Ponowne próbkowanie scyzoryka — Jackknife resampling

W statystykach The jackknife jest resampling technika szczególnie przydatna dla wariancji i stronniczości oszacowania. Nóż składany wyprzedza inne popularne metody ponownego próbkowania, takie jak bootstrap . Estymator parametru scyzoryka znajduje się poprzez systematyczne pomijanie każdej obserwacji ze zbioru danych i obliczenie oszacowania, a następnie znalezienie średniej z tych obliczeń. Biorąc pod uwagę wielkość próbki , oszacowanie scyzoryka znajduje się poprzez agregację oszacowań każdej podpróbki o rozmiarze . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle (n-1)}$

Technika scyzoryka została opracowana przez Maurice'a Quenouille'a (1924-1973) w 1949 i udoskonalona w 1956. John Tukey rozwinął tę technikę w 1958 i zaproponował nazwę „scyzoryk”, ponieważ, podobnie jak fizyczny scyzoryk (kompaktowy składany nóż), jest to proste i gotowe narzędzie, które może improwizować rozwiązanie różnych problemów, nawet jeśli konkretne problemy można skuteczniej rozwiązać za pomocą specjalnie zaprojektowanego narzędzia.

Scyzoryk jest liniowym przybliżeniem bootstrapu .

Oszacowanie

Oszacowanie parametru przez scyzoryk można znaleźć przez oszacowanie parametru dla każdej podpróbki, pomijając i-tą obserwację. Na przykład, jeśli parametrem do oszacowania jest średnia populacji x , obliczamy średnią dla każdej podpróbki składającej się ze wszystkich punktów danych oprócz i : ${\ Displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$

${\ Displaystyle {\ bar {x}} _ {i} = {\ Frac {1} {n-1}} \ suma _ {j = 1, j \ neq ja} ^ {n} x_ {j} \ quad \quad i=1,\dots ,n.}$

Te n oszacowań tworzy oszacowanie rozkładu statystyki próby, jeśli została obliczona dla dużej liczby próbek. W szczególności średnia tego rozkładu próbkowania jest średnią z tych n oszacowań:

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ bar {x}} _ {i}.}$

Można jednoznacznie wykazać, że równa się to zwykłemu oszacowaniu , więc punkt rzeczywisty pojawia się dla momentów wyższych niż średnia. Szacunkowe oszacowanie wariancji estymatora można obliczyć na podstawie wariancji tego rozkładu : ${\displaystyle {\bar {x}}}$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$${\ Displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Var} ({\ bar {x}}) = {\ Frac {n-1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} ({\ bar {x}} _{i}-{\bar {x}})^{2}={\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i} -{\bar {x}})^{2}.}$

Estymacja i korekta błędu systematycznego

Technikę scyzoryka można wykorzystać do oszacowania obciążenia estymatora obliczonego dla całej próbki. Say jest obliczonym estymatorem interesującego nas parametru na podstawie wszystkich obserwacji. Pozwolić ${\displaystyle {\kapelusz {\theta}}}$${\displaystyle {n}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ theta}} _ {\ operatorname {(.)} } = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ kapelusz {\ theta }}_{(i)}}$

gdzie jest oszacowanie odsetek na podstawie próbki z í -tej obserwacji usuwane, a to średnia z tych „leave-one-out” szacunków. Oszacowanie odchylenia scyzoryka jest podane przez: ${\displaystyle {\kapelusz {\theta}}_{(i)}}$${\displaystyle {\kapelusz {\theta}}_{\mathrm {(.)}}}$${\displaystyle {\kapelusz {\theta}}}$

${\ Displaystyle {\ widehat {\ tekst {strona}}} _ {\ operatorname {(\ theta )} } = (n-1) ({\ kapelusz {\ theta}} _ {\ operatorname {(.)} } -{\kapelusz {\theta }})}$

a wynikowe oszacowanie scyzoryka z korekcją odchylenia jest podane przez: ${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle {\kapelusz {\theta}}_{\tekst{jack}}={\kapelusz {\theta}}-{\widehat {\tekst{strona}}}_{\mathrm {(\theta)} }=n{\hat {\theta }}-(n-1){\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }}$

Usuwa to stronniczość w szczególnym przypadku, w którym jest to stronniczość i usuwa ją w innych przypadkach. ${\ Displaystyle O (n ^ {-1})}$${\ Displaystyle O (n ^ {-2})}$

Zobacz też

• Pomiń jeden błąd

Literatura

• Berger, YG (2007). „Estymator wariancji jackknife dla jednostopniowych warstw warstwowych o nierównych prawdopodobieństwach”. Biometria . 94 (4): 953–964. doi : 10.1093/biomet/asm072 .
• Bergera, YG; Rao, JNK (2006). „Skorygowany scyzoryk do imputacji pod nierównym prawdopodobieństwem pobierania próbek bez wymiany”. Dziennik Królewskiego Towarzystwa Statystycznego, seria B . 68 (3): 531–547. doi : 10.1111/j.1467-9868.2006.00555.x .
• Bergera, YG; Skinner, CJ (2005). „Estymator wariancji jackknife dla nierównego próbkowania prawdopodobieństwa”. Dziennik Królewskiego Towarzystwa Statystycznego, seria B . 67 (1): 79–89. doi : 10.1111/j.1467-9868.2005.00489.x .
• Jiang, J.; Lahiri, P.; Wan, SM. (2002). „Ujednolicona teoria scyzoryka do empirycznego najlepszego przewidywania z M-estymacją” . Roczniki Statystyczne . 30 (6): 1782–810. doi : 10.1214/aos/1043351257 .
• Jones, HL (1974). „Oszacowanie scyzoryka funkcji warstwy średnich”. Biometria . 61 (2): 343–348. doi : 10.2307/2334363 . JSTOR  2334363 .
• Kisz, L.; Frankel, MR (1974). „Wnioskowanie ze złożonych próbek”. Dziennik Królewskiego Towarzystwa Statystycznego, seria B . 36 (1): 1-37.
• Krewski, D.; Rao, JNK (1981). „Wnioskowanie z próbek warstwowych: właściwości linearyzacji, scyzoryka i zrównoważone metody powtarzalnej replikacji” . Roczniki Statystyczne . 9 (5): 1010–1019. doi : 10.1214/aos/1176345580 .
• Quenouille, MH (1956). „Uwagi na temat stronniczości w ocenie”. Biometria . 43 (3–4): 353–360. doi : 10.1093/biomet/43.3-4.353 .
• Rao, JNK; Shao, J. (1992). „Oszacowanie wariancji scyzoryka z danymi pomiarowymi w ramach imputacji gorącego pokładu”. Biometria . 79 (4): 811–822. doi : 10.1093/biomet/79.4.811 .
• Rao, JNK; Wu, CFJ; Yue, K. (1992). „Niedawne prace nad metodami resamplingu dla złożonych ankiet”. Metodologia badania . 18 (2): 209–217.
• Shao, J. i Tu, D. (1995). Scyzoryk i Bootstrap. Springer-Verlag, Inc.
• Tukey, JW (1958). „Odchylenie i zaufanie do niezbyt dużych próbek (abstrakt)”. Roczniki statystyki matematycznej . 29 (2): 614.
• Wu, CFJ (1986). „Knife, Bootstrap i inne metody resamplingu w analizie regresji” (PDF) . Roczniki Statystyczne . 14 (4): 1261-1295. doi : 10.1214/aos/1176350142 .

Uwagi

Bibliografia

• Cameron, Adrian; Trivedi, Pravin K. (2005). Mikroekonometria: metody i zastosowania . Cambridge Nowy Jork: Cambridge University Press. Numer ISBN 9780521848053.
• Efron, Bradley ; Stein, Charles (maj 1981). „Oszacowanie wariancji scyzoryka” . Roczniki Statystyczne . 9 (3): 586–596. doi : 10.1214/aos/1176345462 . JSTOR  2240822 .
• Efron, Bradley (1982). Scyzoryk, bootstrap i inne plany dotyczące ponownego próbkowania . Filadelfia, PA: Towarzystwo Matematyki Przemysłowej i Stosowanej. Numer ISBN 9781611970319.
• Quenouille, Maurice H. (wrzesień 1949). „Problemy z próbkowaniem samolotu” . Roczniki statystyki matematycznej . 20 (3): 355–375. doi : 10.1214/aoms/1177729989 . JSTOR  2236533 .
• Quenouille, Maurice H. (1956). „Uwagi na temat stronniczości w szacowaniu”. Biometria . 43 (3–4): 353–360. doi : 10.1093/biomet/43.3-4.353 . JSTOR  2332914 .
• Tukey, John W. (1958). „Odchylenie i zaufanie w niezbyt dużych próbkach (abstrakt)” . Roczniki statystyki matematycznej . 29 (2): 614. doi : 10.1214/aoms/1177706647 .