Inwersja w sferze - Inversion in a sphere

Odwrócenie cylindra przechodzącego przez kulę.

W geometrii , inwersja w kuli jest transformacja z przestrzeni euklidesowej , że poprawki punkty na kuli podczas wysyłania punktów wewnątrz kuli na zewnątrz kuli, i vice versa. Intuicyjnie „zamienia wnętrze i zewnętrze” kuli, pozostawiając punkty na kuli bez zmian. Inwersja jest przekształceniem konforemnym i jest podstawową operacją geometrii odwrotnej ; jest to uogólnienie inwersji w kole .

Definicja

Inwersję w sferze najłatwiej opisać za pomocą współrzędnych biegunowych . Wybierz układ współrzędnych afinicznych tak, aby środek kuli znajdował się na początku, a promień kuli wynosił 1. Wtedy każdy punkt można zapisać w postaci r v , gdzie r jest odległością od punktu do początku i v jest wektorem jednostkowym ; co więcej, dla każdego punktu poza początkiem ta reprezentacja jest wyjątkowa. Biorąc pod uwagę taką reprezentację punktu, jego obrazem przy odwróceniu sferycznym jest zdefiniowany jako punkt r- 1 v . To definiuje homeomorfizm od samego siebie. Jako mapa z przestrzeni euklidesowej do siebie, kulista inwersja mapa nie jest zdefiniowana na początku, ale możemy rozszerzyć ją , na jednopunktowe zwarte z , określając, że 0 należy przesłać do nieskończoności i nieskończoności należy przesłać do 0 Tak więc odwrócenie sferyczne można traktować jako homeomorfizm .

Nieruchomości

Inwersja jest samoodwrotna i ustala punkty leżące na kuli. Odwrotnością prostej jest okrąg przechodzący przez środek sfery odniesienia i na odwrót. Odwrotnością płaszczyzny jest sfera przechodząca przez środek sfery odniesienia i odwrotnie. W przeciwnym razie odwrotność koła jest kołem; odwrotność kuli jest kulą.

Inwersja w sferze to potężna transformacja. Jednym prostym przykładem jest odwzorowanie mapy . Zwykłe rzutowanie bieguna północnego lub południowego ( rzut stereograficzny ) to inwersja z Ziemi na płaszczyznę. Jeśli zamiast robić z słupa centrum, wybralibyśmy miasto, to Inversion mogłaby stworzyć mapę, na której wszystkie najkrótsze trasy (wielkie koła) do lotu z tego miasta byłyby widoczne jako linie proste, co uprościłoby tor lotu dla pasażerów w najmniej.

Dowody

Niech sferą odniesienia będzie Σ, ze środkiem O i promieniem r oznaczonym przez {O, r}. Wszystkie odwrotności w tym artykule znajdują się w sferze Σ.

Wyniki przedstawione w tym artykule zależą od trzech prostych pomysłów:

1. Podobne trójkąty: Model w skali ma taki sam kształt jak oryginał, tzn. zachowane są wszystkie kąty.
2. Kąt w półokręgu jest kątem prostym. tj. Dla dowolnego punktu na półokręgu przekątna tworzy kąt prosty (90 o ).
3. Kąty trójkąta sumują się do 180 o , więc kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch pozostałych kątów wewnętrznych.

Definicja

  • Niech P będzie punktem w odległości n > 0 od O.
  • Jeśli P' jest punktem na OP, w tym samym kierunku co OP, tak że OP.OP' = r 2 , to P i P' są punktami odwrotnymi
  • Jeśli n > r, to OP' < r, więc P' leży wewnątrz Σ i na odwrót.
  • Punkty na powierzchni Σ są jedynymi punktami samoodwrotnymi.

Budowa

  • Podobnie jak w odwróceniu w kole, zwykła konstrukcja punktu P poza sferą polega na przejściu dowolnej płaszczyzny przez OP,
    narysowaniu stycznych w płaszczyźnie od P do Σ, stykających się z nią w S, T.
  • Przecięcie akordu ST z OP daje P'. (Trójkąty OPS, OSP' są podobne.)
  • Dla punktu P wewnątrz Σ, weź płaszczyznę przez OP, narysuj cięciwę kuli w tej płaszczyźnie, normalną do OP w P, spotykając Σ, w S, T.
  • Narysuj styczne w płaszczyźnie, aby spotkały się w P', odwrotności P.
  • W obu przypadkach trójkąty prostokątne, OPT, OTP' są podobne, więc OP/OT = OT/OP'

(patrz rys. 1)

Rys. 1

Odwrócenie pary punktów

  • Biorąc pod uwagę dwa punkty A, B z odwrotnościami A', B'; OA'.OA = R 2 , OB'.OB = R 2 .
  • Zatem OA'/OB' = OB/OA.
  • Ponieważ ∠AOB to ∠B'OA', trójkąty AOB, B'OA' są podobne.
  • Zatem ∠OAB = ∠OB'A', ∠OBA = ∠OA'B'.

(patrz rys. 2)

Rys. 2

Odwrotność linii

  • Jeśli prosta przecina Σ, to tylko dwa punkty przecięcia są samoodwrotne.
  • Jeśli O leży na linii, to linia jest samoodwrotna;
  • W przeciwnym razie,
  • Niech P będzie stopą prostopadłej od O do prostej, z odwrotnością P' i niech X będzie dowolnym punktem na prostej, z odwrotnością X',
  • Przez 'Odwrócenie pary punktów' ∠OX'P' = ∠OPX = 90 o .
  • Więc X' leży na okręgu przechodzącym przez O, z OP' jako średnicą. (Kąt w półokręgu jest kątem prostym)

(patrz rys. 3)

Rys. 3

Uwaga 4: Ogólnie odwrotnością prostej jest okrąg przechodzący przez środek odniesienia.

Odwrotność płaszczyzny

  • Jeżeli płaszczyzna przecina Σ, to każdy punkt okręgu przecięcia jest samoodwrotny.
  • Jeśli O leży na płaszczyźnie, odwrotnością jest płaszczyzna;
  • W przeciwnym razie:
  • Niech stopa prostopadłej od O do płaszczyzny będzie równa P z odwrotnością P'.
  • Niech X będzie dowolnym punktem na płaszczyźnie z odwrotnością X'.
  • Przez 'Odwrócenie pary punktów' ∠OX'P' = ∠OPX = 90 o .
  • X' leży na kuli o średnicy OP'. (kąt w półokręgu to kąt prosty)

Uwaga 5: Ogólnie odwrotnością płaszczyzny jest sfera przechodząca przez środek odniesienia.

Odwrotność kuli

  • Niech kula będzie {A, a}, tj. środek A i promień a > 0.
  • Jeśli sfera {A, a} przecina Σ, jedyne punkty samoodwrotności znajdują się na okręgu przecięcia.
  • Jeżeli A jest w O, to odwrotność sfery {A, a} jest sferą koncentryczną o promieniu r 2 /a;
(Po prostu, jeśli a = r, to każdy punkt na {A, a} jest samoodwrotny.)
  • W przeciwnym razie
  • jeśli O leży na sferze {A, a},
  • Niech P będzie punktem diametralnie przeciwległym do O na sferze {A, a}, gdzie P' jest odwrotnością P.
  • Niech X będzie dowolnym punktem na sferze {A, a}, gdzie X' jest odwrotnością.
  • Następnie przez „Inversion pary punktów” ∠OP'X”= ∠OXP = 90 O (kąt półkoliście).
  • Dotyczy to wszystkich punktów na sferze {A, a}.
  • Więc X' leży w płaszczyźnie przez P' normalny do OP'.
  • W przeciwnym razie,
  • Niech S, T będą przecięciami OA i sfery {A, a}, gdzie S', T' są ich odwrotnościami.
  • ST to średnica {A, a}.
  • Niech X będzie dowolnym punktem na sferze {A, a} z odwrotnością X'.
  • ∠OXT = ∠OT'X', a ∠OXS = ∠OS'X'. (odwrotność pary punktów)
  • Jeśli T, S leżą po tej samej stronie O.
  • ∠T'X'S' = ∠OX'S' − ∠OX'T'
  • = ∠OSX − ∠OTX (Inwersja pary punktów).
  • = ∠TXS (kąt zewnętrzny równa się sumie kątów wewnętrznych)
  • = 90 o (kąt w półokręgu jest kątem prostym)
  • Więc X' leży na półokręgu, z T'S' jako średnicą.
  • Dotyczy to każdego punktu na sferze {A, a}.
  • Więc X' leży na kuli, z T'S' jako średnicą.

(patrz rys. 4)

Rys. 4
  • Jeśli T, S leżą po przeciwnych stronach O:
  • ∠OXT + ∠OXS = 90 o (kąt w półokręgu to kąt prosty).
  • ∠T'X'S' = ∠OX'T' + ∠OX'S'
  • = ∠OTX + ∠OSX (odwrotność pary punktów).
  • = 180 o − ∠TXS (kąty w trójkącie sumują się do 180 o )
  • Czyli ∠T'X'S' = 90 o , a X' leży na półokręgu o średnicy T'S' (kąt w półokręgu jest kątem prostym).
  • Jak wcześniej:
  • Dotyczy to każdego punktu na sferze {A, a}.
  • Więc X' leży na kuli, z T'S' jako średnicą.

(patrz rys. 5)

Rys. 5


Uwaga 6: Generalnie odwrotnością kuli jest kula
(jedynym wyjątkiem jest sytuacja, gdy środek kuli odniesienia leży na kuli).

Odwrotność okręgu

  • Niech okrąg będzie c, o środku C i promieniu a, leżącym na płaszczyźnie ψ .
  • Jeśli c przecina sferę, jedynymi samoodwrotnymi punktami są te dwa przecięcia.
  • Niech S, T będą najbliższymi i najdalszymi punktami c, od punktu O, (tzn. OT > OS), gdzie T', S' ich odwrotności,
  • Jeśli C jest w punkcie O, to odwrotność c jest koncentrycznym okręgiem o promieniu r 2 /a;
  • W przeciwnym razie
  • jeśli O leży na c,
  • Następnie niech OP będzie średnicą c, gdzie P' jest odwrotnością P.
  • Niech X będzie dowolnym punktem okręgu, z odwrotnością X'.
  • Przez 'Odwrócenie pary punktów' ∠OP'X' = ∠OXP = 90 o .
  • Odwrotność punktów okręgu leży na prostej w płaszczyźnie c, normalnej do OP';
  • W przeciwnym razie
  • Jeśli O leży na płaszczyźnie c, to c jest wielkim kołem sfery {C, a}, w płaszczyźnie przechodzącej przez O, S, T, więc argumenty, które odnoszą się do odwrotności sfery, odnoszą się również do odwrotności koła c , z wynikami podobnymi do wszystkich z sekcji 6.

(por. ryc. 3, 4, 5)

  • W przeciwnym razie,
  • w ogólnym przypadku, gdy O nie jest na ψ,płaszczyźnie c;
  • Niech A, B będą dwoma punktami na prostej przechodzącej przez C, prostopadłymi do ψ.
  • Niech Λ, Ω będzie dwiema sferami przez c, ze środkami A, B, ani przez O.
  • Niech kule Λ', Ω' będą odwrotnością Λ, Ω (patrz Uwaga 6).
  • Każdy punkt odwrotności c leży zarówno na Λ', jak i Ω'.
  • Przecięcie sfer Λ', Ω' to okrąg c', powiedzmy, odwrotność c.
  • Jeśli O leży na prostej AB, stożek rzutu jest prawy kołowy,
a jeśli c leży na sferze Σ, to każdy punkt c jest samoodwrotny;

Uwaga 7: Generalnie odwrotnością koła jest okrąg.

(Jedynym wyjątkiem jest sytuacja, gdy środek sfery odniesienia leży na okręgu.

Wyniki inwersji w sferze

  1. Linia przechodząca przez środek inwersji jest samoodwrotna.
  2. Ogólnie rzecz biorąc, odwrotność linii to okrąg przechodzący przez środek inwersji.
  3. Odwrotność koła przechodzącego przez środek inwersji to linia.
  4. Generalnie odwrotnością koła jest koło.
  5. Płaszczyzna przechodząca przez środek inwersji jest samoodwrotna.
  6. Ogólnie rzecz biorąc, odwrotnością płaszczyzny jest sfera przechodząca przez środek odwrócenia.
  7. Odwrócenie kuli przez środek inwersji to płaszczyzna.
  8. Generalnie odwrotnością kuli jest kula.

Zobacz też

Bibliografia