Spójne i niespójne równania - Consistent and inconsistent equations

W matematyce, a zwłaszcza w algebrze , liniowy lub nieliniowy układ równań nazywamy spójnym, jeśli istnieje co najmniej jeden zestaw wartości dla niewiadomych, który spełnia każde równanie w układzie — to znaczy, gdy są podstawione do każdego z równań, tworzą każde równanie jest prawdziwe jako tożsamość . W przeciwieństwie do tego, liniowy lub nieliniowy układ równań jest nazywany niespójnym, jeśli nie ma zestawu wartości dla niewiadomych, który spełnia wszystkie równania.

Jeśli układ równań jest niespójny, można manipulować równaniami i łączyć je w taki sposób, aby uzyskać informacje sprzeczne, np. 2 = 1 lub x ³ + y ³ = 5 i x ³ + y ³ = 6 (co oznacza 5 = 6).

Oba typy układu równań, spójny i niespójny, mogą być dowolnymi z naddeterminowanych (mających więcej równań niż niewiadomych), niedostatecznie określonych (mających mniej równań niż niewiadomych) lub dokładnie określonych.

Proste przykłady

Niezdecydowany i spójny

System

${\displaystyle x+y+z=3,}$

${\displaystyle x+y+2z=4}$

ma nieskończoną liczbę rozwiązań, z których wszystkie mają z = 1 (jak widać, odejmując pierwsze równanie od drugiego), a zatem wszystkie mają x+y = 2 dla dowolnych wartości x i y .

System nieliniowy

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=10}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} = 5}$

ma nieskończoną ilość rozwiązań, wszystkie angażujące ${\displaystyle z=\pm {\sqrt {5}}.}$

Ponieważ każdy z tych systemów ma więcej niż jedno rozwiązanie, jest to system nieokreślony .

Niezdecydowany i niespójny

System

${\displaystyle x+y+z=3,}$

${\displaystyle x+y+z=4}$

nie ma rozwiązań, co można zobaczyć, odejmując pierwsze równanie od drugiego, aby uzyskać niemożliwe 0 = 1.

System nieliniowy

${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} + Z ^ {2} = 17,}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} + Z ^ {2} = 14}$

nie ma rozwiązań, ponieważ jeśli odejmiemy jedno równanie od drugiego, otrzymamy niemożliwe 0 = 3.

Dokładnie określone i konsekwentne

System

${\displaystyle x+y=3,}$

${\displaystyle x+2y=5}$

ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 1, y = 2.

System nieliniowy

${\displaystyle x+y=1,}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} = 1}$

ma dwa rozwiązania ( x, y ) = (1, 0) i ( x, y ) = (0, 1), natomiast

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=10,}$

${\displaystyle x^{3}+2y^{3}+z^{3}=12,}$

${\ Displaystyle 3x ^ {3} + 5 lat ^ {3} + 3z ^ {3} = 34}$

ma nieskończoną liczbę rozwiązań, ponieważ trzecie równanie jest równaniem pierwszym plus dwukrotność drugiego, a zatem nie zawiera niezależnych informacji; w ten sposób można wybrać dowolną wartość z, a wartości x i y można znaleźć, aby spełnić pierwsze dwa (a zatem trzecie) równanie.

Dokładnie określone i niespójne

System

${\displaystyle x+y=3,}$

${\displaystyle 4x+4y=10}$

nie ma rozwiązań; niespójność można zobaczyć, mnożąc pierwsze równanie przez 4 i odejmując drugie równanie, aby uzyskać niemożliwe 0 = 2.

Również,

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=10,}$

${\displaystyle x^{3}+2y^{3}+z^{3}=12,}$

${\ Displaystyle 3x ^ {3} + 5 lat ^ {3} + 3z ^ {3} = 32}$

jest systemem niespójnym, ponieważ pierwsze równanie plus dwa razy drugie minus trzecie zawiera sprzeczność 0 = 2.

Nadmiernie zdecydowany i konsekwentny

System

${\displaystyle x+y=3,}$

${\displaystyle x+2y=7,}$

${\ Displaystyle 4x+6y=20}$

ma rozwiązanie x = –1, y = 4, ponieważ pierwsze dwa równania nie są ze sobą sprzeczne, a trzecie równanie jest zbędne (ponieważ zawiera te same informacje, które można uzyskać z dwóch pierwszych równań, mnożąc je przez 2 i ich sumowanie).

System

${\displaystyle x+2y=7,}$

${\displaystyle 3x+6y=21,}$

${\ Displaystyle 7x+14y=49}$

ma nieskończoną ilość rozwiązań, ponieważ wszystkie trzy równania dają te same informacje co sobie nawzajem (co można zobaczyć mnożąc przez pierwsze równanie przez 3 lub 7). Każda wartość y jest częścią rozwiązania, a odpowiadająca jej wartość x wynosi 7–2y.

System nieliniowy

${\ Displaystyle x ^ {2} -1 = 0,}$

${\ Displaystyle y ^ {2} -1 = 0,}$

${\ Displaystyle (x-1) (y-1) = 0}$

ma trzy rozwiązania ( x, y ) = (1, –1), (-1, 1) i (1, 1).

Nadmiernie zdecydowany i niespójny

System

${\displaystyle x+y=3,}$

${\displaystyle x+2y=7,}$

${\ Displaystyle 4x+6y=21}$

jest niespójne, ponieważ ostatnie równanie jest sprzeczne z informacjami zawartymi w pierwszych dwóch, co widać po pomnożeniu każdego z pierwszych dwóch przez 2 i ich zsumowaniu.

System

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + 2 ^ {2} = 2,}$

${\ Displaystyle 2x ^ {2} + 3 lata ^ {2} = 4}$

jest niespójne, ponieważ suma dwóch pierwszych równań jest sprzeczna z trzecim.

Kryteria spójności

Jak widać z powyższych przykładów, spójność kontra niespójność to inny problem niż porównywanie liczby równań i niewiadomych.

Systemy liniowe

System liniowy jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz współczynników ma tę samą rangę, co macierz rozszerzona (macierz współczynników z dodaną dodatkową kolumną, która jest kolumnowym wektorem stałych).

Systemy nieliniowe

Bibliografia