Inwersja w sferze - Inversion in a sphere
W geometrii , inwersja w kuli jest transformacja z przestrzeni euklidesowej , że poprawki punkty na kuli podczas wysyłania punktów wewnątrz kuli na zewnątrz kuli, i vice versa. Intuicyjnie „zamienia wnętrze i zewnętrze” kuli, pozostawiając punkty na kuli bez zmian. Inwersja jest przekształceniem konforemnym i jest podstawową operacją geometrii odwrotnej ; jest to uogólnienie inwersji w kole .
Definicja
Inwersję w sferze najłatwiej opisać za pomocą współrzędnych biegunowych . Wybierz układ współrzędnych afinicznych tak, aby środek kuli znajdował się na początku, a promień kuli wynosił 1. Wtedy każdy punkt można zapisać w postaci r v , gdzie r jest odległością od punktu do początku i v jest wektorem jednostkowym ; co więcej, dla każdego punktu poza początkiem ta reprezentacja jest wyjątkowa. Biorąc pod uwagę taką reprezentację punktu, jego obrazem przy odwróceniu sferycznym jest zdefiniowany jako punkt r- 1 v . To definiuje homeomorfizm od samego siebie. Jako mapa z przestrzeni euklidesowej do siebie, kulista inwersja mapa nie jest zdefiniowana na początku, ale możemy rozszerzyć ją , na jednopunktowe zwarte z , określając, że 0 należy przesłać do nieskończoności i nieskończoności należy przesłać do 0 Tak więc odwrócenie sferyczne można traktować jako homeomorfizm .
Nieruchomości
Inwersja jest samoodwrotna i ustala punkty leżące na kuli. Odwrotnością prostej jest okrąg przechodzący przez środek sfery odniesienia i na odwrót. Odwrotnością płaszczyzny jest sfera przechodząca przez środek sfery odniesienia i odwrotnie. W przeciwnym razie odwrotność koła jest kołem; odwrotność kuli jest kulą.
Inwersja w sferze to potężna transformacja. Jednym prostym przykładem jest odwzorowanie mapy . Zwykłe rzutowanie bieguna północnego lub południowego ( rzut stereograficzny ) to inwersja z Ziemi na płaszczyznę. Jeśli zamiast robić z słupa centrum, wybralibyśmy miasto, to Inversion mogłaby stworzyć mapę, na której wszystkie najkrótsze trasy (wielkie koła) do lotu z tego miasta byłyby widoczne jako linie proste, co uprościłoby tor lotu dla pasażerów w najmniej.
Dowody
Niech sferą odniesienia będzie Σ, ze środkiem O i promieniem r oznaczonym przez {O, r}. Wszystkie odwrotności w tym artykule znajdują się w sferze Σ.
Wyniki przedstawione w tym artykule zależą od trzech prostych pomysłów:
- 1. Podobne trójkąty: Model w skali ma taki sam kształt jak oryginał, tzn. zachowane są wszystkie kąty.
- 2. Kąt w półokręgu jest kątem prostym. tj. Dla dowolnego punktu na półokręgu przekątna tworzy kąt prosty (90 o ).
- 3. Kąty trójkąta sumują się do 180 o , więc kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch pozostałych kątów wewnętrznych.
Definicja
- Niech P będzie punktem w odległości n > 0 od O.
- Jeśli P' jest punktem na OP, w tym samym kierunku co OP, tak że OP.OP' = r 2 , to P i P' są punktami odwrotnymi
- Jeśli n > r, to OP' < r, więc P' leży wewnątrz Σ i na odwrót.
- Punkty na powierzchni Σ są jedynymi punktami samoodwrotnymi.
Budowa
- Podobnie jak w odwróceniu w kole, zwykła konstrukcja punktu P poza sferą polega na przejściu dowolnej płaszczyzny przez OP,
narysowaniu stycznych w płaszczyźnie od P do Σ, stykających się z nią w S, T. - Przecięcie akordu ST z OP daje P'. (Trójkąty OPS, OSP' są podobne.)
- Dla punktu P wewnątrz Σ, weź płaszczyznę przez OP, narysuj cięciwę kuli w tej płaszczyźnie, normalną do OP w P, spotykając Σ, w S, T.
- Narysuj styczne w płaszczyźnie, aby spotkały się w P', odwrotności P.
- W obu przypadkach trójkąty prostokątne, OPT, OTP' są podobne, więc OP/OT = OT/OP'
(patrz rys. 1)
Odwrócenie pary punktów
- Biorąc pod uwagę dwa punkty A, B z odwrotnościami A', B'; OA'.OA = R 2 , OB'.OB = R 2 .
- Zatem OA'/OB' = OB/OA.
- Ponieważ ∠AOB to ∠B'OA', trójkąty AOB, B'OA' są podobne.
- Zatem ∠OAB = ∠OB'A', ∠OBA = ∠OA'B'.
(patrz rys. 2)
Odwrotność linii
- Jeśli prosta przecina Σ, to tylko dwa punkty przecięcia są samoodwrotne.
- Jeśli O leży na linii, to linia jest samoodwrotna;
- W przeciwnym razie,
- Niech P będzie stopą prostopadłej od O do prostej, z odwrotnością P' i niech X będzie dowolnym punktem na prostej, z odwrotnością X',
- Przez 'Odwrócenie pary punktów' ∠OX'P' = ∠OPX = 90 o .
- Więc X' leży na okręgu przechodzącym przez O, z OP' jako średnicą. (Kąt w półokręgu jest kątem prostym)
(patrz rys. 3)
Uwaga 4: Ogólnie odwrotnością prostej jest okrąg przechodzący przez środek odniesienia.
Odwrotność płaszczyzny
- Jeżeli płaszczyzna przecina Σ, to każdy punkt okręgu przecięcia jest samoodwrotny.
- Jeśli O leży na płaszczyźnie, odwrotnością jest płaszczyzna;
- W przeciwnym razie:
- Niech stopa prostopadłej od O do płaszczyzny będzie równa P z odwrotnością P'.
- Niech X będzie dowolnym punktem na płaszczyźnie z odwrotnością X'.
- Przez 'Odwrócenie pary punktów' ∠OX'P' = ∠OPX = 90 o .
- X' leży na kuli o średnicy OP'. (kąt w półokręgu to kąt prosty)
Uwaga 5: Ogólnie odwrotnością płaszczyzny jest sfera przechodząca przez środek odniesienia.
Odwrotność kuli
-
- Niech kula będzie {A, a}, tj. środek A i promień a > 0.
- Jeśli sfera {A, a} przecina Σ, jedyne punkty samoodwrotności znajdują się na okręgu przecięcia.
- Jeżeli A jest w O, to odwrotność sfery {A, a} jest sferą koncentryczną o promieniu r 2 /a;
- (Po prostu, jeśli a = r, to każdy punkt na {A, a} jest samoodwrotny.)
- W przeciwnym razie
- jeśli O leży na sferze {A, a},
- Niech P będzie punktem diametralnie przeciwległym do O na sferze {A, a}, gdzie P' jest odwrotnością P.
- Niech X będzie dowolnym punktem na sferze {A, a}, gdzie X' jest odwrotnością.
- Następnie przez „Inversion pary punktów” ∠OP'X”= ∠OXP = 90 O (kąt półkoliście).
- Dotyczy to wszystkich punktów na sferze {A, a}.
- Więc X' leży w płaszczyźnie przez P' normalny do OP'.
- W przeciwnym razie,
- Niech S, T będą przecięciami OA i sfery {A, a}, gdzie S', T' są ich odwrotnościami.
- ST to średnica {A, a}.
- Niech X będzie dowolnym punktem na sferze {A, a} z odwrotnością X'.
- ∠OXT = ∠OT'X', a ∠OXS = ∠OS'X'. (odwrotność pary punktów)
- Jeśli T, S leżą po tej samej stronie O.
- ∠T'X'S' = ∠OX'S' − ∠OX'T'
- = ∠OSX − ∠OTX (Inwersja pary punktów).
- = ∠TXS (kąt zewnętrzny równa się sumie kątów wewnętrznych)
- = 90 o (kąt w półokręgu jest kątem prostym)
- Więc X' leży na półokręgu, z T'S' jako średnicą.
- Dotyczy to każdego punktu na sferze {A, a}.
- Więc X' leży na kuli, z T'S' jako średnicą.
(patrz rys. 4)
- Jeśli T, S leżą po przeciwnych stronach O:
- ∠OXT + ∠OXS = 90 o (kąt w półokręgu to kąt prosty).
- ∠T'X'S' = ∠OX'T' + ∠OX'S'
- = ∠OTX + ∠OSX (odwrotność pary punktów).
- = 180 o − ∠TXS (kąty w trójkącie sumują się do 180 o )
- Czyli ∠T'X'S' = 90 o , a X' leży na półokręgu o średnicy T'S' (kąt w półokręgu jest kątem prostym).
- Jak wcześniej:
- Dotyczy to każdego punktu na sferze {A, a}.
- Więc X' leży na kuli, z T'S' jako średnicą.
(patrz rys. 5)
Uwaga 6: Generalnie odwrotnością kuli jest kula
(jedynym wyjątkiem jest sytuacja, gdy środek kuli odniesienia leży na kuli).
Odwrotność okręgu
- Niech okrąg będzie c, o środku C i promieniu a, leżącym na płaszczyźnie ψ .
- Jeśli c przecina sferę, jedynymi samoodwrotnymi punktami są te dwa przecięcia.
- Niech S, T będą najbliższymi i najdalszymi punktami c, od punktu O, (tzn. OT > OS), gdzie T', S' ich odwrotności,
- Jeśli C jest w punkcie O, to odwrotność c jest koncentrycznym okręgiem o promieniu r 2 /a;
- W przeciwnym razie
- jeśli O leży na c,
- Następnie niech OP będzie średnicą c, gdzie P' jest odwrotnością P.
- Niech X będzie dowolnym punktem okręgu, z odwrotnością X'.
- Przez 'Odwrócenie pary punktów' ∠OP'X' = ∠OXP = 90 o .
- Odwrotność punktów okręgu leży na prostej w płaszczyźnie c, normalnej do OP';
- W przeciwnym razie
- Jeśli O leży na płaszczyźnie c, to c jest wielkim kołem sfery {C, a}, w płaszczyźnie przechodzącej przez O, S, T, więc argumenty, które odnoszą się do odwrotności sfery, odnoszą się również do odwrotności koła c , z wynikami podobnymi do wszystkich z sekcji 6.
(por. ryc. 3, 4, 5)
- W przeciwnym razie,
- w ogólnym przypadku, gdy O nie jest na ψ,płaszczyźnie c;
- Niech A, B będą dwoma punktami na prostej przechodzącej przez C, prostopadłymi do ψ.
- Niech Λ, Ω będzie dwiema sferami przez c, ze środkami A, B, ani przez O.
- Niech kule Λ', Ω' będą odwrotnością Λ, Ω (patrz Uwaga 6).
- Każdy punkt odwrotności c leży zarówno na Λ', jak i Ω'.
- Przecięcie sfer Λ', Ω' to okrąg c', powiedzmy, odwrotność c.
-
- Jeśli O leży na prostej AB, stożek rzutu jest prawy kołowy,
- a jeśli c leży na sferze Σ, to każdy punkt c jest samoodwrotny;
Uwaga 7: Generalnie odwrotnością koła jest okrąg.
- (Jedynym wyjątkiem jest sytuacja, gdy środek sfery odniesienia leży na okręgu.
Wyniki inwersji w sferze
- Linia przechodząca przez środek inwersji jest samoodwrotna.
- Ogólnie rzecz biorąc, odwrotność linii to okrąg przechodzący przez środek inwersji.
- Odwrotność koła przechodzącego przez środek inwersji to linia.
- Generalnie odwrotnością koła jest koło.
- Płaszczyzna przechodząca przez środek inwersji jest samoodwrotna.
- Ogólnie rzecz biorąc, odwrotnością płaszczyzny jest sfera przechodząca przez środek odwrócenia.
- Odwrócenie kuli przez środek inwersji to płaszczyzna.
- Generalnie odwrotnością kuli jest kula.