Min-entropia - Min-entropy

Min-entropia , w teorii informacji , jest najmniejszym z rodziny Renyi o entropii, odpowiadającą najbardziej konserwatywnego sposobu pomiaru nieprzewidywalność zestaw wyników, jako ujemny logarytm prawdopodobieństwa najbardziej prawdopodobnego rezultatu. Poszczególne Renyi entropie są równe dla równomiernego rozkładu, ale zmierzyć nieprzewidywalność o nierównomiernej dystrybucji na różne sposoby. MIN-entropia jest nie większy niż zwykły lub Shannon entropii (co mierzy się średni nieprzewidywalność wyników), a to z kolei jest nie większa niż Hartley lub max-entropii , określony jako logarytm liczby efektów z niezerowym prawdopodobieństwem ,

Podobnie jak w przypadku klasycznego entropii Shannon i jego kwantowej uogólnienia entropii Neumanna, można określić warunkowego wersji min entropii. Warunkowe kwantowa min entropia jednorazowym lub konserwatywne analog warunkowego entropii kwantowej .

Aby zinterpretować warunkową działania informacyjne, załóżmy, Alicja i Bob byli podzielić dwudzielny stan kwantowy . Alicja ma dostęp do systemu i Boba do systemu . Entropia warunkowa mierzy średnią niepewność Bob o stanie Alicji momencie pobierania próbek z jego własnym systemem. MIN entropii można interpretować jako odległość stanu ze stanu maksymalnie splątane.

Koncepcja ta jest przydatna w kryptografii kwantowej, w kontekście wzmacniania prywatności (patrz przykład).

definicje

Definicja: Pozwolić być dwustronny operator gęstości w przestrzeni . MIN-entropia uwarunkowana jest zdefiniowany jako

gdzie zakresy infimum przez wszystkich operatorów gęstości w przestrzeni . Środek ten jest maksymalnym entropia zdefiniowany jako

Gładka min entropia jest zdefiniowane w kategoriach min entropii.

gdzie sup i inf zasięg ponad operatorów gęstości , które są -Zamknij się . Ten środek -Zamknij definiuje się w kategoriach odległości oczyszczonej

gdzie jest wierność miarą.

Ilości te mogą być postrzegane jako uogólnień o entropii von Neumanna . Rzeczywiście, entropia von Neumann można wyrazić

To się nazywa w pełni kwantowa asymptotycznej ekwipartycji. Wygładzonej entropie mają wiele interesujących właściwości z entropii von Neumanna. Na przykład, gładkie min entropia spełniać nierówność przetwarzanie danych:

Interpretacja operacyjny wygładzonej min entropii

Odtąd będziemy upuszczać indeks od min-entropii, gdy jest oczywiste z kontekstu, co państwo to jest uwzględniany.

Min-entropia jako niepewność odnośnie informacji klasycznej

Przypuśćmy, że agent miał dostęp do systemu kwantowego , którego stan zależy od jakiejś zmiennej klasycznej . Ponadto, załóżmy, że każdy z elementów jest rozmieszczone według pewnego rozkładu . To może być opisana przez następujące państwa nad systemem .

gdzie stanowią podstawę ortonormalną. Chcielibyśmy wiedzieć, co agent może dowiedzieć o zmiennej klasycznej . Niech będzie prawdopodobieństwo, że agent odgadnie przy użyciu optymalnej strategii pomiaru

gdzie jest POVM który maksymalizuje tego wyrażenia. Można wykazać, że optymalna może być wyrażona w kategoriach min-entropii

Jeśli stan jest stanem produkt tj dla niektórych operatorów gęstości i , wtedy nie ma korelacji pomiędzy systemami i . W tym przypadku okazuje się, że

Min-entropia jako odległości od stanu maksymalnie splątanego

Stan maksymalnie uwikłany w systemie dwustronnego jest zdefiniowany jako

gdzie i stanowią podstawę ortonormalną dla przestrzeni i odpowiednio. Dla dwustronnego stanie kwantowym , możemy zdefiniować maksymalną zachodząc stanie maksymalnie splątanego jako

gdzie maksymalna wynosi ponad wszystkimi operacjami CPTP i jest wymiar podsystemu . Jest to miara skorelowane stan jest. Można wykazać, że . Jeżeli informacje zawarte w jest klasyczne, to zmniejsza się do wyrażenia powyżej dla prawdopodobieństwa niepewności.

Dowód charakterystyki operacyjnej min entropii

Dowodem na to jest z papieru König, Schaffner, Renner w roku 2008. Obejmuje on machinę programów półokreśloną . Załóżmy, że są podane jakieś operatora dwustronnego gęstości . Z definicji min-entropii, mamy

To może być ponownie zapisywane jako

z zastrzeżeniem warunków

Zauważamy, że infimum przejmują zbiorów zwartych i stąd może być zastąpiona przez minimum. Następnie może być zwięźle wyrażona jako półokreśloną programu. Rozważmy pierwotną problemu

To podstawowy problem może być całkowicie określona przez matryc , gdzie pada sprzężony częściowego kalkować . Działanie na operatorów na można zapisać jako

Możemy wyrazić podwójnego problemu jako maksymalizacji nad operatorów na przestrzeni jako

Korzystanie z izomorfizm Choi Jamiołkowski , możemy określić kanał taki, że

gdzie stan dzwon jest zdefiniowana przez przestrzeń . Oznacza to, że możemy wyrazić obiektywną funkcję dualnego jako

zgodnie z wymaganiami.

Należy zauważyć, że w przypadku, gdy system jest stan częściowo klasyczny, jak wyżej, to ilość, która zmniejsza się po to, aby

Możemy interpretować jako zgadywania strategii i ten następnie redukuje się do interpretacji podanej powyżej, gdzie przeciwnik chce znaleźć ciąg mających dostęp do informacji za pośrednictwem systemu kwantowego .

Zobacz też

Referencje