Twierdzenie Liouville'a (odwzorowania konformalne) - Liouville's theorem (conformal mappings)
W matematyce , twierdzenie Liouville'a , udowodnione przez Joseph Liouville w 1850 roku, jest sztywność twierdzenie o konforemnych przekształceń w przestrzeni euklidesowej . Stwierdza, że każde gładkie odwzorowanie konformalne w dziedzinie R n , gdzie n > 2, można wyrazić jako kompozycję translacji , podobieństw , ortogonalnych transformacji i inwersji : są to transformacje Möbiusa (w n wymiarach). To twierdzenie poważnie ogranicza różnorodność możliwych odwzorowań konformalnych w przestrzeniach R 3 i wyższych wymiarach. W przeciwieństwie do odwzorowania konforemne w R 2 może być znacznie bardziej skomplikowane - na przykład, wszystkie łatwo połączone płaskimi domeny są wiernie równoważne przez mapowanie twierdzenia Riemanna .
Uogólnienia twierdzenia obowiązują dla przekształceń, które są tylko słabo różniczkowalne ( Iwaniec i Martin 2001 , rozdział 5). Przedmiotem takiego badania jest nieliniowy układ Cauchy'ego-Riemanna, który jest warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby płynne odwzorowanie ƒ → Ω → R n było konformalne:
gdzie Df jest pochodną Jakobiana , T jest macierzą transponowaną , a I jest macierzą tożsamości. Słabą rozwiązanie tego układu definiuje się jako element ƒ z Sobolewa przestrzeni W 1, n
loc ( Ω , R n ) z nieujemną determinantą jakobowską prawie wszędzie , tak że układ Cauchy'ego-Riemanna zachowuje się w prawie każdym punkcie Ω. Twierdzenie Liouville'a mówi więc, że każde słabe rozwiązanie (w tym sensie) jest transformacją Möbiusa, co oznacza, że ma postać
gdzie a , b to wektory w R n , α to skalar, A to macierz rotacji, a ε = 0 lub 2. Równoważnie, każda quasi-formalna mapa domeny w przestrzeni euklidesowej, która również jest konformalna, jest transformacją Möbiusa. To równoważne stwierdzenie uzasadnia użycie przestrzeni Sobolewa W 1, n , ponieważ ƒ ∈ W 1, n
loc ( Ω , R n ) wynika więc z geometrycznego warunku konformalności i charakterystyki ACL przestrzeni Sobolewa. Wynik nie jest jednak optymalny: w parzystych wymiarach n = 2 k , twierdzenie jest również prawdziwe dla rozwiązań, które zakładamy tylko, że znajdują się w przestrzeni W 1, k
loc , a wynik ten jest ostry w tym sensie, że istnieją słabe rozwiązania układu Cauchy'ego-Riemanna w W 1, p dla dowolnego p < k, które nie są transformacjami Möbiusa. W nieparzystych wymiarach wiadomo, że W 1, n nie jest optymalne, ale ostry wynik nie jest znany.
Podobne wyniki sztywności (w przypadku gładkim) utrzymują się na dowolnym kolektorze konformalnym . Grupa konformalnych izometrii n- wymiarowej konformalnej rozmaitości riemannowskiej zawsze ma wymiar, który nie może przekraczać wymiaru pełnej grupy konformalnej SO ( n +1,1). Równość tych dwóch wymiarów zachodzi dokładnie wtedy, gdy rozmaitość konformalna jest izometryczna z n- sferą lub przestrzenią rzutową . Lokalne wersje wyniku posiadać także: Algebra Lie z konforemnych pola śmierci w zbiorze otwartym ma wymiar mniejszy niż lub równy grupy konformalną, z równości gospodarstwie wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór otwarty jest lokalnie konforemnie płaska.
Uwagi
Bibliografia
- Blair, David E. (2000), „Chapter 6: The Classical Proof of Liouville's Theorem”, Inversion Theory and Conformal Mapping , American Mathematical Society , str. 95–105, ISBN 0-8218-2636-0 .
- Harley Flanders (1966) „Twierdzenie Liouville'a o mapowaniu konformalnym”, Journal of Mathematics and Mechanics 15: 157–61, MR 0184153
- Monge, Gaspard (1850), Liouville, J. (red.), Application de l'analyse à la Géométrie (w języku francuskim) (5 wyd.), Bachelier CS1 maint: zniechęcony parametr ( link )
- Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2001), Teoria funkcji geometrycznych i analiza nieliniowa , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5 , MR 1859913 .
- Kobayashi, Shoshichi (1972), Grupy transformacyjne w geometrii różniczkowej , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag .
- Solomentsev, ED (2001) [1994], „Liouville theorems” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press