Quasigrupa - Quasigroup

W matematyce , zwłaszcza w algebrze abstrakcyjnej , quasigrupa jest strukturą algebraiczną przypominającą grupę w tym sensie, że „ podział ” jest zawsze możliwy. Quasigrupy różnią się od grup głównie tym, że niekoniecznie są asocjacyjne .

Quasigrupa z elementem tożsamości nazywana jest pętlą .

Struktury algebraiczne
Grupa -like Grupa Półgrupa  / Monoid Stojak i kwantowa Quasigrupa i pętla Grupa abelowa Magma Grupa kłamstw Teoria grup
pierścień -like Dzwonić Rng Semiring Blisko pierścienia Pierścień przemienny Domena integralna Pole Pierścień dywizji Teoria pierścieni
Krata -like Krata Semisiatka Uzupełniona krata Całkowite zamówienie Algebra Heyting Algebra Boole'a Mapa krat Teoria sieci
Moduł podobny Moduł Grupuj z operatorami Przestrzeń wektorowa Algebra liniowa
Algebra -like Algebra Asocjacyjny Nieskojarzone Algebra kompozycji Algebra kłamstwa Stopniowane Bialgebra
v T mi

Definicje

Istnieją co najmniej dwie strukturalnie równoważne formalne definicje quasigrupy. Jedna definiuje quasigrupę jako zbiór z jedną operacją binarną , a druga, z uniwersalnej algebry , definiuje quasigrupę jako zawierającą trzy operacje podstawowe. Homomorphic obraz z quasi-grupa zdefiniowała z jednej operacji binarnej, jednak nie musi być quasi-grupa. Zaczynamy od pierwszej definicji.

Algebra

Quasi-grupa ( P *) jest niepusty zestaw P z binarnym operacji * (to jest magmy , wskazując, że quasigoup musi spełniać właściwości końcowe), przestrzeganie kwadratu łacińskiego właściwości . Stwierdza to, że dla każdego a i b w Q istnieją unikalne elementy x i y w Q takie, że oba

* x = b ,

y ∗ a = b

trzymać. (Innymi słowy: każdy element zbioru występuje dokładnie raz w każdym wierszu i dokładnie raz w każdej kolumnie tablicy mnożenia quasigrupy, czyli tablicy Cayleya . Ta właściwość zapewnia, że ​​tablica Cayleya skończonej quasigrupy, a w szczególności skończonej group, jest kwadratem łacińskim .) Wymóg unikalności można zastąpić wymaganiem, aby magma była anulowania .

Unikalne rozwiązania tych równań są napisane x = a \ b i y = b / a . Operacje '\' i '/' nazywane są odpowiednio lewym dzieleniem i prawym dzieleniem .

Pusty zestaw wyposażony w pustych binarnych operacji spełnia tę definicję quasi-grupa. Niektórzy autorzy akceptują pustą quasigrupę, inni wyraźnie ją wykluczają.

Algebra uniwersalna

Biorąc pod uwagę pewną strukturę algebraiczną , tożsamość jest równaniem, w którym wszystkie zmienne są milcząco uniwersalnie kwantyfikowane i w którym wszystkie operacje należą do operacji pierwotnych właściwych dla struktury. Struktury algebraiczne aksjomatyzowane wyłącznie przez tożsamości nazywamy rozmaitościami . Wiele wyników standardowych w algebrze uniwersalnej obowiązuje tylko dla rozmaitości. Quasigrupy są odmianami, jeśli lewy i prawy podział są traktowane jako prymitywne.

Quasi-grupa ( P *, \ /), jest typu (2,2,2) Algebra (czyli wyposażona w trzy operacji binarnego) spełniającą tożsamości:

y = x ( x \ y ),

y = x \ ( x ∗ y ),

y = ( y / x ) x ,

y = ( y ∗ x ) / x .

Innymi słowy: mnożenie i dzielenie w dowolnej kolejności, jedno po drugim, po tej samej stronie przez ten sam element, nie mają efektu netto.

Zatem jeśli ( Q , ∗) jest quasigrupą według pierwszej definicji, to ( Q , ∗, \, /) jest tą samą quasigrupą w sensie algebry uniwersalnej. I odwrotnie: jeśli ( Q , ∗, \, /) jest quasigrupą według sensu algebry uniwersalnej, to ( Q , ∗) jest quasigrupą według pierwszej definicji.

Pętle

Pętla jest quasi-grupa z elementu osobistego ; czyli element, e , taki, że

x ∗ e = x i e ∗ x = x dla wszystkich x w Q .

Wynika z tego, że element tożsamości, e , jest unikalny i że każdy element Q ma unikalne odwrotności lewe i prawe (które nie muszą być takie same).

Quasigrupa z idempotentnym elementem nazywana jest pique ("wskazała idempotentna quasigrupa"); jest to pojęcie słabsze niż pętla, niemniej jednak powszechne, ponieważ na przykład przy danej grupie abelowej , ( A , +) , pobranie jej operacji odejmowania jako mnożenia quasigrupy daje pikę ( A , −) z tożsamością grupy (zero) zwróconą w „spiczasty idempotent”. (Oznacza to, że istnieje główna izotopia ( x , y , z ) ↦ ( x , − y , z ) .)

Pętla asocjacyjna to grupa. Grupa może mieć nieskojarzony izotop pique, ale nie może mieć nieskojarzonego izotopu pętli.

Istnieją słabsze właściwości asocjatywności, którym nadano specjalne nazwy.

Na przykład pętla Bol to pętla, która spełnia:

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z      dla każdego x , y i z w Q ( lewa pętla Bol ),

albo

(( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) dla każdego x , y i z w Q ( prawa pętla Bol ).

Pętla, która jest zarówno lewą, jak i prawą pętlą Bol, to pętla Moufang . Jest to równoważne jednej z następujących pojedynczych tożsamości Moufang dla wszystkich x , y , z :

x ( y ∗ ( x ∗ z )) = (( x ∗ y ) ∗ x ) ∗ z ,

z ( x ∗ ( y ∗ x )) = (( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x ,

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = x ∗ (( y ∗ z ) ∗ x ) lub

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = ( x ∗ ( y ∗ z )) ∗ x .

Symetrie

Smith (2007) wymienia następujące ważne właściwości i podklasy:

Semisymetria

Quasigrupa jest półsymetryczna, jeśli zachodzą następujące równoważne tożsamości:

x * y = y / x ,

y ∗ x = x \ y ,

x = ( y ∗ x ) ∗ y ,

x = y ( x ∗ y ).

Chociaż ta klasa może wydawać się wyjątkowa, każda quasigrupa Q indukuje półsymetryczną quasigrupę Q Δ na sześcianie iloczynu bezpośredniego Q ³ poprzez następującą operację:

${\ Displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=(y_{3}/x_{2},y_ {1}\backslash x_{3},x_{1}*y_{2})=(x_{2}//y_{3},x_{3}\backslash \backslash y_{1},x_{1} *y_{2}),}$

gdzie "//" i "\\" to sprzężone operacje dzielenia podane przez i . ${\ Displaystyle r//x=x/y}$${\ Displaystyle y \ ukośnik odwrotny \ ukośnik odwrotny x = x \ ukośnik odwrotny y}$

Trialność

Całkowita symetria

Węższa klasa to całkowicie symetryczna quasigrupa (czasami w skrócie TS-quasigrupa ), w której wszystkie koniugaty pokrywają się jako jedna operacja: x ∗ y = x / y = x \ y . Innym sposobem zdefiniowania (to samo pojęcie) całkowicie symetrycznej quasigrupy jest półsymetryczna quasigrupa, która również jest przemienna, tj. x ∗ y = y ∗ x .

Idempotentne całkowite symetryczne quasigrupy są dokładnie (tj. w bijekcj) trójkami Steinera , więc taka quasigrupa jest również nazywana quasigrupą Steinera , a czasami ta ostatnia jest nawet w skrócie squag ; termin slup definiuje się podobnie dla quasigrupy Steinera, która jest również pętlą. Bez idempotencji, całkowicie symetryczne quasigrupy odpowiadają geometrycznemu pojęciu rozszerzonej trójki Steinera , zwanej także uogólnioną eliptyczną krzywą sześcienną (GECC).

Całkowita antysymetria

Quasigrupę ( Q , ∗ ) nazywamy całkowicie antysymetryczną, jeśli dla wszystkich c , x , y ∈ Q , zachodzą obie następujące implikacje:

1. ( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ x oznacza, że x = y
2. x ∗ y = y ∗ x implikuje, że x = y .

Nazywa się to słabo całkowicie antysymetrycznym, jeśli zachodzi tylko pierwsza implikacja.

Ta właściwość jest wymagana na przykład w algorytmie Damm .

Przykłady

• Każda grupa jest pętlą, ponieważ a ∗ x = b wtedy i tylko wtedy, gdy x = a ⁻¹ ∗ b , oraz y ∗ a = b wtedy i tylko wtedy, gdy y = b ∗ a ⁻¹ .
• Całkowite Z (lub wymiernych P lub Real R ) z odejmowania (-) stanowią quasi-grupa. Te quasiqgrupy nie są pętlami, ponieważ nie ma elementu tożsamości (0 jest tożsamością prawą, ponieważ a − 0 = a , ale nie jest tożsamością lewą, ponieważ ogólnie 0 − a ≠ a ).
• Niezerowe wymierne Q ^× (lub niezerowe liczby rzeczywiste R ^× ) z dzieleniem (÷) tworzą quasigrupę.
• Każdy miejsca wektora na polu o charakterystyce nie równa się 2, tworzy idempotentnych , przemienne quasi-grupa ramach operacji x * y = ( x + y ) / 2 .
• Każdy Steiner potrójny system określa idempotentnych , przemienne quasi-grupa: * b jest trzeci element potrójnego zawierający i b . Te quasigrupy również spełniają ( x ∗ y ) ∗ y = x dla wszystkich x i y w quasigrupie. Te quasigrupy są znane jako quasigrupy Steinera .
• Zbiór {±1, ±i, ±j, ±k} gdzie ii = jj = kk = +1 i ze wszystkimi innymi produktami, jak w grupie kwaternionów, tworzy niezwiązaną pętlę rzędu 8. Zobacz hiperboliczne kwaterniony dla jego zastosowania. (Sam hiperboliczne kwaterniony nie tworzą pętli ani quasigrupy).
• Niezerowe oktonony tworzą nieskojarzoną pętlę podczas mnożenia. Oktonony są specjalnym rodzajem pętli znanej jako pętla Moufang .
• Quasigrupa asocjacyjna jest albo pusta, albo jest grupą, ponieważ jeśli istnieje co najmniej jeden element, odwracalność operacji binarnej quasigrupy w połączeniu z asocjatywnością implikuje istnienie elementu tożsamości, który następnie implikuje istnienie elementów odwrotnych, a zatem spełnia wszystkie trzy wymagania grupy.
• Kolejna budowa jest dziełem Hansa Zassenhausa . Na podstawowym zbiorze czterowymiarowej przestrzeni wektorowej F ⁴ nad 3-elementowym polem Galois F = Z /3 Z zdefiniuj

( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) ∗ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) + ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) + (0, 0, 0, ( x ₃ − y ₃ )( x ₁ y ₂ − x ₂ y ₁ )).

Wtedy ( F ⁴ , ∗) jest przemienną pętlą Moufanga, która nie jest grupą.

• Bardziej ogólnie, niezerowe elementy dowolnej algebry dzielenia tworzą quasigrupę.

Nieruchomości

W dalszej części artykułu będziemy oznaczać mnożenie quasigrupowe po prostu przez zestawienie .

Quasigrupy mają właściwość anulowania : jeśli ab = ac , to b = c . Wynika to z wyjątkowości lewego dzielenia ab lub ac przez a . Podobnie, jeśli ba = ca , to b = c .

Własność kwadratów łacińskich quasigrup oznacza, że ​​przy danych dowolnych dwóch z trzech zmiennych w xy = z , trzecia zmienna jest jednoznacznie określona.

Operatory mnożenia

Definicję quasigrupy można traktować jako warunki na lewym i prawym operatorze mnożenia L _x , R _x : Q → Q , zdefiniowane przez

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} L_ {x} (y) i = xy \ \ R_ {x} (y) i = yx \ \ \ koniec {wyrównany}}}$

Definicja mówi, że oba odwzorowania są bijekcje z Q na siebie. Magma Q jest quasigrupą dokładnie wtedy, gdy wszystkie te operatory, dla każdego x w Q , są bijektywne. Odwrotne odwzorowania to dzielenie na lewą i prawą stronę, czyli

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} L_ {x} ^ {-1} (y) i = x \ ukośnik odwrotny r \ \ R_ {x} ^ {-1} (y) i = y / x \ koniec {wyrównany }}}$

W tym zapisie tożsamości między operacjami mnożenia i dzielenia quasigrupy (wymienione w części dotyczącej algebry uniwersalnej ) są

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} L_ {x} L_ {x} ^ {-1} i = 1 \ qquad i {\ tekst {odpowiadający}} \ qquad x (x \ ukośnik odwrotny y) i = y \ \ L_{x}^{-1}L_{x}&=1\qquad &{\text{odpowiada}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R_{x}R_{x}^{ -1}&=1\qquad &{\text{odpowiadające}}\qquad (y/x)x&=y\\R_{x}^{-1}R_{x}&=1\qquad &{\ tekst{odpowiadający}}\qquad (yx)/x&=y\end{wyrównany}}}$

gdzie 1 oznacza mapowanie tożsamości na Q .

kwadraty łacińskie

Tabliczka mnożenia skończonej quasigrupy to kwadrat łaciński : tablica n × n wypełniona n różnymi symbolami w taki sposób, że każdy symbol występuje dokładnie raz w każdym rzędzie i dokładnie raz w każdej kolumnie.

I odwrotnie, każdy kwadrat łaciński może być traktowany jako tabliczka mnożenia quasigrupy na wiele sposobów: wiersz graniczny (zawierający nagłówki kolumn) i kolumna graniczny (zawierający nagłówki wierszy) mogą być dowolną permutacją elementów. Zobacz małe kwadraty łacińskie i quasigrupy .

Nieskończone quasigrupy

Dla przeliczalnie nieskończonej quasigrupy Q można sobie wyobrazić nieskończoną tablicę, w której każdy wiersz i każda kolumna odpowiada pewnemu elementowi q z Q , a element a * b znajduje się w wierszu odpowiadającym a, a kolumna odpowiadająca b . Również w tej sytuacji właściwość Latin Square mówi, że każdy wiersz i każda kolumna nieskończonej tablicy będzie zawierać każdą możliwą wartość dokładnie raz.

W przypadku nieprzeliczalnie nieskończonej quasigrupy, takiej jak grupa niezerowych liczb rzeczywistych przy mnożeniu, własność kwadratu łacińskiego nadal obowiązuje, chociaż nazwa jest nieco niezadowalająca, ponieważ nie jest możliwe wytworzenie tablicy kombinacji, dla których powyższa idea nieskończona tablica rozciąga się, ponieważ nie wszystkie liczby rzeczywiste mogą być zapisane w sekwencji . (Jest to jednak nieco mylące, ponieważ liczby rzeczywiste można zapisać w sekwencji długości , zakładając twierdzenie o dobrym porządku). ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Właściwości odwrotne

Operacja binarna quasigrupy jest odwracalna w tym sensie, że oba i , lewy i prawy operator mnożenia , są bijektywne, a zatem odwracalne . ${\ Displaystyle L_ {x}}$${\ Displaystyle R_ {x}}$

Każdy element pętli ma unikalną lewą i prawą odwrotność podaną przez

${\ Displaystyle x ^ {\ lambda} = e / x \ qquad x ^ {\ lambda} x = e}$

${\ Displaystyle x ^ {\ rho} = x \ ukośnik odwrotny e \ qquad xx ^ {\ rho} = e}$

Mówi się, że pętla ma ( dwustronne ) odwrotności jeśli dla wszystkich x . W tym przypadku element odwrotny jest zwykle oznaczany przez . ${\ Displaystyle x ^ {\ lambda} = x ^ {\ rho}}$${\ Displaystyle x ^ {-1}}$

Istnieje kilka silniejszych pojęć odwrotności w pętlach, które są często przydatne:

• Pętla ma lewą właściwość odwrotną if for all i . Równoważnie lub .${\ Displaystyle x ^ {\ lambda} (xy) = y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle L_ {x} ^ {-1} = L_ {x ^ {\ lambda}}}$${\ Displaystyle x \ ukośnik odwrotny y = x ^ {\ lambda} y}$
• Pętla ma prawo odwrotności if for all i . Równoważnie lub .${\ Displaystyle (yx) x ^ {\ rho} = y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle R_ {x} ^ {-1} = R_ {x ^ {\ rho}}}$${\ Displaystyle y / x = yx ^ {\ rho}}$
• Pętla ma antyautomorficzną właściwość odwrotną if lub równoważnie if .${\ Displaystyle (xy) ^ {\ lambda} = y ^ {\ lambda} x ^ {\ lambda}}$${\ Displaystyle (xy) ^ {\ rho} = y ^ {\ rho} x ^ {\ rho}}$
• Pętla ma słabe własności odwrotnego gdy tylko wtedy, gdy . Można to wyrazić w postaci odwrotności przez lub równoważnie .${\ Displaystyle (xy) z = e}$${\displaystyle x(yz)=e}$${\ Displaystyle (xy) ^ {\ lambda} x = y ^ {\ lambda}}$${\ Displaystyle x (yx) ^ {\ rho} = y ^ {\ rho}}$

Pętla ma właściwość odwrotną, jeśli ma zarówno lewą, jak i prawą właściwość odwrotną. Pętle właściwości odwrotnych mają również właściwości antyautomorficzne i słabe właściwości odwrotne. W rzeczywistości każda pętla, która spełnia dowolne dwie z powyższych czterech tożsamości, ma właściwość odwrotną i dlatego spełnia wszystkie cztery.

Każda pętla, która spełnia lewe, prawe lub antyautomorficzne właściwości odwrotne, automatycznie ma odwrotność dwustronną.

morfizmy

Quasigrupa lub homomorfizm pętli to odwzorowanie f  : Q → P między dwiema quasigrupami takie , że f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Homomorfizmy quasigrupowe z konieczności zachowują podział na lewy i prawy, a także elementy tożsamościowe (jeśli istnieją).

Homotopia i izotopia

Niech Q i P będą quasigrupami. Quasi-grupa homotopią z Q na P jest potrójne (α, β, γ) map z Q na P , tak że

${\ Displaystyle \ alfa (x) \ beta (y) = \ gamma (xy) \,}$

dla wszystkich x , y w Q . Homomorfizm quasigrupowy to po prostu homotopia, dla której trzy odwzorowania są równe.

Isotopy jest homotopią w którym każdy z trzech map (α, β, y) jest bijection . Dwie quasigrupy są izotopowe, jeśli istnieje między nimi izotopia. Jeśli chodzi o kwadraty łacińskie, izotopia (α, β, γ) jest dana przez permutację wierszy α, permutację kolumn β i permutację podstawowego zestawu elementów γ.

Autotopy jest isotopy z quasi-grupa do siebie. Zbiór wszystkich autotopów quasigrupy tworzy grupę z grupą automorfizmu jako podgrupą.

Każda quasigrupa jest izotopowa w pętli. Jeśli pętla jest izotopowa dla grupy, to jest izomorficzna dla tej grupy, a zatem sama jest grupą. Jednak quasigrupa, która jest izotopowa dla grupy, nie musi być grupą. Na przykład quasigrupa na R z mnożeniem przez ( x + y )/2 jest izotopowa z grupą addytywną ( R , +) , ale sama nie jest grupą. Każda przyśrodkowa quasigrupa jest izotopowa z grupą abelową według twierdzenia Brucka-Toyody .

Koniugacja (parastrofa)

Podział lewy i prawy to przykłady tworzenia quasigrupy przez permutację zmiennych w równaniu definiującym. Z pierwotnej operacji ∗ (tzn. x ∗ y = z ) możemy utworzyć pięć nowych operacji: x o y  := y ∗ x ( operacja przeciwna ), / i \ oraz ich przeciwieństwa. Daje to w sumie sześć operacji quasi-grupowych, które nazywane są sprzężeniami lub parastrofami ∗. Mówi się, że dowolne dwie z tych operacji są „skoniugowane” lub „parastroficzne” względem siebie (i siebie).

Izostrofa (paratopia)

Jeżeli na zbiorze Q występują dwie operacje quasigrupowe, ∗ i ·, a jedno z nich jest izotopowe w stosunku do sprzężenia drugiego, mówi się, że operacje te są względem siebie izotropowe . Istnieje również wiele innych nazw dla tej relacji „izostrofa”, np . paratopia .

Uogólnienia

Poliadyczne lub wieloargumentowe quasigrupy

N - Ary quasi-grupa jest zestaw z n -ary pracy , ( Q , F ) z f : P ⁿ → Q , tak, że wzór F ( x ₁ , ..., x _n ) = Y ma unikalne rozwiązanie dla dowolnej zmiennej, jeśli wszystkie inne zmienne n są określone arbitralnie. Poliadyczny lub wieloargumentowy oznacza n- arny dla pewnej nieujemnej liczby całkowitej n .

Quasigrupa 0- arna lub nullary jest po prostu stałym elementem Q . Jednoargumentowa lub jednoargumentowa quasigrupa jest bijekcją Q na samą siebie. Quasigrupa binarna lub dwuargumentowa jest zwykłą quasigrupą.

Przykładem wieloargumentowej quasigrupy jest iterowane działanie na grupie, y = x ₁ · x ₂ · · · · · x _n ; nie trzeba używać nawiasów do określenia kolejności operacji, ponieważ grupa jest asocjacyjna. Można również utworzyć wielogrupową quasigrupę, wykonując dowolny ciąg tej samej lub innej grupy lub quasigrupy, jeśli jest określona kolejność operacji.

Istnieją wielorakie quasigrupy, których nie można przedstawić w żaden z tych sposobów. N -ary quasi-grupa jest nierozkładalny gdy jego działanie nie może być brane pod uwagę skład się z dwóch części, w następujący sposób:

${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) = g (x_ {1}, \ kropki, x_ {i-1}, \, h (x_ {i}, \ kropki, x_ { j}),\,x_{j+1},\kropki ,x_{n}),}$

gdzie 1 ≤ i < j ≤ n oraz ( i, j ) ≠ (1, n ) . Skończone nieredukowalne n- arne quasigrupy istnieją dla wszystkich n > 2 ; zobacz Akivis i Goldberg (2001) po szczegóły.

N -ary quasi-grupa o n -ary wersji asocjatywnego nazywana jest N -ary grupy .

Prawicowe i lewicowe quasigrupy

Prawym quasi-grupa ( P , * /), jest typu (2,2) Algebra spełniające oba identyfikatory: Y = ( y / x ) * x ; y = ( y ∗ x ) / x .

Podobnie, lewostronna quasigrupa ( Q , ∗, \) jest algebrą typu (2,2) spełniającą obie tożsamości: y = x ∗ ( x \ y ); y = x \ ( x ∗ y ).

Liczba małych quasigrup i pętli

Liczba klas izomorfizmu małych quasigrup (sekwencja A057991 w OEIS ) i pętli (sekwencja A057771 w OEIS ) jest podana tutaj:

Zamówienie	Liczba quasigrup	Liczba pętli
0	1	0
1	1	1
2	1	1
3	5	1
4	35	2
5	1411	6
6	1 130 531	109
7	12 198 455 835	23 746
8	2 697 818 331 680 661	106 228 849
9	15 224 734 061 438 247 321 497	9 365 022 303 540
10	2 750 892 211 809 150 446 995 735 533 513	20 890 436 195 945 769 617
11	19 464 657 391 668 924 966 791 023 043 937 578 299 025	1 478 157 455 158 044 452 849 321 016

Zobacz też

• Pierścień dzielenia – pierścień, w którym każdy niezerowy element ma odwrotność multiplikatywną
• Semigroup – struktura algebraiczna składająca się ze zbioru wraz z binarną operacją asocjacyjną
• Monoid – półgrupa z elementem tożsamościowym
• Płaski pierścień trójskładnikowy – ma addytywną i multiplikatywną strukturę pętli
• Problemy teorii pętli i teorii quasigrup
• Matematyka Sudoku

Uwagi

Bibliografia

• Akivis, MA; Goldberg, Władysław V. (2001). „Rozwiązanie problemu Biełousowa”. Discussiones Mathematicae - Algebra ogólna i aplikacje . 21 (1): 93–103. arXiv : matematyka/0010175 . doi : 10.7151/dmgaa.1030 . S2CID  18421746 .
• Bruck, RH (1971) [1958]. Przegląd systemów binarnych . Springer-Verlag. Numer ISBN 978-0-387-03497-3.
• Chein, O.; Pflugfelder, HO; Smith, JDH, wyd. (1990). Quasigrupy i pętle: teoria i zastosowania . Berlin: Heldermann. Numer ISBN 978-3-88538-008-5.
• Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Handbook of Combinatorial Designs (2nd ed.), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, ISBN 978-1-58488-506-1
• Dudek, Waszyngton; Glazek, K. (2008). „Wokół twierdzenia Hosszu-Gluskina dla grup n-arnych”. Matematyka dyskretna . 308 (21): 4861-76. arXiv : matematyka/0510185 . doi : 10.1016/j.disc.2007.09.005 . S2CID  9545943 .
• Pflugfelder, HO (1990). Quasigrupy i pętle: Wprowadzenie . Berlin: Heldermann. Numer ISBN 978-3-88538-007-8.
• Smith, JDH (2007). Wprowadzenie do Quasigroups i ich reprezentacji . Chapman & Hall/CRC Press. Numer ISBN 978-1-58488-537-5.
• Szczerbacow, Wirginia (2017). Elementy teorii i zastosowań quasigrup . Chapman & Hall/CRC Press. Numer ISBN 978-1-4987-2155-4.

Zewnętrzne linki

• quasigrupy
• "Quasi-grupa" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]