Norma (matematyka) - Norm (mathematics)

W matematyce , A norma jest funkcja z rzeczywistym lub złożonej przestrzeni wektorowej do nieujemnych liczb rzeczywistych, które zachowuje się w określony sposób, jak odległość od pochodzenia : to dojeżdża ze skalowaniem, wypełnia formularz z nierówności trójkąta i jest zeru tylko w pochodzenie. W szczególności odległość euklidesowa wektora od początku jest normą, zwaną normą euklidesową lub 2-normą , którą można również zdefiniować jako pierwiastek kwadratowy iloczynu skalarnego wektora z samym sobą.

Pseudonorm lub seminorm spełnia dwie pierwsze właściwości normalnego, ale może być równa zero dla innych wektorów niż pochodzenia. Przestrzeń wektorowa o określonej normie nazywana jest unormowaną przestrzenią wektorową . W podobny sposób przestrzeń wektorowa z seminormą nazywana jest przestrzenią seminormowaną .

Definicja

Biorąc pod uwagę miejsca wektora na podpole F na liczbach zespolonych normą na to o wartościach rzeczywistych funkcji z następujących właściwości, gdzie Ranga ta zwykle wartość bezwzględną skalarnej : ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ,}$${\ Displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\do \mathbb {R}}$${\displaystyle |s|}$${\displaystyle s}$

1. Subaddytywność / nierówność trójkąta : dla wszystkich${\ Displaystyle p (x + y) \ leq p (x) + p (y)}$${\displaystyle x,y\wX.}$
2. Absolutna jednorodność : dla wszystkich i wszystkich skalarów${\ Displaystyle p (sx) = \ lewo | s \ prawo | p (x)}$${\ Displaystyle x \ w X}$${\ Displaystyle s.}$
3. Pozytywna określoność / Rozdzielenie punktów : dla wszystkich,jeślito${\displaystyle x\wX}$${\ Displaystyle p (x) = 0}$${\displaystyle x=0.}$
   • Ponieważ własność (2) implikuje, że niektórzy autorzy zastępują własność (3) równoważnym warunkiem: dla każdego wtedy i tylko wtedy, gdy${\displaystyle p(0)=0,}$${\displaystyle x\wX}$ ${\ Displaystyle p (x) = 0}$${\displaystyle x=0.}$

Seminorm na to funkcja , która ma właściwości (1) i (2) tak, że w szczególności, każda norma również seminorm (a zatem również sublinear funkcjonalne ). Istnieją jednak półnormy, które nie są normami. Z właściwości (1) i (2) wynika, że ​​if jest normą (lub ogólniej seminormą) then i ma również następującą własność: ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle p:X\do \mathbb {R}}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle p (0) = 0}$${\displaystyle p}$

4. Nienegatywność : dla wszystkich${\displaystyle p(x)\geq 0}$${\ Displaystyle x \ w X.}$

Niektórzy autorzy włączają nieujemność jako część definicji „normy”, chociaż nie jest to konieczne.

Normy równoważne

Załóżmy, że p i q są dwiema normami (lub półnormami) w przestrzeni wektorowej Wtedy p i q nazywamy równoważnymi , jeśli istnieją dwie stałe rzeczywiste c i C przy c > 0 takie, że dla każdego wektora${\ Displaystyle X.}$${\displaystyle x\wX}$

Normy p i q są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy indukują tę samą topologię na Jakiekolwiek dwie normy w przestrzeni o skończonych wymiarach są równoważne, ale nie rozciąga się to na przestrzenie nieskończenie wymiarowe. ${\ Displaystyle X.}$

Notacja

Jeśli norma jest podana na przestrzeni wektorowej X , to norma wektora jest zwykle oznaczana przez umieszczenie jej w podwójnych pionowych liniach: Taki zapis jest czasami używany, jeśli p jest tylko półnormą. W przypadku długości wektora w przestrzeni euklidesowej (która jest przykładem normy, jak wyjaśniono poniżej ), rozpowszechniony jest również zapis z pojedynczymi pionowymi liniami. ${\ Displaystyle p \ okrężnica X \ do \ mathbb {R}}$${\displaystyle z\w X}$${\ Displaystyle \ | z \ | = p (z).}$${\displaystyle |x|}$

W LaTeX i związanych język znaczników, podwójny pasek notacji normą jest wprowadzany za pomocą makra \|, co czyni w podwójnej linii pionowej, w celu określenia linii równoległych , operatora równolegle i dodanie równoległej wprowadza się z i jest wyświetlany jako Chociaż patrząc podobne, te dwa nie należy mylić makr, ponieważ oznacza nawias i oznacza operator. Dlatego ich rozmiar i przestrzenie wokół nich nie są obliczane w ten sam sposób. Podobnie, pojedyncza kreska pionowa jest zakodowana tak, jak w przypadku użycia jako nawias i gdy jest używana jako operator. ${\ Displaystyle \ |.}$\parallel${\displaystyle \równoległe.}$\|\parallel|\mid

W Unicode reprezentacja znaku „podwójnej linii pionowej” to U+2016 ‖ DOUBLE VERTICAL LINE . Symbolu „podwójnej linii pionowej” nie należy mylić z symbolem „równoległym do”, U+2225 ∥ RÓWNOLEGŁY DO , który ma oznaczać linie równoległe i operatory równoległe. Nie należy również mylić podwójnej linii pionowej z U+01C1 ǁ LATIN LETTER LATERAL CLICK , mającym na celu oznaczenie bocznych kliknięć w językoznawstwie.

Pojedyncza linia pionowa | ma reprezentację Unicode U+007C | LINIA PIONOWA .

Przykłady

Każda (rzeczywista lub złożona) przestrzeń wektorowa przyjmuje normę: Jeśli jest bazą Hamela dla przestrzeni wektorowej X, to mapa o wartościach rzeczywistych, która wysyła x = Σ _{i ∈ I} s _i x _i ∈ X (gdzie prawie wszystkie skalary s _i wynoszą 0) do Σ _{i ∈ I} | s _ja | jest normą na X . Istnieje również wiele norm, które wykazują dodatkowe właściwości, które czynią je przydatnymi w konkretnych problemach. ${\ Displaystyle x_ {\ pocisk} = \ lewo (x_ {i} \ prawo) _ {i \ w ja}}$

Norma wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna

jest normą na jednowymiarowych przestrzeniach wektorowych utworzonych przez liczby rzeczywiste lub zespolone .

Każdy normą P na jednowymiarowej przestrzeni wektorowej X jest równoważne (do skalowania) z normą wartości bezwzględnej, co oznacza, że istnieje norma zabezpieczonego Izomorfizm przestrzeni wektorowej , gdzie jest albo czy i Norma-konserwujące środki ten Izomorfizm podaje wysyłając do wektora normy 1 , który istnieje, ponieważ taki wektor uzyskuje się przez pomnożenie dowolnego wektora niezerowego przez odwrotność jego normy. ${\ Displaystyle f: \ mathbb {F} \ do X}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ,}$${\ Displaystyle | x | = p (f (x)).}$${\ Displaystyle 1 \ w \ mathbb {F}}$

norma euklidesowa

Na n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej intuicyjne pojęcie długości wektora x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) jest uchwycone wzorem ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Jest to norma euklidesowa, która podaje zwykłą odległość od początku do punktu X — konsekwencja twierdzenia Pitagorasa . Ta operacja może być również określane jako „SRSS”, które jest skrótem dla y quare r oot z y UM s quares.

Norma euklidesowa jest zdecydowanie najczęściej stosowaną normą, ale istnieją inne normy w tej przestrzeni wektorowej, jak pokazano poniżej. Jednak wszystkie te normy są równoważne w tym sensie, że wszystkie definiują tę samą topologię. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Wewnętrzny produkt dwóch wektorów w przestrzeni euklidesowej wektor jest kropka produkt swoich współrzędnych wektorów nad ortonormalnych podstawie . Stąd normę euklidesową można zapisać bez współrzędnych jako

Norma euklidesowa jest również nazywana normą L ² , ℓ ² normą , 2-normą lub normą kwadratową ; zobacz przestrzeń L ^p . Definiuje funkcji odległości zwaną długość euklidesowa , l ² odległości lub £ -l ² na odległość .

Zbiór wektorów, w których normą euklidesową jest dana stała dodatnia, tworzy n- sferę . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$

Norma euklidesowa liczb zespolonych

Normą euklidesową liczby zespolonej jest jej wartość bezwzględna (nazywana również modułem ), jeśli płaszczyzna zespolona jest utożsamiana z płaszczyzną euklidesową To utożsamienie liczby zespolonej x + i y jako wektora na płaszczyźnie euklidesowej sprawia, że ilość (jak po raz pierwszy zasugerował Euler) norma euklidesowa związana z liczbą zespoloną. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$ ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Kwaterniony i oktonony

Istnieją dokładnie cztery algebry Euklidesa Hurwitza nad liczbami rzeczywistymi . Są liczb rzeczywistych liczb zespolonych z Quaternions i wreszcie octonions , przy czym wymiary tych przestrzeni ponad rzeczywistych Liczby 1 , 2 , 4 i 8 , odpowiednio. Jak omówiono wcześniej, normy kanoniczne dotyczące i są ich funkcjami wartości bezwzględnej . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ,}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H} ,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {O} ,}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Kanoniczna norma na od kwaterniony jest zdefiniowany przez ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

dla każdego kwaternionu w Jest to to samo, co norma euklidesowa na rozpatrywanej jako przestrzeń kierunkowa Podobnie, norma kanoniczna na oktonionach jest po prostu normą euklidesową na${\displaystyle q=a+b\\mathbf {i} +c\\mathbf {j} +d\\mathbf {k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}.}$

Skończenie wymiarowe złożone przestrzenie unormowane

Na n- wymiarowej przestrzeni złożonej najczęstszą normą jest ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

$${\ Displaystyle \ | {\ pogrubiony symbol {z}} \ |: = {\ sqrt {\ lewo | z_ {1} \ po prawej | ^ {2} + \ cdots + \ po lewej | z_ {n} \ po prawej | ^ { 2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

W tym przypadku normą może być wyrażony jako pierwiastek kwadratowy z wewnętrznego produktu wektora i sobie;

$${\ Displaystyle \ | {\ boldsymbol {x}} \ |: = {\ sqrt {{\ boldsymbol {x}} ^ {H} ~ {\ boldsymbol {x}}}}}$$

gdzie jest reprezentowany jako wektor kolumnowy ([ x ₁ ; x ₂ ; ...; x _n ]) i oznacza jego transpozycję sprzężoną . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\ Displaystyle {\ pogrubienie {x}} ^ {H}}$

Ten wzór jest ważny dla dowolnej wewnętrznej przestrzeni iloczynowej , w tym przestrzeni euklidesowych i złożonych. W przypadku przestrzeni złożonych iloczyn skalarny jest odpowiednikiem złożonego iloczynu skalarnego . Stąd wzór w tym przypadku można zapisać również za pomocą następującej notacji:

$${\ Displaystyle \ | {\ pogrubienie {x}} \ |: = {\ sqrt {{\ pogrubienie {x}} \ cdot {\ pogrubienie {x}}}}.}$$

Norma taksówki lub norma Manhattan

Główny artykuł: geometria taksówki

$${\ Displaystyle \ | {\ pogrubiony symbol {x}} \ | _ {1}: = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lewo | x_ {i} \ prawo |.}$$

Nazwa odnosi się do odległości, jaką musi pokonać taksówka w prostokątnej siatce ulic, aby dostać się od początku do punktu x .

Zbiór wektorów, których 1-norma jest daną stałą, tworzy powierzchnię poprzecznego politopu o wymiarze równym wymiarowi normy minus 1. Norma Taxicab jest również nazywana

normą . Odległość wywiedziona z tą normą jest nazywany odległość Manhattan lub ℓ ₁ odległość . ${\displaystyle \ell ^{1}}$

1-norma to po prostu suma wartości bezwzględnych kolumn.

W przeciwieństwie,

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$$

nie jest normą, ponieważ może dawać negatywne skutki.

p - norma

Główny artykuł: L ^p przestrzeń

Niech p ≥ 1 będzie liczbą rzeczywistą. P -norm (zwany również -norm) wektora jest ${\displaystyle \ell_{p}}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

$${\ Displaystyle \ lewo \ | \ mathbf {x} \ prawo \ | _ {p}: = \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lewo | x_ {i} \ po prawej | ^ {p }\right)^{1/p}.}$$

Dla p = 1 otrzymujemy normę taksówki , dla p = 2 , normę euklidesową , a gdy p zbliża się do normy p zbliża się do normy nieskończoności lub normy maksymalnej : ${\displaystyle \infty}$

$${\ Displaystyle \ lewo \ | \ mathbf {x} \ prawo \ | _ {\ infty}: = \ max _ {i} \ lewo | x_ {i} \ po prawej |}$$

P -norm wiąże się z uogólnionym średniej lub średniej mocy.

Ta definicja jest nadal interesująca dla 0 < p < 1 , ale wynikowa funkcja nie definiuje normy, ponieważ narusza nierówność trójkąta . To, co jest prawdą dla tego przypadku 0 < p < 1 , nawet w mierzalnym analogu, to to, że odpowiadająca mu klasa L ^p jest przestrzenią wektorową i prawdą jest również, że funkcja

$${\ Displaystyle \ int _ {X} \ lewo | f (x) -g (x) \ prawo | ^ {p} ~ \ operatorname {d} \ mu}$$

(bez p th pierwiastka) definiuje odległość, która sprawia, że L ^p ( X ) staje się pełną metryczną topologiczną przestrzenią wektorów . Przestrzenie te cieszą się dużym zainteresowaniem w analizie funkcjonalnej , teorii prawdopodobieństwa i analizie harmonicznej . Jednak poza trywialnymi przypadkami ta topologiczna przestrzeń wektorowa nie jest lokalnie wypukła i nie ma ciągłych niezerowych form liniowych. Zatem topologiczna przestrzeń dualna zawiera tylko funkcjonał zerowy.

Pochodna cząstkowa normy p jest dana przez

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {k}}} \ | \ mathbf {x} \ | _ {p} = {\ Frac {x_ {k} \ po lewej | x_ {k} \ po prawej |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

Pochodną względem x jest zatem

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ | \ mathbf {x} \ | _ {p}} {\ częściowy \ mathbf {x}}} = {\ Frac {\ mathbf {x} \ circ | \ mathbf {x } |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

gdzie ∘ oznacza iloczyn Hadamarda i jest używany jako wartość bezwzględna każdego składnika wektora. ${\displaystyle |\cdot |}$

W szczególnym przypadku p = 2 staje się to

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {k}}} \ | \ mathbf {x} \ | _ {2} = {\ Frac {x_ {k}} {\ | \ mathbf {x} \|_{2}}},}$$

lub

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy \ mathbf {x}}} \ lewo \ | \ mathbf {x} \ prawo \ | _ {2} = {\ Frac {\ mathbf {x}} {\ |\mathbf {x} \|_{2}}}.}$$

Norma maksymalna (szczególny przypadek: norma nieskończoności, norma jednolita lub norma naczelna)

${\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = 1}$

Główny artykuł: Maksymalna norma

Jeśli jest jakiś wektor taki, że wtedy: ${\displaystyle \mathbf {x}}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$

$${\ Displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | _ {\ infty}: = \ max \ po lewej (\ po lewej | x_ {1} \ po prawej | \ ldots \ po lewej | x_ {n} \ po prawej | \ po prawej ).}$$

Zbiór wektorów, których normą nieskończoności jest dana stała c , tworzy powierzchnię hipersześcianu o długości krawędzi 2 c .

Zerowa norma

W analizie prawdopodobieństwa i funkcjonalnej norma zerowa indukuje kompletną topologię metryczną dla przestrzeni funkcji mierzalnych i dla przestrzeni F sekwencji z F-normą Przez

F-norma rozumiemy pewną funkcję o wartościach rzeczywistych na F-przestrzeni z F-normą. Odległość d , tak że F -norm opisany powyżej nie jest normą w zwykłym znaczeniu, ponieważ brakuje mu żądane właściwości jednorodności. ${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$${\ Displaystyle \ l Vert \ cdot \ r Vert}$${\ Displaystyle \ lVert x \ rVert = d (x, 0).}$

Odległość Hamminga wektora od zera

Zobacz także: Odległość Hamminga i metryka dyskretna

W geometrii metrycznej The dyskretnych metryki wykonuje jedną wartość dla różnych punktów i zera w inny sposób. W przypadku zastosowania współrzędnych do elementów przestrzeni wektorowej odległość dyskretna określa odległość Hamminga , co jest ważne w

teorii kodowania i informacji . W dziedzinie liczb rzeczywistych lub zespolonych odległość metryki dyskretnej od zera nie jest jednorodna w punkcie niezerowym; w rzeczywistości odległość od zera pozostaje jeden, ponieważ jego niezerowy argument zbliża się do zera. Jednak dyskretna odległość liczby od zera spełnia inne własności normy, a mianowicie nierówność trójkąta i dodatnią określoność. Po zastosowaniu komponentów do wektorów dyskretna odległość od zera zachowuje się jak niejednorodna „norma”, która zlicza liczbę niezerowych składników w swoim argumencie wektorowym; znowu, ta niejednorodna „norma” jest nieciągła.

W przetwarzaniu sygnałów i danych statystycznych , David Donoho odniósł się do zera „ normy ” z cudzysłowie. Zgodnie z notacją Donoho, zerowa „norma” x jest po prostu liczbą niezerowych współrzędnych x lub odległością Hamminga wektora od zera. Kiedy ta „norma” jest zlokalizowana w ograniczonym zbiorze, jest to granica p -norm, gdy p zbliża się do 0. Oczywiście zerowa „norma” nie jest naprawdę normą, ponieważ nie jest dodatnia jednorodna . W rzeczywistości nie jest to nawet F-norma w opisanym powyżej sensie, ponieważ jest nieciągła, solidarnie, w stosunku do argumentu skalarnego w mnożeniu skalarno-wektorowym oraz względem jego argumentu wektorowego. Nadużywanie terminologię , niektórzy inżynierowie pominąć cudzysłowu Donoho i niewłaściwie zadzwonić pod numer-of-nonzeros funkcja L ⁰ normę, nawiązując do zapisu na przestrzeni Lebesgue'a z funkcji mierzalnych .

Nieskończone wymiary

Uogólnienie powyżej norm do nieskończonej liczby składników prowadzi do ℓ ^s i l ^s przestrzeni , z normami

dla sekwencji o wartościach zespolonych i funkcji na odpowiednio, które można dalej uogólniać (patrz miara Haara ). ${\ Displaystyle X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$

Każdy produkt wewnętrzny w naturalny sposób wprowadza normę${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

Inne przykłady nieskończenie wymiarowych znormalizowanych przestrzeni wektorowych można znaleźć w artykule o przestrzeni Banacha .

Normy złożone

Inne normy można skonstruować łącząc powyższe; na przykład ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

jest normą? ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$

Dla dowolnej normy i dowolnej iniektywnej transformacji liniowej A możemy zdefiniować nową normę x równą

W 2D, z obrotem A o 45° i odpowiednim skalowaniem, zmienia to normę taksówki na normę maksymalną. Każde A zastosowane w normie taksówki, aż do odwrócenia i zamiany osi, daje inną kulę jednostkową: równoległobok o określonym kształcie, rozmiarze i orientacji.

W 3D jest to podobne, ale inne dla normy 1-norma ( oktaedry ) i norma maksymalna ( pryzmaty o podstawie równoległoboku).

Istnieją przykłady norm, które nie są definiowane przez formuły „entrywise”. Na przykład funkcjonał Minkowskiego w centralnie symetrycznym wypukłym ciele (wyśrodkowanym na zero) definiuje normę na (patrz § Klasyfikacja półnorm: absolutnie wypukłe zbiory absorbujące poniżej). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Wszystkie powyższe wzory dają również normy bez modyfikacji. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

Istnieją również normy dotyczące przestrzeni macierzy (z wpisami rzeczywistymi lub złożonymi), tzw. normy macierzowe .

W algebrze abstrakcyjnej

Niech E będzie skończonym rozszerzeniem ciała k o nierozłącznym stopniu p ^μ , i niech k ma domknięcie algebraiczne K . Jeżeli różne zanurzeń z E są { σ _j } _j , a następnie Galois-theoretic normą elementu alfa ∈ E jest wartością W tej funkcji jest jednorodna stopnia [ e : k ] The Galois-theoretic norma jest normą w rozumieniu tego artykułu. Natomiast [ E : k ] -ty korzeń normy (zakładając, że pojęcie ma sens) jest normą. ${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$

Algebry kompozycji

Pojęcie normy w algebrach kompozycji jest nie udostępniać zwykłe właściwości normy, które mogą być ujemne lub zero Z ≠ kompozycji 0. Algebra ( , * N ) składa się z Algebra na polu A , w inwolucji * , oraz kwadratową formę, która jest nazywana „normą”. ${\ Displaystyle N (z)}$ ${\ Displaystyle N (z) = zz ^ {*}}$

Charakterystyczną cechą algebrach skład jest homomorfizm własność N : dla produktu wz dwóch elementów W i Z kompozycji algebraiczną ich spełnia normą W i O normą kompozycja Algebra jest kwadratem z normą omówiono powyżej. W tych przypadkach normą jest określona forma kwadratowa . W innych algebrach składowych normą jest izotropowa forma kwadratowa . ${\ Displaystyle N (wz) = N (w) N (z).}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H} ,}$

Nieruchomości

Dla każdej normy na przestrzeni wektorowej odwrotnej nierówność trójkąta posiada: ${\displaystyle p:X\do \mathbb {R}}$${\displaystyle X,}$

Jeśli jest ciągłym liniowym między unormowanych przestrzeni, to norma i normą transponowaniem o są równe. ${\displaystyle u:X\do Y}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle u}$

Dla norm L ^p mamy nierówność Höldera

$${\ Displaystyle | \ langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | _ {p} \ | y \ | _ {q} \ qquad {\ Frac {1} {p}} + {\ Frac {1 }{q}}=1.}$$

Szczególnym przypadkiem tego jest nierówność Cauchy'ego-Schwarza :

$${\ Displaystyle \ lewo | \ langle x, y \ rangle \ prawo | \ leq \ | x \ | _ {2} \ | y \ | _ {2}.}$$

Ilustracje okręgów jednostkowych w różnych normach.

Równorzędność

Pojęcie okręgu jednostkowego (zbiór wszystkich wektorów normy 1) jest różne w różnych normach: dla 1 normy okręgiem jednostkowym jest kwadrat , dla 2 normy (norma euklidesowa) jest to dobrze znany koło jednostkowe , natomiast dla normy nieskończoności jest to inny kwadrat. Dla każdej normy p jest to superelipsa z przystającymi osiami (patrz załączona ilustracja). Ze względu na definicję normy koło jednostkowe musi być wypukłe i centralnie symetryczne (dlatego np. kula jednostkowa może być prostokątem, ale nie może być trójkątem, a dla normy

p ). ${\displaystyle p\geq 1}$

Jeśli chodzi o przestrzeń wektorową, seminorma definiuje topologię w przestrzeni, a jest to topologia Hausdorffa dokładnie wtedy, gdy seminorma może rozróżniać różne wektory, co ponownie jest równoważne z tym, że seminorma jest normą. Tak zdefiniowaną topologię (przez normę lub półnormę) można rozumieć zarówno w kategoriach ciągów, jak i zbiorów otwartych. Sekwencji wektorów mówi się, że

są zbieżne z normą jeśli jako równoważnie topologia obejmuje wszystkie zestawy, które mogą być reprezentowane jako związek otwartych kulek . Jeśli jest przestrzenią unormowaną, to ${\ Displaystyle \ {v_ {n} \}}$${\displaystyle v}$${\ Displaystyle \ lewo \ | v_ {n}-v \ prawo \ | \ do 0}$${\displaystyle n\do \infty.}$${\ Displaystyle (X, \ | \ cdot \ |)}$${\ Displaystyle \ | xy \ | = \ | xz \ | + \ | zy \ | {\ tekst {dla wszystkich}} x, y \ w X {\ tekst {i}} z \ w [x, y]. }$

Nazywa się dwie normy i na przestrzeni wektorowej${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ beta}}$${\ Displaystyle X}$równoważne, jeśli indukują tę samą topologię, co dzieje się wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dodatnie liczby rzeczywisteCiDtakie, że dla wszystkich${\ Displaystyle x \ w X}$

$${\ Displaystyle C \ | x \ | _ {\ alfa} \ równoważnik \ | x \ | _ {\ beta} \ równoważnik D \ | x \ | _ {\ alfa}.}$$

Na przykład, jeśli na to ${\displaystyle p>r\geq 1}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

$${\ Displaystyle \ | x \ | _ {p} \ leq \ | x \ | _ {r} \ leq n ^ {(1/r-1/p)} \ | x \ | _ {p}.}$$

W szczególności,

$${\ Displaystyle \ | x \ | _ {2} \ leq \ | x \ | _ {1} \ leq {\ sqrt {n}} \ | x \ | _ {2}}$$

$${\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} \ leq \ | x \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {n}} \ | x \ | _ {\ infty}}$$

$${\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} \ leq \ | x \ | _ {1} \ leq n \ | x \ | _ {\ infty},}$$

To jest,

$${\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} \ leq \ | x \ | _ {2} \ leq \ | x \ | _ {1} \ leq {\ sqrt {n}} \ | x \ | _ {2}\leq n\|x\|_{\infty }.}$$

Jeśli przestrzeń wektorowa jest skończenie wymiarową rzeczywistą lub złożoną przestrzenią, wszystkie normy są równoważne. Z drugiej strony w przypadku nieskończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nie wszystkie normy są równoważne.

Normy równoważne definiują te same pojęcia ciągłości i zbieżności i z wielu powodów nie muszą być rozróżniane. Ściślej rzecz ujmując, jednolita struktura określona przez równoważne normy na przestrzeni wektorowej jest jednostajnie izomorficzna .

Klasyfikacja półnorm: absolutnie wypukłe zbiory pochłaniające

Główny artykuł: Seminorm

Wszystkie seminorms na polu wektorowym może być sklasyfikowane według

całkowicie wypukła absorbujący podzbiory A w każdej takiej podgrupa odpowiada w seminorm p nazywane jest miernik z A , określony jako ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X.}$

$${\ Displaystyle p_ {A} (x): = \ inf \ {r \ w \ mathbb {R} : r> 0, x \ w r A \}}$$

gdzie 'inf' to dolny , z właściwością, która

$${\ Displaystyle \ lewo \ {x \ w X: p_ {A} (x) <1 \ prawo \} ~ \ subseteq ~ A ~ \ subseteq ~ \ lewo \ {x \ w X: p_ {A} (x) \leq 1\prawo\}.}$$

Odwrotnie:

Każda lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa ma bazę lokalną składającą się ze zbiorów absolutnie wypukłych. Powszechnym sposobem konstruowania takiej podstawy jest użycie rodziny ( p ) z seminorms p że punkty oddziela : Zbiór wszystkich ograniczonych przecięcia zbiorów { P <1 / N } obraca przestrzeń w lokalnie wypukłej topologicznej wektora przestrzeni tak, że każde p jest ciągłe .

Taka metoda jest używana do projektowania słabych i słabych* topologii .

normalny przypadek:

Załóżmy teraz , że ( p ) zawiera pojedyncze p : ponieważ ( p ) oddziela , p jest normą i jest jej otwartą

jednostkową kulą . Wtedy A jest absolutnie wypukłym, ograniczonym sąsiedztwem 0 i jest ciągłe.${\displaystyle A=\{p<1\}}$${\ Displaystyle p = p_ {A}}$

Odwrotność jest zasługą Andrieja Kołmogorowa : każda lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona topologiczna przestrzeń wektorowa jest normalna . Dokładnie:

Jeśli jest absolutnie wypukłym ograniczonym sąsiedztwem 0, miernika (więc to jest norma).${\ Displaystyle X}$${\displaystyle g_{X}}$${\ Displaystyle X = \ {g_ {X} <1 \}}$

Zobacz też

• Norma asymetryczna  – Uogólnienie pojęcia normy
• F-seminorma
• Norma Gowersa
• Odległość Mahalanobisa
• Wielkość (matematyka)
• Norma macierzowa  – Norma na przestrzeni wektorowej macierzy
• Odległość Minkowskiego
• Funkcjonalny Minkowskiego
• Norma operatora  – Miara „rozmiaru” operatorów liniowych
• Paranorma
• Relacja norm i metryk
• Półnorma
• Funkcja podliniowa

Bibliografia

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas (1987) (1981). Sur sures espaces vectoriels topologiques [ Topologiczne przestrzenie wektorowe: rozdziały 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Elementy matematyczne . 2 . Przetłumaczone przez Eggleston, HG; Madan, S. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Khaleelulla, SM (1982). Kontrprzykłady w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Notatki do wykładu z matematyki . 936 . Berlin, Heidelberg, Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-3-540-11565-6.

8588370 OCLC  .

Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .

Schäfer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Odcisk Springer. Numer ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .

Trèves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

Wilansky, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .