Lot Lévy'ego - Lévy flight

Lévy lot jest błądzenia losowego , w którym krok odcinki mają rozkład Levy , a rozkład prawdopodobieństwa , że jest ciężki bielik . W przypadku zdefiniowania spaceru w przestrzeni o wymiarze większym niż jeden kroki wykonywane są w izotropowych kierunkach losowych. Późniejsi badacze rozszerzyli użycie terminu „lot Lévy'ego” o przypadki, w których błądzenie losowe odbywa się na dyskretnej siatce, a nie na ciągłej przestrzeni.

Termin „lot Lévy'ego” został ukuty przez Benoîta Mandelbrota , który użył go dla jednej konkretnej definicji rozkładu rozmiarów kroków. Użył terminu lot Cauchy'ego dla przypadku, gdy rozkład wielkości kroków jest rozkładem Cauchy'ego , a lot Rayleigha dla przypadku, gdy rozkład jest rozkładem normalnym (co nie jest przykładem rozkładu prawdopodobieństwa z grubym ogonem).

Szczególny przypadek, w którym Mandelbrot użył terminu „lot Lévy'ego”, jest zdefiniowany przez funkcję przeżycia (powszechnie znaną jako funkcja przeżycia) rozkładu wielkości kroków U , przy czym

${\ Displaystyle \ Pr (U> u) = {\ zacząć {przypadki} 1 i: \ u < 1, \ \ u ^ {-D} i: \ u \ geq 1. \ koniec {przypadki}}}$

Tutaj D jest parametrem związanym z wymiarem fraktalnym, a rozkład jest szczególnym przypadkiem rozkładu Pareto .

Nieruchomości

Loty Lévy'ego są z natury rzeczy procesami Markowa . W przypadku ogólnych rozkładów wielkości kroku, spełniających warunek potęgowy, odległość od początku błądzenia losowego po dużej liczbie kroków zmierza do rozkładu stabilnego ze względu na uogólnione centralne twierdzenie graniczne , umożliwiające wielu procesom być modelowane za pomocą lotów Lévy.

Gęstości prawdopodobieństwa cząstek przechodzących lot Levy'ego można modelować za pomocą uogólnionej wersji równania Fokkera-Plancka , które jest zwykle używane do modelowania ruchu Browna . Równanie wymaga użycia pochodnych ułamkowych . Dla długości skoku, które mają symetryczny rozkład prawdopodobieństwa, równanie przyjmuje prostą postać w postaci pochodnej ułamkowej Riesza . W jednym wymiarze równanie brzmi:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ varphi (x, t)} {\ częściowy t}} = - {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} f (x, t) \ varphi (x, t )+\gamma {\frac {\częściowy ^{\alpha}\varphi (x,t)}{\częściowy |x|^{\alpha }}}}$

gdzie γ jest stałą zbliżoną do stałej dyfuzji, α jest parametrem stabilności, a f(x,t) jest potencjałem. Pochodną Riesza można rozumieć w kategoriach jej transformaty Fouriera .

${\ Displaystyle F_ {k} \ lewo [{\ Frac {\ częściowy ^ {\ alfa} \ varphi (x, t)} {\ częściowy | x | ^ {\ alfa}}} \ prawej] = - | k | ^{\alpha }F_{k}[\varphi (x,t)]}$

Można to łatwo rozszerzyć na wiele wymiarów.

Inną ważną właściwością lotu Lévy'ego jest rozbieżność wariancji we wszystkich przypadkach z wyjątkiem α  = 2, czyli ruchu Browna. Ogólnie rzecz biorąc, ułamkowy moment rozkładu θ jest rozbieżny, jeśli α  ≤   θ . Także,

${\ Displaystyle \ langle | x | ^ {\ theta} \ rangle \ propto t ^ {\ theta / \ alfa {\ tekst {jeśli}} \ theta < \ alfa.}$

Wykładnicze skalowanie długości kroków daje lotom Lévy'ego właściwość niezmienną skali i są one używane do modelowania danych, które wykazują grupowanie.

Rysunek 1. Przykład 1000 kroków lotu Lévy'ego w dwóch wymiarach. Początek ruchu znajduje się w [0,0], kierunek kątowy jest równomiernie rozłożony, a wielkość kroku jest rozłożona zgodnie z rozkładem Lévy'ego (tj. stabilnym ) z α  = 1 i β  = 0, który jest rozkładem Cauchy'ego . Zwróć uwagę na obecność dużych skoków w lokalizacji w porównaniu z ruchem Browna przedstawionym na rysunku 2.

Rysunek 2. Przykład 1000 kroków aproksymacji do typu ruchu Browna lotu Lévy'ego w dwóch wymiarach. Pochodzenie ruchu jest w [0, 0] kątowy kierunek jest równomiernie rozłożone i wielkość skoku jest rozdzielane według opłacie (tj stabilnej ) rozkład z α  = 2 i p  = 0 ( to znaczy, o rozkładzie normalnym ).

Aplikacje

Definicja lotu Lévy'ego wywodzi się z matematyki związanej z teorią chaosu i jest przydatna w pomiarach stochastycznych i symulacjach losowych lub pseudolosowych zjawisk naturalnych. Przykłady obejmują analizę danych dotyczących trzęsień ziemi , matematykę finansową , kryptografię , analizę sygnałów, a także wiele zastosowań w astronomii , biologii i fizyce .

Innym zastosowaniem jest hipoteza Lévy'ego dotycząca żerowania w locie . Kiedy rekiny i inne drapieżniki oceaniczne nie mogą znaleźć pożywienia, porzucają ruchy Browna , przypadkowy ruch obserwowany w wirujących cząsteczkach gazu, na rzecz lotu Lévy'ego – mieszankę długich trajektorii i krótkich, przypadkowych ruchów występujących w turbulentnych płynach. Naukowcy przeanalizowali ponad 12 milionów ruchów zarejestrowanych w ciągu 5700 dni u 55 oznaczonych rejestratorem danych zwierząt z 14 gatunków drapieżników oceanicznych z Oceanu Atlantyckiego i Pacyfiku, w tym rekinów jedwabistych , tuńczyka żółtopłetwego , marlina błękitnego i miecznika. Dane pokazały, że loty Lévy'ego przeplatane ruchami Browna mogą opisywać wzorce polowania zwierząt. Ptaki i inne zwierzęta (w tym ludzie) podążają ścieżkami, które zostały wymodelowane za pomocą lotu Lévy'ego (np. podczas poszukiwania pożywienia). Biologiczne dane lotu mogą być również naśladowane przez inne modele, takie jak złożone skorelowane spacery losowe, które rosną w różnych skalach, aby zbiegać się do optymalnych spacerów Lévy'ego. Złożone spacery Browna można precyzyjnie dostroić do teoretycznie optymalnych spacerów Lévy'ego, ale nie są one tak wydajne, jak wyszukiwanie Lévy'ego w większości typów krajobrazów, co sugeruje, że presja selekcyjna dla cech spacerów Lévy'ego jest bardziej prawdopodobna niż wieloskalowe normalne wzorce dyfuzyjne.

Efektywne wyznaczanie tras w sieci może być realizowane przez łącza posiadające rozkład długości lotu Levy z określonymi wartościami alfa.

Zobacz też

• Anomalna dyfuzja
• Dystrybucja gruboogonowa
• Dystrybucja z dużym ogonem
• Proces Lévy'ego
• Lévy alfa-stabilna dystrybucja
• Hipoteza Lévy'ego dotycząca poszukiwania pożywienia

Uwagi

Bibliografia

• Mandelbrot, Benoit B. (1982). Fractal Geometry of Nature (zaktualizowane i augm. ed.). Nowy Jork: WH Freeman. Numer ISBN 0-7167-1186-9. OCLC  7876824 .

Dalsza lektura

• Viswanathan, G.; Bartumeus, F.; v. Buldyrev, S.; kataloński, J.; Fulco, U.; Havlin, S.; Da Luz, M.; Lyra, M.; Raposo, E.; Eugene Stanley, H. (2002). „Losowe poszukiwania Lévy'ego w zjawiskach biologicznych”. Physica A: Mechanika statystyczna i jej zastosowania . 314 (1–4): 208–213. Kod bib : 2002PhyA..314..208V . doi : 10.1016/S0378-4371(02)01157-3 .
• Viswanathan, G.; Afanasjew, W.; Buldyrev, S.; Havlin, S.; Daluz, M.; Raposo, E.; Stanley, H. (2000). „Loty Lévy'ego w losowych wyszukiwaniach”. Physica A: Mechanika statystyczna i jej zastosowania . 282 (1–2): 1–12. Kod bib : 2000PhyA..282....1V . doi : 10.1016/S0378-4371(00)00071-6 .
• Cheng Z.; Savit, R. (1987). „Fraktal i niefraktalne zachowanie w lotach Levy” (PDF) . Czasopismo Fizyki Matematycznej . 28 (3): 592. Bibcode : 1987JMP....28..592C . doi : 10.1063/1.527644 . hdl : 2027.42/70735 .
• Shlesinger, Michael F.; Klafter, Józef; Zumofen, Gert (grudzień 1999). „Powyżej, poniżej i poza ruchem Browna” (PDF) . American Journal of Physics . 67 (12): 1253–1259. Kod Bibcode : 1999AmJPh..67.1253S . doi : 10.1119/1.19112 . Zarchiwizowane z oryginału (PDF) dnia 28.03.2012.

Zewnętrzne linki

• Porównanie obrazów Jacksona Pollocka z modelem lotu Lévy'ego