Twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym - Lefschetz fixed-point theorem

W matematyce The Lefschetz stałoprzecinkowych twierdzenie jest wzorem zliczający stałe punkty o ciągłego odwzorowania ze zwartej przestrzeni topologicznej ze sobą za pomocą śladów indukowanego mapowania na grupy homologii z . Jego nazwa pochodzi od Solomona Lefschetza , który po raz pierwszy stwierdził to w 1926 roku. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Zliczanie podlega przypisanej krotności w ustalonym punkcie zwanym indeksem stałoprzecinkowym . Słabą wersja twierdzenie jest wystarczająco wykazać, że mapowanie bez jakiegokolwiek punktu stałego musi mieć dość szczególne właściwości topologicznych (jak obrót koła).

Formalne oświadczenie

Dla formalnego stwierdzenia twierdzenia niech

${\displaystyle f\okrężnica X\rightarrow X\,}$

być ciągłą mapą od zwartej trójkątnej przestrzeni do siebie. Zdefiniuj liczbę Lefschetza z by ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {f}}$${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ Lambda _ {f}: = \ suma _ {k \ geq 0} (-1) ^ {k} \ operatorname {tr} (f_ {*} | H_ {k} (X, \ mathbb {Q) } ))),}$

przemienna (skończona) suma śladów macierzowych map liniowych indukowana przez on , osobliwe grupy homologii o współczynnikach wymiernych . ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle H_ {k} (X \ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle X}$

Prosta wersja twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym mówi: if

${\ Displaystyle \ Lambda _ {f} \ neq 0 \,}$

następnie ma przynajmniej jeden stały punkt, to znaczy, istnieje co najmniej jeden w taki sposób, że . W rzeczywistości, ponieważ liczba Lefschetza została zdefiniowana na poziomie homologii, wniosek można rozszerzyć, mówiąc, że każda mapa homotopiczna do ma również stały punkt. ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f (x) = x}$${\displaystyle f}$

Zauważ jednak, że odwrotność generalnie nie jest prawdziwa: może wynosić zero, nawet jeśli ma ustalone punkty. ${\ Displaystyle \ Lambda _ {f}}$${\displaystyle f}$

Szkic dowodu

Po pierwsze, stosując twierdzenie o aproksymacji simplicjalnej , pokazujemy, że jeśli nie ma stałych punktów, to (prawdopodobnie po podzieleniu ) jest homotopijne do odwzorowywania simplicjalnego bez stałych punktów (tzn. wysyła każdy simpleks do innego simpleksu). To oznacza, że ukośne wartości macierzy liniowej mapy na indukowane symplicjalnego łańcucha złożonego z Musi on być zero. Następnie zauważa się, że ogólnie liczbę Lefschetza można również obliczyć za pomocą przemiennej sumy śladów macierzowych wspomnianych wcześniej map liniowych (jest to prawdą prawie z tego samego powodu, dla którego charakterystyka Eulera ma definicję w kategoriach grup homologii ; patrz poniżej w odniesieniu do charakterystyki Eulera). W szczególnym przypadku mapy simplicjalnej bez punktów stałych, wszystkie wartości przekątne są zerowe, a zatem wszystkie ślady są zerowe. ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$

Twierdzenie Lefschetza-Hopfa

Silniejsza forma twierdzenia, znana również jako twierdzenie Lefschetza-Hopfa , stwierdza, że ​​jeśli ma tylko skończenie wiele punktów stałych, to ${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ suma _ {x \ w \ operatorname {Fix} (f)} ja (f, x) = \ Lambda _ {f}}$

gdzie jest zbiorem punktów stałych , i oznacza indeks punktu stałego . Z tego twierdzenia wyprowadza się twierdzenie Poincaré-Hopfa dla pól wektorowych. ${\ Displaystyle \ operatorname {Poprawka} (f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle i(f,x)}$${\displaystyle x}$

Związek z charakterystyką Eulera

Liczbę Lefschetza mapy identyczności na skończonym kompleksie CW można łatwo obliczyć, zdając sobie sprawę, że każdy z nich może być traktowany jako macierz tożsamości, a więc każdy wyraz śladowy jest po prostu wymiarem odpowiedniej grupy homologii. Tak więc liczba Lefschetza odwzorowania tożsamości jest równa przemiennej sumie liczb Bettiego przestrzeni, która z kolei jest równa charakterystyce Eulera . Tak więc mamy ${\displaystyle f_{\ast}}$ ${\ Displaystyle \ chi (X)}$

${\ Displaystyle \ Lambda _ {\ operatorname {id}} = \ chi (X). \ }$

Związek z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym

Twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym uogólnia twierdzenie Brouwera o punkcie stałym , które stwierdza, że ​​każda ciągła mapa z dwuwymiarowego dysku jednostki zamkniętej do musi mieć co najmniej jeden punkt stały. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle D ^ {n}}$${\ Displaystyle D ^ {n}}$

Można to zaobserwować w następujący sposób: jest zwarty i trójkątny, wszystkie jego grupy homologii z wyjątkiem są zerowe, a każda ciągła mapa indukuje mapę tożsamości , której ślad jest jeden; wszystko to razem implikuje, że jest niezerowe dla każdej ciągłej mapy . ${\ Displaystyle D ^ {n}}$${\displaystyle H_{0}}$${\ Displaystyle f \ dwukropek D ^ {n} \ do D ^ {n}}$${\ Displaystyle f_ {*} \ dwukropek H_ {0} (D ^ {n} \ mathbb {Q}) \ do H_ {0} (D ^ {n} \ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle \ Lambda _ {f}}$${\ Displaystyle f \ dwukropek D ^ {n} \ do D ^ {n}}$

Kontekst historyczny

Lefschetz przedstawił swoje twierdzenie o punkcie stałym w ( Lefschetz 1926 ). Lefschetz nie skupiał się na stałych punktach map, ale raczej na tym, co obecnie nazywamy punktami zbieżności map.

Biorąc pod uwagę dwie mapy i z orientowanego kolektora z orientowanego kolektora tego samego wymiar, liczba przypadek Lefschetz z i jest zdefiniowany jako ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\ Displaystyle \ Lambda _ {f, g} = \ suma (-1) ^ {k} \ operatorname {tr} (D_ {X} \ circ g ^ {*} \ circ D_ {Y} ^ {-1} \circ f_{*}),}$

w którym ma wyżej podane, to homomorfizm wywołane na kohomologii grup współczynnikach racjonalne, a i to Poincare'go dwoistość isomorphisms do i , odpowiednio. ${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle g_{*}}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle D_ {X}}$${\ Displaystyle D_ {X}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

Lefschetz udowodnił, że jeśli liczba koincydencji jest niezerowa, to i mają punkt koincydencji. Zauważył w swoim artykule, że pozwalanie i pozwalanie być mapą tożsamości daje prostszy wynik, który obecnie znamy jako twierdzenie o punkcie stałym. ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle X = Y}$${\displaystyle g}$

Frobenius

Niech będzie rozmaitością określoną nad ciałem skończonym z elementami i niech będzie zmianą bazy na domknięcie algebraiczne . Endomorfizm frobeniusa z (często geometryczny Frobeniusa lub tylko Frobeniusa ), oznaczoną odwzorowywane punkt o współrzędnych dla punktu o współrzędnych . Zatem punkty stałe są dokładnie punktami o współrzędnych w ; zbiór takich punktów jest oznaczony przez . W tym kontekście obowiązuje formuła śladu Lefschetza, która brzmi: ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\ Displaystyle F_ {q}}$${\displaystyle x_{1},\ldots,x_{n}}$${\ Displaystyle x_ {1} ^ {q}, \ ldots, x_ {n} ^ {q}}$${\ Displaystyle F_ {q}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle X (k)}$

${\ Displaystyle \ # X (k) = \ suma _ {i} (-1) ^ {i} \ operatorname {tr} (F_ {q} ^ {*} | H_ {c} ^ {i} {\ słupek {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

Formuła ta zawiera ślad Frobeniusa na kohomologii etalowej, ze zwartymi podporami, z wartościami w zakresie liczb -adycznych, gdzie jest liczbą pierwszą względnie pierwszą do . ${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle q}$

Jeśli jest gładka i równowymiarowa , to wzór ten można przepisać w kategoriach arytmetycznego Frobeniusa , który działa jako odwrotność na kohomologii: ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {q}}$${\ Displaystyle F_ {q}}$

${\ Displaystyle \ # X (k) = q ^ {\ dim X} \ suma _ {i} (-1) ^ {i} \ operatorname {tr} ((\ Phi _ {q} ^ {-1}) ^{*}|H^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

Ta formuła obejmuje zwykłą kohomologię, a nie kohomologię z kompaktowymi podporami.

Wzór śladu Lefschetza można również uogólnić na stosy algebraiczne na ciałach skończonych.

Zobacz też

• Twierdzenia o punkcie stałym
• Funkcja zeta Lefschetza
• Holomorficzna formuła stałoprzecinkowa Lefschetza

Uwagi

Bibliografia

• Lefschetz, Salomon (1926). "Przecięcia i przekształcenia kompleksów i rozmaitości" . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 28 (1): 1-49. doi : 10.2307/1989171 . MR  1501331 .
• Lefschetz, Salomon (1937). „Na wzorze punktu stałego”. Roczniki Matematyki . 38 (4): 819–822. doi : 10.2307/1968838 . MR  1503373 .

Linki zewnętrzne

• „Formuła Lefschetza” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]