Projekcja Mercatora - Mercator projection

Projekcja Mercator ( / m ər k eɪ t ər / ) jest cylindryczny występ mapa przedstawiona przez flamandzkiego geografa i kartografa Gerard Merkator w 1569. Stało średnia projekcja map do nawigacji , ponieważ jest wyjątkowy reprezentujący Północnej w górę i na południe aż wszędzie, zachowując lokalne kierunki i kształty. Mapa jest więc konforemna . Jako efekt uboczny, projekcja Mercator powiększa rozmiar obiektów z dala od równika. Ta inflacja jest bardzo mała w pobliżu równika, ale przyspiesza wraz ze wzrostem szerokości geograficznej i staje się nieskończona na biegunach. W rezultacie masy lądowe, takie jak Grenlandia i Antarktyda, wydają się znacznie większe niż w rzeczywistości w porównaniu z masami lądowymi w pobliżu równika, takich jak Afryka Środkowa.

Historia

Istnieją pewne kontrowersje dotyczące pochodzenia Mercatora. Niemieckim dramaturgiem Erhard Etzlaub grawerowane miniaturze „mapy kompas” (około 10 x 8 cm) w Europie i części Afryki, który łączony szerokości geograficzne od 0 ° -67 °, aby umożliwić dostosowanie swoich przenośnych kieszonkowy zegarów . Projekcja znaleziona na tych mapach, pochodząca z 1511 roku, została określona przez Snydera w 1987 roku jako taka sama jak projekcja Mercatora. Jednakże, biorąc pod uwagę geometrię zegara słonecznego, mapy te mogły równie dobrze opierać się na podobnym rzucie centralnym cylindrycznym , ograniczającym przypadek rzutu gnomonicznego , który jest podstawą zegara słonecznego. Snyder zmienia swoją ocenę na „podobną projekcję” w 1994 roku.

Joseph Needham , historyk Chin, napisał, że Chińczycy opracowali projekcję Mercator setki lat przed Mercatorem, używając jej na mapach gwiazd w czasach dynastii Song . Był to jednak prosty i powszechny przypadek błędnej identyfikacji. Stosowany rzut był rzutem równoprostokątnym .

Portugalski matematyk i kosmograf Pedro Nunes po raz pierwszy opisał matematyczną zasadę lokodromu i jego zastosowanie w nawigacji morskiej. W 1537 roku zaproponował skonstruowanie atlasu morskiego składającego się z kilku dużych arkuszy w cylindrycznym rzucie równoodległym jako sposób na zminimalizowanie zniekształceń kierunków. Gdyby te arkusze zostały sprowadzone do tej samej skali i zmontowane, byłyby zbliżone do projekcji Mercatora.

W 1569 r. Gerhard Kremer, znany pod nazwą handlową Gerardus Mercator, ogłosił nową projekcję, publikując dużą mapę planisferyczną o wymiarach 202 na 124 cm (80 na 49 cali) i wydrukowaną na osiemnastu oddzielnych arkuszach. Mercator zatytułował mapę Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata : "Nowy i rozszerzony opis Ziemi poprawiony na użytek marynarzy". Ten tytuł, wraz z rozbudowanym wyjaśnieniem użycia projekcji, która pojawia się jako sekcja tekstu na mapie, pokazuje, że Mercator dokładnie rozumiał, co osiągnął i że zamierzał pomóc w nawigacji. Mercator nigdy nie wyjaśnił metody budowy ani sposobu, w jaki do niej doszedł. Przez lata stawiano różne hipotezy, ale w każdym razie przyjaźń Mercatora z Pedro Nunesem i jego dostęp do tablic loksodromicznych stworzonych przez Nunesa prawdopodobnie pomogły mu w wysiłkach.

Angielski matematyk Edward Wright opublikował pierwsze dokładne tabele do budowy projekcji w 1599 r., a bardziej szczegółowo w 1610 r., nazywając swój traktat „Pewne błędy w nawigacji”. Pierwsze sformułowanie matematyczne opublikował około 1645 matematyk Henry Bond (ok. 1600-1678). Jednak matematyka zaangażowana została opracowana, ale nigdy nie została opublikowana przez matematyka Thomasa Harriota, począwszy od około 1589 roku.

Rozwój projekcji Mercator stanowił wielki przełom w kartografii morskiej XVI wieku. Wyprzedził jednak swoje czasy, ponieważ stare techniki nawigacyjne i geodezyjne nie były kompatybilne z jego zastosowaniem w nawigacji. Dwa główne problemy uniemożliwiły jego natychmiastowe zastosowanie: niemożność określenia długości geograficznej na morzu z odpowiednią dokładnością oraz fakt, że w nawigacji używano kierunków magnetycznych, a nie geograficznych . Dopiero w połowie XVIII wieku, po wynalezieniu chronometru morskiego i poznaniu przestrzennego rozkładu deklinacji magnetycznej , projekcja Mercatora mogła zostać w pełni przyjęta przez nawigatorów.

Pomimo tych ograniczeń w znajdowaniu pozycji, projekcję Mercatora można znaleźć na wielu mapach świata w ciągu wieków po pierwszej publikacji Mercatora. Zaczęła jednak dominować na mapach świata dopiero w XIX wieku, kiedy problem określania pozycji został w dużej mierze rozwiązany. Kiedy Mercator stał się zwykłą projekcją na mapach komercyjnych i edukacyjnych, znalazł się pod nieustanną krytyką kartografów za niezrównoważoną reprezentację mas lądowych i niezdolność do użytecznego pokazywania regionów polarnych.

Krytyka skierowana przeciwko niewłaściwemu wykorzystaniu projekcji Mercator spowodowała lawinę nowych wynalazków pod koniec XIX i na początku XX wieku, często bezpośrednio reklamowanych jako alternatywy dla Mercatora. Ze względu na te naciski w ciągu XX wieku wydawcy stopniowo ograniczyli stosowanie projekcji. Jednak pojawienie się mapowania internetowego spowodowało gwałtowne odrodzenie projekcji w postaci projekcji Web Mercator .

Dziś Mercator można znaleźć na mapach morskich, okazjonalnych mapach świata i serwisach internetowych, ale atlasy komercyjne w dużej mierze go porzuciły, a mapy ścienne świata można znaleźć w wielu alternatywnych projekcjach. Mapy Google , które opierały się na nim od 2005 roku, nadal używają go do map lokalnych, ale w 2017 roku zrezygnowały z projekcji z platform komputerowych dla map, które są pomniejszone o obszary lokalne. Wiele innych internetowych usług mapowych nadal korzysta wyłącznie z usługi Web Mercator.

Nieruchomości

Jak we wszystkich rzutach cylindrycznych , równoleżniki i południki na Mercatorze są proste i prostopadłe do siebie. W tym celu nieuniknionemu rozciągnięciu mapy ze wschodu na zachód, które zwiększa się wraz ze wzrostem odległości od równika , w rzucie Mercator towarzyszy odpowiednie rozciągnięcie na północ-południe, tak że w każdym położeniu punktowym skala wschód-zachód jest taka sama jak skala północ-południe, co czyni ją odwzorowaniem konforemnym . Rzuty konforemne zachowują kąty wokół wszystkich lokalizacji.

Ponieważ skala liniowa mapy Mercator zwiększa się wraz z szerokością geograficzną, zniekształca rozmiar obiektów geograficznych oddalonych od równika i przekazuje zniekształcone postrzeganie ogólnej geometrii planety. Na szerokościach geograficznych większych niż 70° północnej lub południowej projekcja Mercatora jest praktycznie bezużyteczna, ponieważ skala liniowa na biegunach staje się nieskończenie duża. Dlatego mapa Mercatora nigdy nie może w pełni pokazać obszarów polarnych (o ile projekcja opiera się na cylindrze wyśrodkowanym na osi obrotu Ziemi; zobacz poprzeczne odwzorowanie Mercatora dla innego zastosowania).

Projekcja wype mapy wszystkich linii ze stałym łożysku ( rhumbs (matematycznie zwanych loxodromes-tych, do przygotowywania kątów stałych przy południków) do prostych dwóch budynków,. Conformality i proste rumb linii, aby ten występ wyjątkowo nadaje się do morskich nawigacji : Pola i łożyska są mierzone za pomocą róż wiatrów lub kątomierzy, a odpowiednie kierunki można łatwo przenieść z punktu do punktu na mapie za pomocą równoległej linijki (na przykład).

Zniekształcenie rozmiarów

Jak na wszystkich odwzorowaniach map , kształty lub rozmiary są zniekształceniami prawdziwego układu powierzchni Ziemi.

Projekcja Mercatora wyolbrzymia obszary oddalone od równika .

Przykłady zniekształceń wielkości

• Antarktyda wydaje się być niezwykle duża. Gdyby cały glob został zmapowany, Antarktyda rozdęłaby się w nieskończoność. W rzeczywistości jest to trzeci najmniejszy kontynent.

• Ellesmere wyspa na północy Kanady „s archipelagu wygląda o tej samej wielkości jak Australia , Australia, chociaż jest ponad 39 razy większa. Wszystkie wyspy kanadyjskiego archipelagu arktycznego wyglądają co najmniej 4 razy za duże, a wyspy położone bardziej na północ wyglądają na jeszcze większe.

• Grenlandia wydaje się tym samym rozmiarem co Afryka , podczas gdy w rzeczywistości obszar Afryki jest 14 razy większy.
  • Rzeczywisty obszar Grenlandii jest porównywalny do samej Demokratycznej Republiki Konga .
  • Afryka wydaje się być mniej więcej tej samej wielkości co Ameryka Południowa , podczas gdy w rzeczywistości Afryka jest ponad półtora raza większa.

• Svalbard wydaje się być większy niż Borneo , podczas gdy w rzeczywistości Borneo jest około 12 razy większe niż Svalbard.

• Alaska wydaje się być tej samej wielkości co Australia, chociaż w rzeczywistości Australia ma 4+1/2 razy większe.
  • Alaska zajmuje również tyle samo obszaru na mapie co Brazylia , podczas gdy obszar Brazylii jest prawie 5 razy większy niż Alaska.

• Madagaskar i Wielka Brytania wyglądają mniej więcej tak samo, podczas gdy Madagaskar jest w rzeczywistości ponad dwa razy większy niż największa z Wysp Brytyjskich.
  • Szwecja wydaje się znacznie większa niż Madagaskar. W rzeczywistości są podobnej wielkości.

• Rosja wydaje się większa niż cała Afryka , czy Ameryka Północna (bez tych ostatnich wysp). Wydaje się również, że jest dwukrotnie większy niż Chiny i przyległe Stany Zjednoczone razem wzięte, podczas gdy w rzeczywistości suma ta jest porównywalna pod względem wielkości.
  • Inflacja na północy dotkliwie zniekształca również kształt Rosji, sprawiając, że wydaje się ona znacznie wyższa z północy na południe i znacznie rozciąga swoje regiony arktyczne w porównaniu ze średnimi szerokościami geograficznymi.

Krytyka

Ze względu na duże zniekształcenia powierzchni lądu, niektórzy uważają projekcję za nieodpowiednią dla ogólnych map świata. Dlatego sam Mercator użył projekcji sinusoidalnej o równej powierzchni, aby pokazać obszary względne. Jednak pomimo takich zniekształceń, projekcja Mercatora była, szczególnie pod koniec XIX i na początku XX wieku, być może najczęstszą projekcją używaną na mapach świata, mimo że była mocno krytykowana za to użycie.

Ze względu na bardzo powszechne zastosowanie projekcja Mercator miała wpłynąć na postrzeganie świata przez ludzi, a ponieważ pokazuje kraje w pobliżu równika jako zbyt małe w porównaniu z tymi w Europie i Ameryce Północnej, miała powodować, że ludzie uważać te kraje za mniej ważne. W wyniku tej krytyki współczesne atlasy nie wykorzystują już odwzorowania Mercatora do map świata lub obszarów odległych od równika, preferując inne odwzorowania cylindryczne lub formy odwzorowania równego obszaru . Projekcja Mercatora jest nadal powszechnie stosowana w obszarach w pobliżu równika, jednak tam, gdzie zniekształcenia są minimalne. Jest również często spotykany na mapach stref czasowych.

Arno Peters wywołał kontrowersje począwszy od 1972 roku, kiedy zaproponował to, co obecnie nazywa się zwykle projekcją Galla-Petersa, aby rozwiązać problemy Mercatora, twierdząc, że jest to jego własna oryginalna praca bez odwoływania się do wcześniejszych prac kartografów, takich jak praca Galla z 1855 roku. Promowany przez niego rzut to swoista parametryzacja rzutu cylindrycznego równopowierzchniowego . W odpowiedzi, rezolucja z 1989 roku siedmiu północnoamerykańskich grup geograficznych zdyskredytowała użycie cylindrycznych projekcji dla map świata ogólnego przeznaczenia, które obejmowałyby zarówno Mercator, jak i Gall-Peters.

Zastosowania

Praktycznie każda drukowana mapa morska oparta jest na odwzorowaniu Mercatora ze względu na jego wyjątkowo korzystne właściwości nawigacyjne. Jest również powszechnie używany przez serwisy map ulic udostępniane w Internecie, ze względu na jego wyjątkowo korzystne właściwości dla map lokalnych obliczanych na żądanie. Projekcje Mercatora były również ważne w matematycznym rozwoju tektoniki płyt w latach 60. XX wieku.

Nawigacja morska

Odwzorowanie Mercator zostało zaprojektowane do użytku w nawigacji morskiej ze względu na unikalną właściwość przedstawiania dowolnego kursu stałego namiaru jako odcinka prostego. Taki kurs, znany jako rumbu (lub matematycznie, o loxodrome) jest korzystne w nawigacji morskiej, ponieważ statki mogą płynąć w kierunku stałej kompasu, zmniejszając trudne, podatne na błędy korekty kursu, które byłyby często podczas żeglugi innym potrzebne kierunek. Na odległościach małych w porównaniu do promienia Ziemi różnica między loksodromą a technicznie najkrótszym przebiegiem, czyli odcinkiem wielkiego koła , jest znikoma, a nawet na większych odległościach prostota stałego namiaru czyni go atrakcyjnym. Jak zauważył Mercator, na takim kursie statek nie przybyłby najkrótszą drogą, ale na pewno dotrze. Żeglowanie na lokomotywie oznaczało, że żeglarze musieli tylko utrzymywać stały kurs, o ile wiedzieli, gdzie byli, kiedy zaczynali, gdzie zamierzali być, kiedy kończyli, i mieli mapę w rzucie Mercator, która poprawnie pokazywała tych dwoje. współrzędne.

Web Mercator

Wiele głównych usług mapowania ulic online ( Bing Maps , Google Maps , Mapbox , MapQuest , OpenStreetMap , Yahoo! Maps i inne) używa wariantu odwzorowania Mercator dla swoich obrazów map o nazwie Web Mercator lub Google Web Mercator. Pomimo oczywistej zmienności skali w małych skalach, projekcja dobrze nadaje się jako interaktywna mapa świata, którą można płynnie powiększać do map wielkoskalowych (lokalnych), gdzie występuje stosunkowo niewielkie zniekształcenie z powodu bliskiej zgodności projekcji wariantowej .

Systemy kafelkowe głównych internetowych usług mapowania ulic wyświetlają większość świata na najniższym poziomie powiększenia jako pojedynczy kwadratowy obraz, z wyłączeniem obszarów polarnych przez obcięcie na szerokościach geograficznych φ _max  = ±85.05113°. (Patrz poniżej .) Wartości szerokości geograficznej poza tym zakresem są mapowane przy użyciu innej zależności, która nie odbiega od  φ  = ±90°.

Matematyka

Model sferyczny

Chociaż powierzchnię Ziemi najlepiej modeluje spłaszczona elipsoida obrotowa , dla map w małej skali elipsoida jest aproksymowana przez sferę o promieniu a . Istnieje wiele różnych metod obliczania . Najprostsze to (a) promień równikowy elipsoidy, (b) średnia arytmetyczna lub geometryczna półosi elipsoidy oraz (c) promień kuli o takiej samej objętości jak elipsoida. Zakres dla pośród możliwych wyborów jest około 35 km, ale na małą skalę (duże) obszar zastosowań tego zmienność może być ignorowane, a średnie wartości 6,371 km i 40030 km może zostać podjęta do promienia i obwodu odpowiednio. Są to wartości używane w przykładach liczbowych w dalszych sekcjach. Tylko kartografia o wysokiej dokładności na mapach wielkoskalowych wymaga modelu elipsoidalnego.

Rzuty cylindryczne

Sferyczne przybliżenie Ziemi o promieniu a może być modelowane przez mniejszą kulę o promieniu R , zwaną w tym rozdziale globusem . Globus określa skalę mapy. Różne rzuty cylindryczne określają, w jaki sposób szczegół geograficzny jest przenoszony z globu na walec styczny do niego na równiku. Cylinder jest następnie rozwijany, aby uzyskać mapę planarną. Frakcjar/anazywana jest frakcją reprezentatywną (RF) lub główną skalą projekcji. Na przykład mapa Mercator wydrukowana w książce może mieć szerokość równikową 13,4 cm, co odpowiada promieniowi kuli 2,13 cm, a RF około1/300M (M jest używany jako skrót od 1 000 000 na piśmie RF), podczas gdy oryginalna mapa Mercatora z 1569 roku ma szerokość 198 cm, co odpowiada promieniowi kuli 31,5 cm, a RF około 1/20M.

Cylindryczny występ mapa jest określony wzorami łączących współrzędne geograficzne szerokość  φ i długości  λ się współrzędne kartezjańskie w mapie z początkowego na równiku x -osiowy wzdłuż równika. Z założenia wszystkie punkty na tym samym południku leżą na tym samym generatorze walca o stałej wartości x , ale odległość y wzdłuż generatora (mierzona od równika) jest dowolną funkcją szerokości geograficznej y ( φ ). Ogólnie rzecz biorąc, funkcja ta nie opisuje rzutowania geometrycznego (jak promieni świetlnych na ekran) ze środka kuli ziemskiej do cylindra, co jest tylko jednym z nieograniczonej liczby sposobów pojęciowego rzutowania mapy cylindrycznej.

Ponieważ cylinder jest styczny do globu na równiku, współczynnik skali między globusem a cylindrem jest jednością na równiku, ale nigdzie indziej. W szczególności, ponieważ promień równoleżnika lub okręgu szerokości geograficznej wynosi R  cos  φ , odpowiedni równoleżnik na mapie musiał być rozciągnięty o współczynnik równy1/cos φ= sek φ . Ten współczynnik skali na równoleżniku jest konwencjonalnie oznaczany przez k, a odpowiadający mu współczynnik skali na południku jest oznaczony przez  h .

Geometria małych elementów

Relacje między y ( φ ) a właściwościami rzutu, takimi jak transformacja kątów i zmienność skali, wynikają z geometrii odpowiednich małych elementów na globusie i mapie. Poniższy rysunek przedstawia punkt P na szerokości  cp i długości geograficznej  Î na świecie i pobliżu punktu P na szerokości φ  +  δφ i długości λ  +  δλ . Linie pionowe PK i MQ są łukami południków o długości Rδφ . Linie poziome PM i KQ są łukami równoległymi o długości R (cos  φ ) δλ .

W przypadku małych elementów kąt PKQ jest w przybliżeniu kątem prostym, a zatem

${\ Displaystyle \ tan \ alfa \ około {\ Frac {R \ cos \ varphi \, \ delta \ lambda {R \, \ delta \ varphi}}, \ qquad \ qquad \ tan \ beta = {\ Frac {\ delta x}{\delta y}},}$

Wspomniane wcześniej współczynniki skalowania od kuli do cylindra są podane przez

współczynnik skali równoległej     ${\displaystyle \quad k(\varphi )\;=\;{\frac {P'M'}{PM}}\;=\;{\frac {\delta x}{R\cos \varphi \,\ delta \lambda }},}$

współczynnik skali południka   ${\displaystyle \quad h(\varphi )\;=\;{\frac {P'K'}{PK}}\;=\;{\frac {\delta y}{R\delta \varphi \,} }.}$

Ponieważ południki są odwzorowane na linie o stałej x , musimy mieć x = R ( λ − λ ₀ ) i δx  =  Rδλ , ( λ w radianach). Dlatego w granicach nieskończenie małych elementów

${\ Displaystyle \ tan \ beta = {\ Frac {R \ s \ varphi }{y'(\ varphi )}} \ tan \ alfa \ \ qquad k = \ s \ varphi \ \ qquad h = { \frac {y'(\varphi )}{R}}.}$

Wyprowadzenie projekcji Mercatora

Wybór funkcji y ( φ ) dla odwzorowania Mercatora jest zdeterminowany wymaganiem, aby odwzorowanie było konforemne, warunek, który można zdefiniować na dwa równoważne sposoby:

• Równość kątów . Warunek, że kurs żeglugi o stałym azymucie α na kuli ziemskiej jest odwzorowany w stałej siatce z namiarem β na mapie. Ustawienie α  =  β w powyższych równaniach daje y′ ( φ ) =  R  sec  φ .
• Izotropia czynników skali . Jest to stwierdzenie, że współczynnik skali punktowej jest niezależny od kierunku, dzięki czemu rzutowanie zachowuje małe kształty. Ustawienie h  =  k w powyższych równaniach ponownie daje y′ ( φ ) =  R  sec  φ .

Całkowanie równania

${\ Displaystyle y' (\ varphi ) = R \ s \ varphi ,}$

z y (0) = 0, przy użyciu tabel całkowitych lub metod elementarnych daje y(φ). W związku z tym,

${\ Displaystyle x = R (\ lambda - \ lambda _ {0}), \ qquad y = R \ ln \ lewo [\ tan \ lewo ({\ Frac {\ pi} {4}} + {\ Frac {\ varphi }{2}}\prawo)\prawo].}$

W pierwszym równaniu λ ₀ jest długością dowolnego południka centralnego, zwykle, ale nie zawsze, długości Greenwich (tj. zero). Różnica ( λ  −  λ ₀ ) jest w radianach.

Funkcja y ( φ ) jest wykreślana wzdłuż φ dla przypadku R  = 1: ma tendencję do nieskończoności na biegunach. Liniowe wartości osi y nie są zwykle pokazywane na drukowanych mapach; zamiast tego niektóre mapy pokazują nieliniową skalę wartości szerokości geograficznej po prawej stronie. Najczęściej mapy pokazują jedynie siatkę wybranych południków i równoleżników

Transformacje odwrotne

${\ Displaystyle \ lambda = \ lambda _ {0}+ {\ Frac {x} {R}} \ qquad \ varphi = 2 \ tan ^ {-1} \ lewo [\ exp \ lewo ({\ Frac {y }{R}}\right)\right]-{\frac {\pi }{2}}\,.}$

Wyrażenie po prawej stronie drugiego równania określa funkcję Gudermanna ; tj. φ  = gd(tak/r): równanie bezpośrednie można zatem zapisać jako y  =  R ·gd ^-1 ( φ ).

Alternatywne wyrażenia

Istnieje wiele alternatywnych wyrażeń dla y ( φ ), wszystkie wyprowadzone za pomocą elementarnych manipulacji.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} y = i {\ Frac {R} {2}} \ ln \ lewo [{\ Frac {1+ \ sin \ Varphi} {1-\ sin \ Varphi}} \ prawej] &=&{R}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{\cos \varphi }}\right]&=R\ln \left(\sec \varphi +\tan \varphi \ right)\\[2ex]&=&R\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)&=&R\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)&=R \operatorname {sgn} (\varphi )\cosh ^{-1}\left(\sec \varphi \right)=R\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi ).\end{aligned}}}$

Odpowiednie odwrotności to:

${\ Displaystyle \ varphi = \ sin ^ {-1} \ po lewej (\ tanh {\ Frac {y} {R}} \ po prawej) = \ tan ^ {-1} \ po lewej (\ sinh {\ Frac {y} {R}}\right)=\operatorname {sgn} (y)\sec ^{-1}\left(\cosh {\frac {y}{R}}\right)=\operatorname {gd} {\frac {y}{R}}.}$

Dla kątów wyrażonych w stopniach:

${\ Displaystyle x = {\ Frac {\ pi R (\ lambda ^ {\ circ} - \ lambda _ {0} ^ {\ circ}} {180}}, \ qquad \ quad y = R \ ln \ lewo [\tan \left(45+{\frac {\varphi ^{\circ }}{2}}\right)\right].}$

Powyższe wzory są zapisane w postaci promienia globu R . Często wygodnie jest pracować bezpośrednio z szerokością mapy W  = 2 π R . Na przykład podstawowe równania transformacji stają się

${\ Displaystyle x = {\ Frac {W} {2 \ pi}} \ lewo (\ lambda - \ lambda _ {0} \ prawo), \ qquad \ quad y = {\ Frac {W} {2 \ pi} }\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].}$

Obcięcie i proporcje

Rzędna y rzutu Mercatora staje się nieskończona na biegunach, a mapa musi zostać obcięta na pewnej szerokości geograficznej mniejszej niż dziewięćdziesiąt stopni. Nie trzeba tego robić symetrycznie. Oryginalna mapa Mercatora została obcięta pod kątem 80°N i 66°S, w wyniku czego kraje europejskie zostały przesunięte w kierunku środka mapy. Proporcje jego mapie jest198/120= 1,65. Zastosowano jeszcze bardziej ekstremalne obcięcia: fiński atlas szkolny został obcięty pod kątem około 76°N i 56°S, przy współczynniku kształtu 1,97.

Wiele map internetowych wykorzystuje powiększaną wersję projekcji Mercator o współczynniku proporcji wynoszącym jeden. W takim przypadku maksymalna osiągnięta szerokość geograficzna musi odpowiadać y  = ±W/2lub równoważnie tak/r =  π . Do obliczenia odpowiednich szerokości geograficznych można użyć dowolnego wzoru na transformację odwrotną:

${\ Displaystyle \ varphi = \ tan ^ {-1} \ lewo [\ sinh \ lewo ({\ Frac {y} {R}} \ prawo) \ prawo] = \ tan ^ {-1} \ lewo [\ sinh \pi \right]=\tan ^{-1}\left[11.5487\right]=85.05113^{\circ }.}$

Współczynnik skali

Rysunku porównanie elementów nieskończenie się na całym świecie i projekcyjnych pokazuje, że gdy α = β trójkąty PQM i P'Q'M 'są podobne tak, że współczynnik skalowania w dowolnym kierunku jest taka sama, jak w równoległym i współczynników skalowania południka:

${\displaystyle {\frac {\delta s'}{\delta s}}={\frac {P'Q'}{PQ}}={\frac {P'M'}{PM}}=k={ \frac {P'K'}{PK}}=h=\sec \varphi .}$

Wynik ten dotyczy dowolnego kierunku: definicji izotropii punktowego współczynnika skali. Wykres przedstawia zmienność współczynnika skali wraz z szerokością geograficzną. Poniżej wymieniono niektóre wartości liczbowe.

na szerokości geograficznej 30° współczynnik skali wynosi   k  = s 30° = 1,15,

na szerokości geograficznej 45° współczynnik skali wynosi   k  = s 45° = 1,41,

na szerokości geograficznej 60° współczynnik skalowania wynosi   k  = s 60° = 2,

przy szerokości geograficznej 80° współczynnik skalowania wynosi   k  = s 80° = 5,76,

na szerokości geograficznej 85° współczynnik skali wynosi   k  = s 85° = 11,5

Praca z odwzorowaną mapą wymaga współczynnika skali w postaci rzędnej Mercatora y (chyba że mapa jest dostarczona z wyraźną skalą szerokości geograficznej). Ponieważ pomiary linijki mogą dostarczyć rzędną mapy y, a także szerokość W mapy, totak/r = 2 πtak/W a współczynnik skali wyznacza się za pomocą jednej z postaci alternatywnych dla postaci przekształcenia odwrotnego:

${\ Displaystyle k = \ s \ varphi = \ cosh \ lewo ({\ Frac {y} {R}} \ prawej) = \ cosh \ lewo ({\ Frac {2 \ pi r} {W}} \ prawej) .}$

Zmienność z szerokością geograficzną jest czasami wskazywana przez wiele skal słupkowych, jak pokazano poniżej i na przykład w fińskim atlasie szkolnym . Interpretacja takich skal słupkowych nie jest trywialna. Zobacz omówienie wzorów odległości poniżej.

Skala obszaru

Współczynnik skali powierzchni jest iloczynem skali równoległej i południkowej hk = sec ² φ . Dla Grenlandii, przyjmując 73° jako medianę szerokości geograficznej, hk = 11,7. Dla Australii, przyjmując 25° jako medianę szerokości geograficznej, hk = 1,2. Dla Wielkiej Brytanii, przyjmując 55° jako medianę szerokości geograficznej, hk = 3,04.

Zniekształcenie

Klasycznym sposobem ukazania zniekształcenia tkwiącego w projekcji jest wykorzystanie indicatrix Tissota . Nicolas Tissot zauważył, że współczynniki skali w punkcie odwzorowania mapy, określone przez liczby h i k , definiują elipsę w tym punkcie. W przypadku odwzorowań cylindrycznych osie elipsy są wyrównane do południków i równoleżników. W przypadku odwzorowania Mercatora h  =  k elipsy degenerują się w koła o promieniu proporcjonalnym do wartości współczynnika skali dla tej szerokości geograficznej. Te okręgi są renderowane na odwzorowanej mapie z ekstremalną zmiennością wielkości, wskazującą na zmiany skali Mercatora.

Precyzja

Jedną z miar dokładności mapy jest porównanie długości odpowiednich elementów liniowych na mapie i globusie. Dlatego z założenia rzut Mercatora jest idealnie dokładny, k  = 1, wzdłuż równika i nigdzie indziej. Na szerokości geograficznej ±25° wartość s  φ wynosi około 1,1, a zatem rzut można uznać za dokładny z dokładnością do 10% na pas o szerokości 50° wyśrodkowany na równiku. Węższe paski są lepsze: s 8° = 1,01, więc pas o szerokości 16° (wyśrodkowany na równiku) ma dokładność z dokładnością do 1% lub 1 części na 100. Podobnie s 2,56° = 1.001, czyli pas o szerokości 5,12° (wyśrodkowany na równiku) jest dokładny z dokładnością do 0,1% lub 1 części na 1000. Dlatego prognoza Mercatora jest odpowiednia do mapowania krajów położonych blisko równika.

Projekcja sieczna

W siecznej (w sensie cięcia) globus rzutowany jest na walec, który przecina kulę w dwóch równoleżnikach o szerokościach ± φ ₁ . Skala jest teraz prawdziwa na tych szerokościach geograficznych, podczas gdy podobieństwa między tymi szerokościami geograficznymi są skrócone przez projekcję, a ich współczynnik skali musi być mniejszy niż jeden. W rezultacie odchylenie skali od jedności zmniejsza się w szerszym zakresie szerokości geograficznych.

Przykładem takiej projekcji jest

${\ Displaystyle x = 0,99 R \ lambda \ qquad y = 0,99 R \ ln \ tan \! \ lewo ({\ Frac {\ pi} {4}} + {\ Frac {\ Varphi} {2}} \ prawej) \qquad k\;=0,99\s \varphi .}$

Skala na równiku to 0,99; skala k  = 1 na szerokości około ±8° (wartość φ ₁ ); skala wynosi k  = 1,01 na szerokości geograficznej około ±11,4°. Dlatego projekcja ma dokładność 1%, na szerszym pasku 22° w porównaniu z 16° normalnego (stycznego) projekcji. Jest to standardowa technika rozszerzania obszaru, na którym odwzorowanie mapy ma określoną dokładność.

Uogólnienie na elipsoidę

Kiedy Ziemia jest modelowana przez sferoidę ( elipsoidę obrotu) rzut Mercatora musi zostać zmodyfikowany, jeśli ma pozostać konforemny . Równania transformacji i współczynnik skali dla wersji niesiecznej to

Współczynnik skali to jedność na równiku, tak jak musi być, ponieważ walec jest styczny do elipsoidy na równiku. Elipsoidalna korekcji współczynnika skali zwiększa się z szerokości, ale nigdy nie jest większy niż E, ² korekta mniejszej niż 1%. (Wartość E ² wynosi 0,006 dla wszystkich elipsoid odniesienia). To jest o wiele mniejszy, niż niedokładności w skali, z wyjątkiem bardzo blisko równika. Tylko dokładne odwzorowanie Mercatora regionów w pobliżu równika będzie wymagało korekt elipsoidalnych.

Odwrotność jest rozwiązywana iteracyjnie, ponieważ w grę wchodzi szerokość izometryczna .

Wzory na odległość

Konwersja odległości linijki na mapie Mercator na rzeczywistą ( wielkie koło ) odległość na sferze jest prosta wzdłuż równika, ale nigdzie indziej. Jednym problemem jest zróżnicowanie skali wraz z szerokością geograficzną, a innym jest to, że linie proste na mapie ( loksodromy ), inne niż południki lub równik, nie odpowiadają wielkim okręgom.

Rozróżnienie pomiędzy odległością loksodromową (żeglugową) a odległością po wielkim okręgu (rzeczywistą) było wyraźnie rozumiane przez Mercatora. (Patrz Legenda 12 na mapie z 1569 r.) Podkreślił, że odległość loksodromy jest akceptowalnym przybliżeniem dla prawdziwej odległości po ortodromie dla kursów o krótkim lub średnim dystansie, szczególnie na niższych szerokościach geograficznych. Nawet określa ilościowo swoje stwierdzenie: „Kiedy odległości wielkiego koła, które mają być mierzone w pobliżu równika, nie przekraczają 20 stopni wielkiego koła lub 15 stopni w pobliżu Hiszpanii i Francji, lub 8, a nawet 10 stopni w częściach północnych wygodnie jest stosować odległości loksodromy”.

W przypadku pomiaru linijką krótkiej linii, z punktem środkowym na szerokości geograficznej  φ , gdzie współczynnik skali wynosi k  = s  φ  = 1/cos  φ:

Odległość rzeczywista = odległość loksodromy ≅ odległość linijki × cos  φ / RF. (krótkie linie)

Przy promieniu i obwodzie po wielkim okręgu równym odpowiednio 6 371 km i 40 030 km RF 1/300M, dla którego R  = 2,12 cm i W  = 13,34 cm, oznacza, że ​​pomiar linijki wynosi 3 mm. w dowolnym kierunku od punktu na równiku odpowiada około 900 km. Odpowiednie odległości dla szerokości geograficznych 20°, 40°, 60° i 80° wynoszą odpowiednio 846 km, 689 km, 450 km i 156 km.

Dłuższe odległości wymagają różnych podejść.

Na równiku

Skala to jedność na równiku (dla rzutu niesiecznego). Dlatego interpretacja wymiarów linijki na równiku jest prosta:

Odległość rzeczywista = odległość linijki / RF (równik)

Dla powyższego modelu, przy RF = 1/300M, 1 cm odpowiada 3000 km.

O innych paralelach

W każdym innym równoległym współczynniku skali jest sek φ tak, że

Odległość równoległa = odległość linijki × cos  φ / RF (równolegle).

Dla powyższego modelu 1 cm odpowiada 1500 km na szerokości geograficznej 60°.

Nie jest to najkrótsza odległość między wybranymi punktami końcowymi na równoleżniku, ponieważ równoleżnik nie jest wielkim kołem. Różnica jest niewielka na krótkich dystansach, ale rośnie wraz ze wzrostem λ , czyli odległości wzdłużnej. Dla dwóch punktów, A i B, oddzielonych 10° długości geograficznej na równoleżniku pod kątem 60°, odległość wzdłuż równoleżnika jest o około 0,5 km większa niż odległość po ortodromie. (Odległość AB wzdłuż równoleżnika wynosi ( a  cos  φ )  λ . Długość cięciwy AB wynosi 2( a  cos  φ ) sin λ/2. Ten akord jest powiązany z kątem w środku równym 2arcsin(cos  φ  sin λ/2), a odległość po wielkim okręgu między A i B wynosi 2 a  arcsin(cos  φ  sin λ/2).) W skrajnym przypadku, gdy odległość wzdłużna wynosi 180°, odległość wzdłuż równoleżnika wynosi połowę obwodu tego równoleżnika; tj. 10 007,5 km. Z drugiej strony geodezja pomiędzy tymi punktami to łuk wielkiego koła przechodzący przez biegun pod kątem 60° w środku: długość tego łuku to jedna szósta obwodu wielkiego koła, około 6672 km. Różnica wynosi 3338 km, więc odległość linijki mierzona od mapy jest dość myląca, nawet po skorygowaniu współczynnika skali o zmianę szerokości geograficznej.

Na południku

Południk mapy jest wielkim kołem na kuli ziemskiej, ale ciągłe zmiany skali oznaczają, że sam pomiar linijką nie może podać prawdziwej odległości między odległymi punktami na południku. Jeśli jednak mapa jest oznaczona dokładną i precyzyjnie rozmieszczoną skalą szerokości geograficznej, z której można bezpośrednio odczytać szerokość geograficzną – tak jak w przypadku mapy świata Mercator 1569 (arkusze 3, 9, 15) i wszystkich kolejnych map morskich – południk odległość między dwiema szerokościami geograficznymi φ ₁ i φ ₂ jest po prostu

${\ Displaystyle m_ {12} = a | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} |.}$

Jeśli szerokości geograficznej punktów końcowych nie można określić z pewnością, można je znaleźć, obliczając odległość linijki. Nazywając odległości linijki punktów końcowych na południku mapy mierzone od równika y ₁ i y ₂ , prawdziwą odległość między tymi punktami na sferze podaje się za pomocą dowolnego z odwrotnych wzorów Mercatora:

${\ Displaystyle m_ {12} = a \ lewo | \ tan ^ {-1} \ lewo [\ sinh \ lewo ({\ Frac {y_ {1}} {R}} \ po prawej) \ po prawej] - \ tan ^ {-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right]\right|,}$

gdzie R można obliczyć z szerokości W mapy przez R  = W/2 π. Na przykład na mapie z R  = 1 wartości y  = 0, 1, 2, 3 odpowiadają szerokościom geograficznym φ  = 0°, 50°, 75°, 84°, a więc kolejnym odstępom co 1 cm na mapie odpowiadają przedziałom szerokości geograficznej na kuli ziemskiej 50°, 25°, 9° oraz odległościom 5560 km, 2780 km i 1000 km na Ziemi.

Na rumb

Linia prosta na mapie Mercator pod kątem α do południków jest loksodromą . Gdy α  = π/2 lub 3 π/2rumbon odpowiada jednej z paraleli; tylko jeden, równik, jest wielkim kołem. Gdy α  = 0 lub π odpowiada to południkowi wielkiemu okręgowi (jeśli jest kontynuowane wokół Ziemi). Dla wszystkich innych wartości jest to spirala od bieguna do bieguna globu przecinająca wszystkie południki pod tym samym kątem, a zatem nie jest wielkim kołem. W tej sekcji omówiono tylko ostatni z tych przypadków.

Jeżeli α nie jest ani 0, ani π, to powyższa figura nieskończenie małych elementów pokazuje, że długość nieskończenie małej loksodromy na sferze pomiędzy szerokościami geograficznymi φ ; i φ  +  δφ jest  s  a- δφ . Ponieważ α jest stałe na loksodromie, wyrażenie to można scałkować, aby dla skończonych lokodromów na Ziemi otrzymać:  

${\ Displaystyle R_ {12} = a \ s \ alfa \, | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} | = a \ \ s \ alfa \; \ Delta \ varphi.}$

Po raz kolejny, jeśli hemibursztynianu φ mogą być odczytywane bezpośrednio z dokładną szerokość skali na mapie, a odległość pomiędzy punktami rumb MAP o szerokości cp ₁ i cp ₂ podaje się powyżej. Jeśli nie ma takiej skali, to odległości linijek między punktami końcowymi a równikiem, y ₁ i y ₂ , dają wynik za pomocą wzoru odwrotnego:

${\ Displaystyle R_ {12} = a \ s \ alfa \ lewo | \ tan ^ {-1} \ sinh \ lewo ({\ Frac {y_ {1}} {R}} \ po prawej) - \ tan ^ {- 1}\sinh \lewo({\frac {y_{2}}{R}}\prawo)\prawo|.}$

Wzory te podają odległości loksodromowe na kuli, które mogą się znacznie różnić od rzeczywistych odległości, których wyznaczenie wymaga bardziej wyrafinowanych obliczeń.

Zobacz też

• Kartografia
• Rzut centralny cylindryczny – bardziej zniekształcony; czasami błędnie określany jako metoda konstrukcji projekcji Mercatora
• Konformalne odwzorowanie mapy
• Rzut równoboczny – mniej zniekształcony, ale nie równy powierzchni
• Rzut Galla–Petersa – rzut cylindryczny o równej powierzchni
• Jordan Poprzeczny Mercator
• Lista odwzorowań map
• Mapa świata Mercator 1569
• Mapa morska
• Sieć rangowa
• Wskaźnik Tissota
• Projekcja poprzeczna Mercatora
• Układ współrzędnych uniwersalnego poprzecznego Mercatora

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

• Maling, Derek Hylton (1992), Układy współrzędnych i odwzorowania map (wyd. drugie), Pergamon Press, ISBN 0-08-037233-3.
• Monmonier, Mark (2004), Rhumb Lines and Map Wars: A Social History of the Mercator Projection (twarda oprawa red.), Chicago: The University of Chicago Press, ISBN 0-226-53431-6
• Olver, FWJ; Lozier, DW; Boisvert, RF; et al., wyd. (2010), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press
• Osborne, Peter (2013), Projekcje Mercator , doi : 10.5281/zenodo.35392 . (Suplementy: pliki Maxima oraz kod i rysunki lateksowe )CS1 maint: postscript ( link )
• Snyder, John P (1993), Spłaszczanie Ziemi: dwa tysiące lat projekcji map , University of Chicago Press, ISBN 0-226-76747-7
• Snyder, John P. (1987), Projekcje map – podręcznik roboczy. US Geological Survey Professional Paper 1395 , Biuro Drukarni Rządu Stanów Zjednoczonych, Waszyngton, DCArtykuł ten można pobrać ze stron USGS. Podaje pełne szczegóły większości rzutów, wraz z interesującymi sekcjami wstępnymi, ale nie wywodzi żadnej z rzutów z pierwszych zasad.

Dalsza lektura

• Rapp, Richard H (1991), Geodezja geometryczna, część I , Wydział Geodezji i Geodezji Uniwersytetu Stanowego Ohio, hdl : 1811/24333

Zewnętrzne linki

• Ad maiorem Gerardi Mercatoris gloriam – zawiera w wysokiej rozdzielczości obrazy mapy świata z 1569 roku autorstwa Mercatora.
• Tabela przykładów i właściwości wszystkich typowych projekcji , ze strony radykalnej.net.
• Interaktywny aplet Java do badania deformacji metrycznych projekcji Mercator .
• Web Mercator: Non-Conformal, Non-Mercator (Noel Zinn, Hydrometronics LLC)
• Projekcja Mercatora na Uniwersytecie Kolumbii Brytyjskiej
• Współrzędne w Mapach Google