) względem x ma interpretację geometryczną jako obszar ograniczony krzywą y = f ( x ) i osią x . Całki wielokrotne rozszerzają wymiarowość tego pojęcia: zakładając n- wymiarowy analog prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych , powyższa całka oznaczona ma geometryczną interpretację jako n- wymiarowa hiperobjętość ograniczona przez f ( x ) oraz x 1 , x 2 , …, x n osi, które mogą być dodatnie, ujemne lub zerowe, w zależności od całkowanej funkcji (jeśli całka jest zbieżna).

Podczas gdy ograniczona hiperobjętość jest przydatnym wglądem, ważniejszą ideą całek oznaczonych jest to, że reprezentują one całkowite wielkości w przestrzeni. Ma to znaczenie w matematyce stosowanej i fizyce: jeśli f jest jakimś skalarnym polem gęstości, a x są współrzędnymi wektora położenia , tj. pewną wielkością skalarną na jednostkę n- wymiarowej hiperobjętości, to całkowanie w obszarze R daje całkowitą ilość wielkości w R . Bardziej formalne pojęcia hiperwolumu są przedmiotem teorii miary . Powyżej użyliśmy miary Lebesgue'a , zobacz integracja Lebesgue'a, aby uzyskać więcej informacji na ten temat.

Twierdzenia

Przy pomocy definicji całkowania wielokrotnego i pochodnych cząstkowych można sformułować kluczowe twierdzenia, w tym podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego o kilku zmiennych rzeczywistych (czyli twierdzenie Stokesa ), całkowanie przez części w kilku zmiennych rzeczywistych, symetrię wyższych pochodnych cząstkowych i twierdzenie Taylora dla funkcji wielu zmiennych . Obliczanie mieszaniny całek i pochodnych cząstkowych można wykonać za pomocą różniczkowania twierdzeń pod znakiem całki .

Rachunek wektorowy

Można zebrać wiele funkcji, każdej z kilku zmiennych rzeczywistych, powiedzmy:

na m -krotkę, a czasami jako wektor kolumnowy lub wektor wierszowy :

wszystkie traktowane na tej samej zasadzie, co m- komponentowe pole wektorowe , i użyj dowolnej formy, która jest dogodna. Wszystkie powyższe zapisy mają wspólną zwartą notację y = f ( x ) . Rachunkiem takich pól wektorowych jest rachunek wektorowy . Aby uzyskać więcej informacji na temat traktowania wektorów wierszowych i wektorów kolumnowych funkcji wielu zmiennych, zobacz rachunek macierzy .

Funkcje niejawne

Wartościach rzeczywistych ukryte funkcja kilku zmiennych rzeczywistych nie jest zapisywana w postaci „ y = f (...) ”. Zamiast tego mapowanie odbywa się z przestrzeni R n + 1 do elementu zerowego w R (tylko zwykłe zero 0):

jest równaniem we wszystkich zmiennych. Funkcje niejawne są bardziej ogólnym sposobem reprezentowania funkcji, ponieważ jeśli:

wtedy zawsze możemy zdefiniować:

ale odwrotność nie zawsze jest możliwa, tj. nie wszystkie funkcje niejawne mają formę jawną.

Na przykład, używając notacji interwałowej , niech

Wybierając trójwymiarowy (3D) kartezjański układ współrzędnych, funkcja ta opisuje powierzchnię elipsoidy 3D wyśrodkowanej w punkcie początkowym ( x , y , z ) = (0, 0, 0) ze stałymi głównymi osiami a , b , c , odpowiednio wzdłuż dodatnich osi x , y i z . W przypadku a = b = c = r , mamy sferę o promieniu r wyśrodkowaną na początku. Inne przykłady przekrojów stożkowych, które można opisać podobnie, obejmują hiperboloidę i paraboloidę , a bardziej ogólnie można to zrobić dowolna powierzchnia 2D w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Powyższy przykład można rozwiązać dla x , y lub z ; jednak o wiele porządniej jest napisać to w formie niejawnej.

Bardziej wyrafinowany przykład:

dla niezerowych stałych rzeczywistych A , B , C , ω , ta funkcja jest dobrze zdefiniowana dla wszystkich ( t , x , y , z ) , ale nie można jej rozwiązać wprost dla tych zmiennych i zapisać jako " t = ", " x = " itp.

Funkcja ukryte twierdzenie z więcej niż dwóch zmiennych rzeczywistych transakcji z ciągłością a różniczkowalności funkcji, jak następuje. Niech ϕ ( x 1 , x 2 , …, x n ) będzie funkcją ciągłą z ciągłymi pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu i niech ϕ obliczone w punkcie ( a , b ) = ( a 1 , a 2 , …, a n , b ) wynosić zero:

i niech pierwsza pochodna cząstkowa ϕ względem y oszacowanego w ( a , b ) będzie niezerowa:

Wtedy istnieje przedział [ y 1 , y 2 ] zawierający b i obszar R zawierający ( a , b ) , taki że dla każdego x w R istnieje dokładnie jedna wartość y w [ y 1 , y 2 ] spełniająca ϕ ( x , y ) = 0 , a y jest funkcją ciągłą x tak , że ϕ ( x , y ( x )) = 0 . Na całkowite zróżnicowanie tych funkcji są:

Podstawienie dy do tej ostatniej różniczkowej i zrównanie współczynników różniczki daje pochodne cząstkowe pierwszego rzędu y względem x i pod względem pochodnych funkcji pierwotnej, z których każda jest rozwiązaniem równania liniowego

dla i = 1, 2, …, n .

Funkcja zespolona kilku zmiennych rzeczywistych

Funkcja o wartościach zespolonych kilku zmiennych rzeczywistych może być zdefiniowana przez rozluźnienie definicji funkcji o wartościach rzeczywistych, ograniczenie kodziedziny do liczb rzeczywistych i dopuszczenie wartości zespolonych .

Jeśli f ( x 1 , …, x n ) jest tak złożoną funkcją o wartościach, można ją rozłożyć jako

gdzie g i h są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Innymi słowy, badanie funkcji o wartościach zespolonych łatwo sprowadza się do badania par funkcji o wartościach rzeczywistych.

Ta redukcja działa dla ogólnych właściwości. Jednak dla funkcji określonej jawnie, takiej jak:

obliczenie części rzeczywistej i urojonej może być trudne.

Aplikacje

Wielowymiarowe funkcje zmiennych rzeczywistych pojawiają się nieuchronnie w inżynierii i fizyce , ponieważ obserwowalne wielkości fizyczne są liczbami rzeczywistymi (z powiązanymi jednostkami i wymiarami ), a każda wielkość fizyczna będzie generalnie zależeć od wielu innych wielkości.

Przykłady funkcji o wartościach rzeczywistych kilku zmiennych rzeczywistych

Przykłady w mechanice kontinuum obejmują lokalną gęstość masy ρ rozkładu masy, pole skalarne, które zależy od współrzędnych położenia przestrzennego (tutaj kartezjański na przykładzie), r = ( x , y , z ) i czasu t :

Podobnie dla gęstości ładunku elektrycznego dla obiektów naładowanych elektrycznie i wielu innych skalarnych pól potencjałów .

Innym przykładem jest pole prędkości , A pole wektorowe , który ma składniki prędkości v = ( v x , v y , v oo ) , każdy o wielu zmiennych funkcji współrzędnych przestrzennych i okres, podobnie:

Podobnie jest z innymi fizycznymi polami wektorowymi, takimi jak pola elektryczne i magnetyczne , oraz wektorowe pola potencjalne .

Innym ważnym przykładem jest równanie stanu w termodynamice , równanie odnoszące się do ciśnienia P , temperatury T i objętości V płynu, na ogół ma postać ukrytą:

Najprostszym przykładem jest równanie stanu gazu doskonałego :

gdzie n jest liczba moli , stały dla ustalonej ilości substancji i R stałą gazową . O wiele bardziej skomplikowane równania stanu zostały wyprowadzone empirycznie, ale wszystkie mają powyższą formę ukrytą.

W ekonomii wszechobecne są funkcje o wartościach rzeczywistych kilku zmiennych rzeczywistych . W założeniach teorii konsumenta użyteczność wyraża się jako funkcję ilości konsumowanych różnych dóbr, przy czym każda ilość jest argumentem funkcji użyteczności. Wynikiem maksymalizacji użyteczności jest zestaw funkcji popytu , z których każda wyraża wielkość popytu na określone dobro jako funkcję cen różnych dóbr oraz dochodu lub bogactwa. W teorii producenta zwykle zakłada się, że firma maksymalizuje zysk jako funkcję ilości różnych wyprodukowanych dóbr i ilości użytych różnych czynników produkcji. Wynikiem optymalizacji jest zbiór funkcji popytu dla różnych czynników produkcji oraz zbiór funkcji podaży dla różnych produktów; każda z tych funkcji ma jako argumenty ceny towarów i czynników produkcji.

Przykłady funkcji o wartościach zespolonych kilku zmiennych rzeczywistych

Niektóre „wielkości fizyczne” mogą mieć w rzeczywistości złożone wartości – takie jak złożona impedancja , złożona przenikalność , złożona przepuszczalność i złożony współczynnik załamania światła . Są to również funkcje zmiennych rzeczywistych, takich jak częstotliwość czy czas, a także temperatura.

W dwuwymiarowej mechanice płynów , a konkretnie w teorii przepływów potencjalnych używanych do opisu ruchu płynu w 2d, złożony potencjał

jest złożoną funkcją dwóch współrzędnych przestrzennych x i y oraz innych zmiennych rzeczywistych związanych z systemem. Część rzeczywista to potencjał prędkości, a część urojona to funkcja strumienia .

Te sferyczne harmoniczne występują w fizycznych i technicznych jako rozwiązanie równania Laplace'a , a także funkcyj o oo -component operatora krętu , które są o wartościach zespolonych wartościach rzeczywistych sferycznych kątami polarnych :

W mechanice kwantowej The falowa jest koniecznie o wartościach zespolonych, lecz zależy od rzeczywistych współrzędnych przestrzennych (lub pędu składników), jak również czas T :

gdzie każdy jest powiązany transformatą Fouriera .

Zobacz też

Bibliografia