Soczewka (geometria) - Lens (geometry)

Soczewka zawarta między dwoma okrągłymi łukami o promieniu R i środkach w O ₁ i O ₂

W 2-wymiarowe geometrii , A soczewka jest wypukły obszar ograniczony przez dwa koliste łuki połączone ze sobą na swoich punktów końcowych. Aby ten kształt był wypukły, oba łuki muszą wyginać się na zewnątrz (wypukły-wypukły). Ten kształt można uformować jako przecięcie dwóch okrągłych dysków . Może być również utworzony jako połączenie dwóch segmentów kołowych (obszarów między cięciwą koła a samym okręgiem), połączonych wzdłuż wspólnej cięciwy.

Rodzaje

Przykład dwóch soczewek asymetrycznych (lewej i prawej) i jednej soczewki symetrycznej (w środku)

Vesica Piscis jest punktem przecięcia dwóch tarcz o tym samym promieniu, R, i odległości między osiami także równe R.

Jeśli dwa łuki soczewki mają równy promień, nazywa się to soczewką symetryczną , w przeciwnym razie jest soczewką asymetryczną .

W Piscis vesica jest postać symetrycznej soczewki, utworzonego przez łuki dwóch okręgów, których środki leżą na każdym przeciwległym łuku. Łuki spotykają się na końcach pod kątem 120 °.

Powierzchnia

Symetryczny

Pole powierzchni soczewki symetrycznej można wyrazić jako promień R i długości łuku θ w radianach:

${\ Displaystyle A = R ^ {2} \ lewo (\ theta - \ sin \ theta \ prawej).}$

Asymetryczny

Pole asymetrycznej soczewki utworzonej z okręgów o promieniach R i r z odległością d między ich środkami wynosi

${\ Displaystyle A = r ^ {2} \ cos ^ {- 1} \ lewo ({\ Frac {d ^ {2} + r ^ {2} -R ^ {2}} {2dr}} \ prawo) + R ^ {2} \ cos ^ {- 1} \ left ({\ frac {d ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2}} {2dR}} \ right) -2 \ Delta}$

gdzie

${\ Displaystyle \ Delta = {\ Frac {1} {4}} {\ sqrt {(-d + r + R) (d-r + R) (d + rR) (d + r + R)}}}$

Jest to obszar, w kształcie trójkąta o bokach D , R , i R .

Aplikacje

Soczewka o innym kształcie jest częścią odpowiedzi na problem pani Miniver , który pyta, jak przeciąć obszar dysku łukiem innego koła o zadanym promieniu na pół. Jednym z dwóch obszarów, w których dysk jest podzielony na pół, jest soczewka.

Soczewki służą do definiowania szkieletów beta , grafów geometrycznych definiowanych na zbiorze punktów poprzez łączenie par punktów krawędzią, gdy soczewka wyznaczona przez te dwa punkty jest pusta.

Zobacz też

• Lune , pokrewny, nie wypukły kształt utworzony przez dwa okrągłe łuki, jeden wygięty na zewnątrz, a drugi do wewnątrz
• Cytryna , stworzona przez soczewkę obracającą się wokół osi przechodzącej przez jej końcówki.

Cytryny .

Bibliografia

• Pedoe, D. (1995). „Circles: A Mathematical View, rev. Ed”. Waszyngton: Math. Doc. Amer .
• Plummer, H. (1960). Wstępny traktat astronomii dynamicznej . York: Dover.
• Watson, GN (1966). Traktat o teorii funkcji Bessela, wyd . Cambridge, Anglia: Cambridge University Press.