Średnia anomalia - Mean anomaly

Obszar wymiatany na jednostkę czasu przez obiekt na orbicie eliptycznej , oraz przez wyimaginowany obiekt na orbicie kołowej (o tym samym okresie orbitalnym). Obydwa wymiatają równe obszary w równych czasach, ale prędkość kątowa przemiatania zmienia się dla orbity eliptycznej i jest stała dla orbity kołowej. Pokazano średnią anomalię i prawdziwą anomalię dla dwóch jednostek czasu. (Zauważ, że dla uproszczenia wizualnego na diagramie przedstawiono nienakładającą się orbitę kołową, stąd ta orbita kołowa z tym samym okresem orbitalnym nie jest pokazana w prawdziwej skali z tą orbitą eliptyczną: aby skala była prawdziwa dla dwóch orbit o równym okresie, te orbity musi się przecinać.)

W mechanice niebieskich The anomalia średnia jest ułamkiem eliptycznej w czasie, jaki upłynął od ciała orbicie przekazywane perycentrum , wyrażone jako kąt , który może być używany do obliczania położenia tego korpusu w klasycznym problemu dwa ciała . Jest to odległość kątowa od perycentrum, jaką miałoby ciało fikcyjne, gdyby poruszało się po orbicie kołowej , ze stałą prędkością , w tym samym okresie orbitalnym, co rzeczywiste ciało na orbicie eliptycznej.

Definicja

Zdefiniuj $T$ jako czas potrzebny danemu ciału na wykonanie jednej orbity. W czasie $T$ , gdy promień wektor zakreśla 2 $gatunku$ radianach, lub 360 ° C. Średnia szybkość przemiatania, $n$ , wynosi zatem

{\ Displaystyle n = {\ Frac {\, 2 \, \ pi \,} {T}} = {\ Frac {\ 360 ^ {\ circ} \, {T}} ~,}

który nazywa się średnim ruchem kątowym ciała, o wymiarach radianów na jednostkę czasu lub stopni na jednostkę czasu.

Zdefiniuj $τ$ jako czas, w którym ciało znajduje się w perycentrum. Z powyższych definicji można zdefiniować nową wielkość $M$ , czyli średnią anomalię

{\ Displaystyle M = n \ (t-\ tau ) ~,}

co daje kątową odległość od perycentrum w dowolnym czasie $t$ . o wymiarach w radianach lub stopniach.

Ponieważ tempo wzrostu, $n$ , jest stałą średnią, średnia anomalia wzrasta równomiernie (liniowo) od 0 do 2 radianów $π$ lub od 0° do 360° podczas każdej orbity. Jest równy 0, gdy ciało znajduje się w perycentrum, $π$ radianach (180°) w apocentrum i 2 $π$ radianach (360°) po jednym pełnym obrocie. Jeśli średnia anomalia jest znana w dowolnej chwili, można ją obliczyć w dowolnej późniejszej (lub wcześniejszej) chwili, po prostu dodając (lub odejmując) $n\cdotδt,$ gdzie $δt$ reprezentuje małą różnicę czasu.

Anomalia średnia nie mierzy kąta między jakimikolwiek obiektami fizycznymi. Jest to po prostu wygodna jednolita miara tego, jak daleko wokół swojej orbity ciało przeszło od perycentrum. Anomalia średnia jest jednym z trzech parametrów kątowych (znanych historycznie jako „anomalie”), które określają pozycję na orbicie, przy czym pozostałe dwa to anomalia ekscentryczna i anomalia prawdziwa .

Formuły

Średnią anomalię $M$ można obliczyć z ekscentrycznej anomalii $E$ i ekscentryczności $e za$ pomocą równania Keplera :

{\ Displaystyle M = Ee \ \ grzech E ~.}

Średnia anomalia jest również często postrzegana jako

{\ Displaystyle M = M_ {0} + n \ lewo (t-t_ {0} \ prawo) ~,}

gdzie $M$ ₀ jest średnią anomalią w epoce, a $t$ ₀ jest epoką , czasem odniesienia, do którego odnoszą się elementy orbitalne , który może zbiegać się lub nie z $τ$ , czasem przejścia przez perycentrum. Klasyczna metoda znajdowania położenia obiektu na orbicie eliptycznej ze zbioru elementów orbitalnych polega na obliczeniu średniej anomalii za pomocą tego równania, a następnie rozwiązaniu równania Keplera dla anomalii ekscentrycznej.

Zdefiniuj $ϖ$ jako długość geograficzną perycentrum , odległość kątową perycentrum od kierunku odniesienia. Zdefiniuj $ℓ$ jako średnią długość geograficzną , odległość kątową ciała od tego samego kierunku odniesienia, przy założeniu, że porusza się ono ruchem jednostajnym kątowym jak w przypadku średniej anomalii. Tak więc średnia anomalia jest również

M=\ell -\varpi ~.

Można również wyrazić średni ruch kątowy ,

n={\sqrt {{\frac {\mu }{\;a^{3}\,}}\,}}~,

gdzie $μ$ jest parametrem grawitacyjnym, który zmienia się wraz z masami obiektów, a $a$ jest wielką półoś orbity. Anomalię średnią można następnie rozszerzyć,

{\ Displaystyle M = {\ sqrt {{\ Frac {\ mu }{\; a ^ {3} \,}} \,}} \, \ lewo (t-\ tau \ prawo) ~,}

a tutaj anomalia średnia reprezentuje jednostajny ruch kątowy na okręgu o promieniu $a$ .

Oznacza anomalii można wyrazić jako rozszerzenie serii o mimośrodowości $E$ i prawdziwej anomalii $F$ ,

{\ Displaystyle M = f + \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} {\ Big \ {} {\ Frac {1} {n}} + {\ sqrt {1- e^{2}}}{\duża \}}\beta ^{n}\sin {nf}}

z

{\ Displaystyle \ beta = {\ Frac {1-{\ sqrt {1-e ^ {2}}}} {e}}}

{\ Displaystyle M = f-2 \ e \ sin f + \ lewo ({\ Frac {3}{4}} e ^ {2} + {\ Frac {1} {8}} e ^ {4} \ prawej )\sin 2f-{\frac {1}{3}}e^{3}\sin 3f+{\frac {5}{32}}e^{4}\sin 4f+\nazwa operatora {\mathcal {O}} \left(e^{5}\right)}

Podobny wzór podaje prawdziwą anomalię bezpośrednio w postaci anomalii średniej:

{\ Displaystyle f = M + \ lewo (2 \ e-{\ Frac {1} {4}} e ^ {3} \ prawej) \ grzech M + {\ Frac {5} {4}} e ^ {2} \sin 2M+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin 3M+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}

Ogólne sformułowanie powyższego równania można zapisać jako równanie środka :

{\ Displaystyle f = M + 2 \ suma _ {s = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {s}} {\ Big \ {} J_ {s} (se) + \ suma _ {p =1}^{\infty }\beta ^{p}{\big (}J_{sp}(se)+J_{s+p}(se){\big )}{\Big \}}\sin( sM)}

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

Anomalia wejścia do słownika, średnia w internetowym almanachu astronomicznym Obserwatorium Marynarki USA

Languages

In other projects