Miara Jordanii - Jordan measure

W matematyce The środek Peano-Jordan (znany również jako zawartość Jordan ) jest rozszerzenie koncepcji z wielkość ( długość , powierzchni , objętości ) do kształtów bardziej skomplikowane niż na przykład trójkąt , na dysku lub równoległościanu .

Okazuje się, że aby zestaw miał miarę Jordana, powinien być grzeczny w pewnym restrykcyjnym sensie. Z tego powodu obecnie częściej pracuje się z miarą Lebesgue'a , która jest rozszerzeniem miary Jordana na większą klasę zbiorów. Historycznie rzecz biorąc, miara Jordana pojawiła się jako pierwsza, pod koniec XIX wieku. Ze względów historycznych, termin miara Jordana jest obecnie dobrze ugruntowany, pomimo faktu, że nie jest to prawdziwa miara w swojej współczesnej definicji, ponieważ zbiory Jordana mierzalne nie tworzą σ-algebry. Na przykład, pojedyncze zbiory w każdym z nich mają miarę Jordana równą 0, podczas gdy policzalna ich suma nie jest mierzalna Jordanem. Z tego powodu niektórzy autorzy wolą używać terminu „ zawartość Jordana” (zobacz artykuł dotyczący treści ) .

Miara Peano – Jordan została nazwana na cześć jej twórców, francuskiego matematyka Camille'a Jordana i włoskiego matematyka Giuseppe Peano .

Jordan: miara „prostych zbiorów”

Prosty zbiór jest z definicji sumą (prawdopodobnie nakładających się) prostokątów.
Prosty zbiór z góry rozłożony jako suma nie zachodzących na siebie prostokątów.

Rozważmy przestrzeń euklidesową R n . Rozpoczynamy od rozważenia iloczynów ograniczonych przedziałów

które są zamknięte na lewym końcu i otwarte na prawym końcu (odstępy półotwarte to wybór techniczny; jak widać poniżej, można użyć przerw zamkniętych lub otwartych, jeśli jest to preferowane). Taki zbiór będzie nazywany n - wymiarowym prostokątem lub po prostu prostokątem . Definiuje się miarę Jordana takiego prostokąta jako iloczyn długości przedziałów:

Następnie jeden uważa prostych zestawów , czasami nazywany polyrectangles , które są skończone związki z prostokątów,

dla dowolnego  k  ≥ 1.

Nie można zdefiniować miary Jordana S jako po prostu sumy miar poszczególnych prostokątów, ponieważ taka reprezentacja S jest daleka od unikalności, a między prostokątami mogą występować znaczące nakładania się.

Na szczęście każdy taki prosty zbiór S można przepisać jako sumę innej skończonej rodziny prostokątów, prostokątów, które tym razem są wzajemnie rozłączne , a następnie definiuje się miarę Jordana m ( S ) jako sumę miar rozłącznych prostokątów.

Można wykazać, że ta definicja miary Jordana S jest niezależna od reprezentacji S jako skończonej sumy rozłącznych prostokątów. To właśnie na etapie „przepisywania” przyjmuje się założenie, że prostokąty składają się z półotwartych odstępów.

Rozszerzenie na bardziej skomplikowane zestawy

Zbiór (reprezentowany na rysunku przez obszar wewnątrz niebieskiej krzywej) to Jordan mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy można go dobrze przybliżyć zarówno od wewnątrz, jak i od zewnątrz prostymi zestawami (ich granice są zaznaczone odpowiednio ciemnozielonym i ciemnoróżowym) .

Zauważ, że zbiór, który jest iloczynem zamkniętych przedziałów,

nie jest prostym zestawem, podobnie jak piłka . Zatem jak dotąd zbiór mierzalnych zbiorów Jordana jest nadal bardzo ograniczony. Kluczowym krokiem jest zatem zdefiniowanie zbioru ograniczonego jako mierzalnego Jordana, jeśli jest on „dobrze przybliżony” przez proste zbiory, dokładnie w taki sam sposób, jak funkcja jest całkowalna Riemanna, jeśli jest dobrze przybliżona przez funkcje odcinkowo-stałe.

Formalnie dla zbioru ograniczonego B zdefiniuj jego wewnętrzną miarę Jordana jako

a jego zewnętrzna miara jako

gdzie infimum i Supremum są przejmowane prostych zestawów S . O zbiorze B mówi się, że jest wymierny w Jordanie, jeśli wewnętrzna miara B jest równa zewnętrznej mierze. Wspólna wartość tych dwóch środków jest po prostu nazywa się Jordan miary B .

Okazuje się, że wszystkie prostokąty (otwarte lub zamknięte), a także wszystkie kule, sympleksy itp. Są mierzalne. Ponadto, jeśli weźmiemy pod uwagę dwie funkcje ciągłe , zbiór punktów między wykresami tych funkcji jest mierzalny, o ile ten zbiór jest ograniczony, a wspólną dziedziną tych dwóch funkcji jest mierzalny Jordan. Każda skończona suma i przecięcie zbiorów wymiernych Jordana jest mierzalna Jordana, podobnie jak różnica zbioru dowolnych dwóch mierzalnych zbiorów Jordana. Kompaktowy zestaw jest niekoniecznie Jordan wymierne. Na przykład gruby zestaw Cantora nie jest. Jego wewnętrzna miara Jordan zanika, ponieważ jej dopełnienie jest gęste ; jednak jego zewnętrzna miara Jordan nie znika, ponieważ nie może być mniejsza niż (w rzeczywistości jest równa) jej miara Lebesgue'a. Poza tym ograniczony zbiór otwarty niekoniecznie jest mierzalny. Na przykład dopełnienie tłustego zbioru Cantora (w przedziale) nie jest. Zbiorem ograniczonym jest Jordan mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego funkcja wskaźnika jest całkowalna Riemanna , a wartość całki jest miarą Jordana. [1]

Równoważnie do ograniczonego zbioru B wewnętrzna Jordan miarą B jest miarą Lebesgue'a z wnętrza z B i zewnętrzną środka Jordan środek Lebesgue'a z zamknięciem . Z tego wynika, że ​​ograniczony zbiór jest mierzalny Jordan wtedy i tylko wtedy, gdy jego granica ma miarę Lebesgue'a zero. (Lub równoważnie, jeśli granica ma miarę Jordana zero; równoważność zachodzi ze względu na zwartość granicy).

Miara Lebesgue'a

Ta ostatnia właściwość znacznie ogranicza rodzaje mierzalnych zbiorów Jordana. Na przykład zbiór liczb wymiernych zawarty w przedziale [0,1] nie jest więc mierzalny Jordana, ponieważ jego granica wynosi [0,1], co nie jest miarą Jordana zero. Jednak intuicyjnie zbiór liczb wymiernych jest zbiorem „małym”, ponieważ jest policzalny i powinien mieć „rozmiar” zero. To prawda, ale tylko wtedy, gdy zastąpi się miarę Jordana miarą Lebesgue'a . Miara Lebesgue'a zbioru jest taka sama jak jego miara Jordana, o ile ten zbiór ma miarę Jordana. Jednak miara Lebesgue'a jest zdefiniowana dla znacznie szerszej klasy zbiorów, takich jak zbiór liczb wymiernych we wspomnianym wcześniej przedziale, a także dla zbiorów, które mogą być nieograniczone lub fraktale . Również miara Lebesgue'a, w przeciwieństwie do miary Jordana, jest prawdziwą miarą , to znaczy każda policzalna suma mierzalnych zbiorów Lebesgue'a jest mierzalna, podczas gdy policzalne związki Jordana mierzalne zbiory Jordana nie muszą być mierzalne.

Bibliografia

  • Emmanuele DiBenedetto (2002). Prawdziwa analiza . Bazylea, Szwajcaria: Birkhäuser. ISBN   0-8176-4231-5 .
  • Richard Courant; Fritz John (1999). Wprowadzenie do rachunku różniczkowego i analizy Tom II / 1: Rozdziały 1–4 (Klasyka w matematyce) . Berlin: Springer. ISBN   3-540-66569-2 .

Linki zewnętrzne