W stosowanych matematyce, że funkcje Kelvina BER v x ) i bei v x ) to rzeczywiste i urojone , odpowiednio,
jot ν ( x mi 3 π ja 4 ) , {\ J displaystyle _ {\ v} \ lewo (xe ^ {\ Frac {3 \ pi} i {4}} \ w prawo), \,} gdzie x jest prawdziwe, i J v ( z )ν p rzędu funkcji Bessela pierwszego rodzaju. Podobnie, funkcje KER v ( X ) i Kei v ( x ) to rzeczywista i urojona, odpowiednio,
K ν ( x mi π ja 4 ) , {\ Displaystyle K _ {\ v} \ lewo (xe ^ {\ Frac {\ pi} i {4}} \ w prawo), \,} gdzie K ν ( z )ν p rzędu modyfikacji funkcji Bessela drugiego rodzaju.
Funkcje te są nazywane po William Thomson, 1st Baron Kelvin .
Podczas gdy funkcje Kelvina definiuje się jako rzeczywistą i urojoną funkcji Bessela z X podjęte być prawdziwe, funkcje mogą być analitycznie kontynuowano złożonych argumentów XE iφ cp <2 π . n x ) i Bei n x ) przez integralną n funkcje Kelvina posiada punktu rozgałęzienia przy x = 0.
Poniżej Γ ( z ) jest funkcją gamma i ψ ( z )funkcją digamma .
BER ( x )
BER (
x ) dla
x między 0 i 20 ° C.
b mi R ( x ) / mi x / 2 {\ Displaystyle \ operatorname {BER} (x) / e ^ {x / {\ sqrt {2}}}} o
x między 0 i 50.
Dla liczb całkowitych n BER n x ) ma rozszerzenie serii
b mi R n ( x ) = ( x 2 ) n Σ k ≥ 0 sałata [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( n + k + 1 ) ( x 2 4 ) k , {\ Displaystyle \ operatorname {BER} _ {A} (x) = \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) ^ {A} \ suma _ {k \ geq 0} {\ Frac {\ cos \ lewo [\ lewo ({\ Frac {3n} {4}} + {\ Frac {k} {2}} \ prawej) \ pi \ prawo]} {k! \ gamma (n + k + 1)} } \ lewo ({\ x ^ uł {{2}, {4}}} \ prawej) ^ {k}} gdzie Γ ( z ) jest funkcją gamma . Szczególnym przypadkiem BER 0 ( x ), powszechnie określane jako tylko BER ( x ) ma rozszerzenie serii
b mi R ( x ) = 1 + Σ k ≥ 1 ( - 1 ) k [ ( 2 k ) ! ] 2 ( x 2 ) 4 k {\ Displaystyle \ operatorname {BER} (x) = 1 + \ suma _ {k \ geq 1} {\ Frac {(1) ^ {k}} {[(2k)!] ^ {2}}} \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) ^ {4k}} i asymptotycznej seria
b mi R ( x ) ~ mi x 2 2 π x ( fa 1 ( x ) sałata α + sol 1 ( x ) grzech α ) - k mi ja ( x ) π {\ Displaystyle \ operatorname {BER} (x) \ SIM {\ Frac {e ^ {\ Frac {x} {\ sqrt {2}}}} {\ sqrt {2 \ pi x}}} \ lewo (F_ { 1} (x) \ bo \ a + G_ {1} (x) \ sin \ a \ po prawej) - {\ Frac {\ operatorname {kei} (x)} {\ pi}}} gdzie
α = x 2 - π 8 , {\ Displaystyle \ a = {\ Frac {x} {\ sqrt {2}}} - {\ Frac {\ pi} {8}}} fa 1 ( x ) = 1 + Σ k ≥ 1 sałata ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k Π L = 1 k ( 2 L - 1 ) 2 {\ F_ displaystyle {1} (x) = 1 + \ suma _ {k \ geq 1} {\ frac {\ cos (K \ pi / 4)} {! K (8x) ^ {k}}} \ prod _ L = {1} ^ k} {(2i-1) ^ {2}} sol 1 ( x ) = Σ k ≥ 1 grzech ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k Π L = 1 k ( 2 L - 1 ) 2 , {\ Displaystyle G_ {1} (x) = \ suma _ {k \ geq 1} {\ Frac {\ sin (K \ pi / 4)} {! K (8x) ^ {k}}} \ prod _ { L = 1} ^ k} {(2i-1) ^ {2}.}
bei ( x )
bei (
x ) dla
x między 0 i 20 ° C.
b mi ja ( x ) / mi x / 2 {\ Displaystyle \ operatorname {bei} (x) / e ^ {x / {\ sqrt {2}}}} o
x między 0 i 50.
Liczby całkowite n , bei n x ) ma rozszerzenie serii
b mi ja n ( x ) = ( x 2 ) n Σ k ≥ 0 grzech [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( n + k + 1 ) ( x 2 4 ) k , {\ Displaystyle \ operatorname {bei} _ {A} (x) = \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) ^ {A} \ suma _ {k \ geq 0} {\ Frac {\ sin \ lewo [\ lewo ({\ Frac {3n} {4}} + {\ Frac {k} {2}} \ prawej) \ pi \ prawo]} {k! \ gamma (n + k + 1)} } \ lewo ({\ x ^ uł {{2}, {4}}} \ prawej) ^ k} {.} Szczególnym przypadkiem bei 0 ( x ), powszechnie określane jako tylko bei ( x ) ma rozszerzenie serii
b mi ja ( x ) = Σ k ≥ 0 ( - 1 ) k [ ( 2 k + 1 ) ! ] 2 ( x 2 ) 4 k + 2 {\ Displaystyle \ operatorname {bei} (x) = \ _ {suma k \ geq 0} {\ Frac {(1) ^ {k}} {[(2k + 1!)] ^ {2}}} \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) ^ {4K + 2}} i asymptotycznej seria
b mi ja ( x ) ~ mi x 2 2 π x [ fa 1 ( x ) grzech α - sol 1 ( x ) sałata α ] - k mi R ( x ) π , {\ Displaystyle \ operatorname {bei} (x) \ SIM {\ Frac {e ^ {\ Frac {x} {\ sqrt {2}}}} {\ sqrt {2 \ pi x}}} [F_ {1} (x) \ sin \ alfa -g_ {1} (x) \ bo \ alfa] - {\ Frac {\ operatorname {ker} (x)} {\ pi}}} gdzie α, oraz są określone za BER ( x ).
fa 1 ( x ) {\ Displaystyle F_ {1} (x)} sol 1 ( x ) {\ Displaystyle G_ {1} (x)}
ker ( x )
ker (
x ) dla
x między 0 i 14.
k mi R ( x ) mi x / 2 {\ Displaystyle \ operatorname {ker} (X) e ^ {x / {\ sqrt {2}}}} o
x między 0 i 50.
Dla liczb całkowitych n KER n x ) ma rozszerzenie (skomplikowane) serii
k mi R n ( x ) = - ln ( x 2 ) b mi R n ( x ) + π 4 b mi ja n ( x ) + 1 2 ( x 2 ) - n Σ k = 0 n - 1 sałata [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ( n - k - 1 ) ! k ! ( x 2 4 ) k + 1 2 ( x 2 ) n Σ k ≥ 0 sałata [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) k ! ( n + k ) ! ( x 2 4 ) k , {\ Displaystyle {\ rozpoczęciem {wyrównane} & \ operatorname {ker} _ {A} (x) = - \ ln \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) \ operatorname {BER} _ {n } (x) + {\ Frac {\ pi} {4}} \ operatorname {bei} _ {A} (x) + {\\ i \ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ {x Frac } {2}} \ prawej) ^ {- n} \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} \ bo \ lewo [\ lewo ({\ Frac {3n} {4}} + {\ Frac { k} {2}} \ prawej) \ pi \ prawo] {\ Frac {(NK-1)!} {k!}} \ lewo ({\ Frac {x ^ {2}} {4}} \ prawej) ^ {k} + {\\ i \ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) ^ {A} \ suma _ {k \ geq 0} \ bo \ lewo [\ lewo ({\ Frac {3n} {4}} + {\ Frac {k} {2}} \ prawej) \ pi \ prawo] {\ Frac {\ psi (k + 1) + \ psi (n + k + 1)} {! k (n + k)!}} \ po \ Frac ({{x ^ {2}, {4}}} \ prawej) ^ {k}. \ {koniec wyrównane}}} Szczególnym przypadkiem ker 0 ( x ), powszechnie określane jako tylko ker ( x ) ma rozszerzenie serii
k mi R ( x ) = - ln ( x 2 ) b mi R ( x ) + π 4 b mi ja ( x ) + Σ k ≥ 0 ( - 1 ) k ψ ( 2 k + 1 ) [ ( 2 k ) ! ] 2 ( x 2 4 ) 2 k {\ Displaystyle \ operatorname {ker} (x) = - \ ln \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) \ operatorname {BER} (x) + {\ Frac {\ pi} {4} } \ operatorname {bei} (x) + \ suma _ {k \ geq 0} (- 1) ^ {k} {\ Frac {\ psi (2k + 1)} {[! (2k)] ^ {2} }} \ lewo ({\ x ^ uł {{2}, {4}}} \ prawej) ^ {2k}} a seria asymptotycznej
k mi R ( x ) ~ π 2 x mi - x 2 [ fa 2 ( x ) sałata β + sol 2 ( x ) grzech β ] , {\ Displaystyle \ operatorname {ker} (x) \ SIM {\ sqrt {\ Frac {\ pi} {2x}}} e ^ {- {\ Frac {x} {\ sqrt {2}}}} [F_ { 2} (x) \ bo \ p + G_ {2} (x) \ sin \ p]} gdzie
β = x 2 + π 8 , {\ Displaystyle \ p = {\ Frac {x} {\ sqrt {2}}} + {\ Frac {\ pi} {8}}} fa 2 ( x ) = 1 + Σ k ≥ 1 ( - 1 ) k sałata ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k Π L = 1 k ( 2 L - 1 ) 2 {\ F_ displaystyle {2} (x) = 1 + \ suma _ {k \ geq 1}! (- 1) ^ {k} {\ frac {\ cos (K \ pi / 4)} {k (8x) ^ {k}}} \ prod _ L = {1} ^ k} {(2i-1) ^ {2}} sol 2 ( x ) = Σ k ≥ 1 ( - 1 ) k grzech ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k Π L = 1 k ( 2 L - 1 ) 2 , {\ Displaystyle G_ {2} (x) = \ suma _ {k \ geq 1}! (- 1) ^ {k} {\ Frac {\ sin (K \ pi / 4)} {k (8x) ^ { K}}} \ prod _ L = {1} ^ k} {(2i-1) ^ {2}.}
kei, ( x )
kei, (
x ) dla
x między 0 i 14.
k mi ja ( x ) mi x / 2 {\ Displaystyle \ operatorname {kei} (X) e ^ {x / {\ sqrt {2}}}} o
x między 0 i 50.
Całkowitymi n , kei n x ) ma rozszerzenie serii
k mi ja n ( x ) = - ln ( x 2 ) b mi ja n ( x ) - π 4 b mi R n ( x ) - 1 2 ( x 2 ) - n Σ k = 0 n - 1 grzech [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ( n - k - 1 ) ! k ! ( x 2 4 ) k + 1 2 ( x 2 ) n Σ k ≥ 0 grzech [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) k ! ( n + k ) ! ( x 2 4 ) k , {\ Displaystyle {\ rozpoczęciem {wyrównane} & \ operatorname {kei} _ {A} (x) = - \ ln \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) \ operatorname {bei} _ {n } (x) - {\ Frac {\ pi} {4}} \ operatorname {BER} _ {A} (x) \\ & - {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ {x Frac } {2}} \ prawej) ^ {- n} \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} \ sin \ lewo [\ lewo ({\ Frac {3n} {4}} + {\ Frac { k} {2}} \ prawej) \ pi \ prawo] {\ Frac {(NK-1)!} {k!}} \ lewo ({\ Frac {x ^ {2}} {4}} \ prawej) ^ {k} + {\\ i \ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) ^ {A} \ suma _ {k \ geq 0} \ sin \ lewo [\ lewo ({\ Frac {3n} {4}} + {\ Frac {k} {2}} \ prawej) \ pi \ prawo] {\ Frac {\ psi (k + 1) + \ psi (n + k + 1)} {! k (n + k)!}} \ po \ Frac ({{x ^ {2}, {4}}} \ prawej) ^ {k}. \ {koniec wyrównane}}} Szczególnym przypadkiem kei, 0 ( x ), powszechnie określane jako tylko kei ( x ) ma rozszerzenie serii
k mi ja ( x ) = - ln ( x 2 ) b mi ja ( x ) - π 4 b mi R ( x ) + Σ k ≥ 0 ( - 1 ) k ψ ( 2 k + 2 ) [ ( 2 k + 1 ) ! ] 2 ( x 2 4 ) 2 k + 1 {\ Displaystyle \ operatorname {kei} (x) = - \ ln \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) \ operatorname {bei} (x) - {\ Frac {\ pi} {4} } \ operatorname {BER} (x) + \ suma _ {k \ geq 0} (- 1) ^ {k} {\ Frac {\ psi (2k + 2)} [! (2k + 1)] {^ { 2}}} \ lewo ({\ x ^ uł {{2}, {4}}} \ prawej) ^ {2k + 1}} a seria asymptotycznej
k mi ja ( x ) ~ - π 2 x mi - x 2 [ fa 2 ( x ) grzech β + sol 2 ( x ) sałata β ] , {\ Displaystyle \ operatorname {kei} (x) \ SIM - {\ sqrt {\ Frac {\ pi} {2x}}} e ^ {- {\ Frac {x} {\ sqrt {2}}}} [F_ {2} (x) \ sin \ p + G_ {2} (x) \ bo \ p]} gdzie β , f 2 ( X ) i g 2 ( x ) są zdefiniowane jak dla ker ( x ).
Zobacz też Referencje
Abramowitz, Milton ; Stegun Irene Ann , wyd. (1983) [czerwca 1964]. "Rozdział 9" . Podręcznik funkcji matematycznych formuł, wykresów i tablic matematycznych 55 (dziewiąty przedruk dodatkowe korekty X pierwotnego drukowania z korekt (grudzień 1972), pierwsze wydanie). Waszyngton; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 379. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
Olver, FWJ; Maximón LC (2010), "funkcje Bessela" , w Olver, Frank WJ ; Lozier Daniel M .; Boisvert Ronald F .; Clark, Charles W., NIST Handbook funkcji matematycznych ISBN 978-0521192255 , MR 2723248
Linki zewnętrzne
Weisstein "Funkcje Kelvina." Eric W. Od MathWorld-A Wolfram Web Resource. [1]
GPL licencjonowany kod C / C ++ źródłem obliczania funkcji Kelvina w codecogs.com: [2]
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ Displaystyle \ operatorname {BER} _ {A} (x) = \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) ^ {A} \ suma _ {k \ geq 0} {\ Frac {\ cos \ lewo [\ lewo ({\ Frac {3n} {4}} + {\ Frac {k} {2}} \ prawej) \ pi \ prawo]} {k! \ gamma (n + k + 1)} } \ lewo ({\ x ^ uł {{2}, {4}}} \ prawej) ^ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0cd93458b54421e6ad2cc1a1d7642427b33221)
![\ Operatorname {BER} (x) = 1 + \ sum_ {k \ geq 1} \ Frac {(- 1) ^ k} {[(2k!)] ^ 2} \ lewo (\ Frac {x}, {2} \ prawej) ^ {} 4k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0382d07ebb15b81d9f6d57b4a4c39d727bd7dd)
![{\ Displaystyle \ operatorname {bei} _ {A} (x) = \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) ^ {A} \ suma _ {k \ geq 0} {\ Frac {\ sin \ lewo [\ lewo ({\ Frac {3n} {4}} + {\ Frac {k} {2}} \ prawej) \ pi \ prawo]} {k! \ gamma (n + k + 1)} } \ lewo ({\ x ^ uł {{2}, {4}}} \ prawej) ^ k} {.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08343a9ce9fef41ac36a7add2de1ef813cc3ec3)
![\ Operatorname {bei} (x) = \ sum_ {k \ geq 0} \ Frac {(- 1) ^ k} {[! (2k + 1)] ^ 2} \ lewo (\ Frac {x}, {2} \ prawej) ^ {4K + 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69dab8cb68e3d5e5a8dccfdf3f6c798775a0490)
![\ Operatorname {bei} (x) \ SIM \ Frac {e ^ {\ Frac {x} {\ sqrt {2}}}} {\ sqrt {2 \ pi x}} [f_1 (x) \ sin \ a - g_1 (x) \ bo \ alfa] - \ Frac {\ operatorname {ker} (x)} {\ pi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ac7c7ceb46b3e4f8fe6307064ff05eeb980e04)
![{\ Displaystyle {\ rozpoczęciem {wyrównane} & \ operatorname {ker} _ {A} (x) = - \ ln \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) \ operatorname {BER} _ {n } (x) + {\ Frac {\ pi} {4}} \ operatorname {bei} _ {A} (x) + {\\ i \ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ {x Frac } {2}} \ prawej) ^ {- n} \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} \ bo \ lewo [\ lewo ({\ Frac {3n} {4}} + {\ Frac { k} {2}} \ prawej) \ pi \ prawo] {\ Frac {(NK-1)!} {k!}} \ lewo ({\ Frac {x ^ {2}} {4}} \ prawej) ^ {k} + {\\ i \ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) ^ {A} \ suma _ {k \ geq 0} \ bo \ lewo [\ lewo ({\ Frac {3n} {4}} + {\ Frac {k} {2}} \ prawej) \ pi \ prawo] {\ Frac {\ psi (k + 1) + \ psi (n + k + 1)} {! k (n + k)!}} \ po \ Frac ({{x ^ {2}, {4}}} \ prawej) ^ {k}. \ {koniec wyrównane}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c861946c574b893b798807b4d330a08838a82c03)
![\ Operatorname {ker} (x) = - \ ln \ lewo (\ Frac {x}, {2} \ prawej) \ operatorname {BER} (x) + \ Frac {\ pi} {4} \ operatorname {bei} ( x) + \ sum_ {k \ geq 0} (-1) ^ k \ Frac {\ psi (2k + 1)} {[(2k!)] ^ 2} \ lewo (\ x ^ uł {2}, {4 } \ prawej) ^ {2k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e620fcd5ca5f6cba6b4ba993439a8e6878b3505c)
![\ Operatorname {ker} (x) \ SIM \ sqrt {\ Frac {\ pi} {2x}} e ^ {- \ Frac {x} {\ sqrt {2}}} [f_2 (x) \ bo \ p + g_2 (x) \ sin \ p]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6156e93597225fc773d61fff4b8c7b9b2ddc16f2)
![{\ Displaystyle {\ rozpoczęciem {wyrównane} & \ operatorname {kei} _ {A} (x) = - \ ln \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) \ operatorname {bei} _ {n } (x) - {\ Frac {\ pi} {4}} \ operatorname {BER} _ {A} (x) \\ & - {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ {x Frac } {2}} \ prawej) ^ {- n} \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} \ sin \ lewo [\ lewo ({\ Frac {3n} {4}} + {\ Frac { k} {2}} \ prawej) \ pi \ prawo] {\ Frac {(NK-1)!} {k!}} \ lewo ({\ Frac {x ^ {2}} {4}} \ prawej) ^ {k} + {\\ i \ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {x}, {2}} \ prawej) ^ {A} \ suma _ {k \ geq 0} \ sin \ lewo [\ lewo ({\ Frac {3n} {4}} + {\ Frac {k} {2}} \ prawej) \ pi \ prawo] {\ Frac {\ psi (k + 1) + \ psi (n + k + 1)} {! k (n + k)!}} \ po \ Frac ({{x ^ {2}, {4}}} \ prawej) ^ {k}. \ {koniec wyrównane}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a32a3a0932238e7433d48965287b3ab97f0f245)
![\ Operatorname {kei} (x) = - \ ln \ lewo (\ Frac {x}, {2} \ prawej) \ operatorname {bei} (x) - \ Frac {\ pi} {4} \ operatorname {BER} ( x) + \ sum_ {k \ geq 0} (-1) ^ k \ Frac {\ psi (2k + 2)} {[(2k + 1!)] ^ 2} \ lewo (\ x ^ uł {2} {4} \ prawej) ^ {2k + 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84894452aa4ac878be50e50a42b2a91bd3bce86)
![\ Operatorname {kei} (x) \ SIM - \ sqrt {\ Frac {\ pi} {2x}} e ^ {- \ Frac {x} {\ sqrt {2}}} [f_2 (x) \ sin \ P + g_2 (x) \ bo \ p]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb3fd63059e08690345a00b76f7425ba1bcc768)