Dobrze postawiony problem - Well-posed problem

Matematyczny termin zagadnienie poprawnie postawione wynika z definicją podaną przez 20th-wieku francuski matematyk Jacques Hadamarda . Wierzył, że modele matematyczne o zjawiskach fizycznych powinien mieć właściwości, które:

1. rozwiązaniem istnieje
2. rozwiązanie jest unikalne ,
3. zachowanie rozwiązania zmienia się w sposób ciągły wraz z warunkami początkowymi .

Przykłady archetypicznymi problemów dobrze jakie zawierają problemu Dirichleta dla równania Laplace'a , a równanie ciepła z określonych warunków początkowych. Można je uznać za „naturalne” problemy, ponieważ istnieją procesy fizyczne modelowane przez te problemy.

Problemy, które nie są dobrze postawione w rozumieniu Hadamarda, są określane jako źle postawione . Odwrotne problemy są często źle postawione. Na przykład odwrotne równanie ciepła, wyprowadzające poprzedni rozkład temperatury z danych końcowych, nie jest dobrze sformułowane, ponieważ rozwiązanie jest bardzo wrażliwe na zmiany w danych końcowych.

Modele kontinuum często muszą być dyskretyzowane w celu uzyskania rozwiązania numerycznego. Chociaż rozwiązania mogą być ciągłe w stosunku do warunków początkowych, mogą cierpieć z powodu niestabilności numerycznej, gdy zostaną rozwiązane ze skończoną precyzją lub z błędami w danych. Nawet jeśli problem jest dobrze postawiony, nadal może być źle uwarunkowany , co oznacza, że ​​mały błąd w danych początkowych może skutkować znacznie większymi błędami w odpowiedziach. Problemy w nieliniowych systemach złożonych (tzw. Układach chaotycznych ) dostarczają dobrze znanych przykładów niestabilności. Na źle uwarunkowany problem wskazuje duża liczba warunków .

Jeśli problem jest dobrze postawiony, to ma duże szanse na rozwiązanie na komputerze przy użyciu stabilnego algorytmu . Jeśli nie jest dobrze ustawiony, należy go ponownie sformułować do leczenia numerycznego. Zwykle wiąże się to z dodatkowymi założeniami, takimi jak płynność rozwiązania. Ten proces jest znany jako regularyzacja . Regularyzacja Tichonowa jest jednym z najczęściej stosowanych do regularyzacji źle postawionych problemów liniowych.

Metoda energetyczna

Metodą określania słuszności problemu jest metoda energetyczna. Metoda opiera się na oszacowaniu energii dla danego problemu.

Przykład : Rozważmy równanie liniowej adwekcji z jednorodnymi warunkami brzegowymi Dirichleta i odpowiednimi danymi początkowymi . ${\ displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} u_ {t} + \ alfa u_ {x} = 0,0 <x <1, \ alpha> 0, \\ u (x, 0) = f (x), \\ u (0, t) = 0, \\ u (1, t) = 0, \\\ end {przypadki}}}$

Następnie wykonując metodę energetyczną dla tego problemu, można by pomnożyć równanie przez i całkować w przestrzeni w zadanym przedziale. ${\ displaystyle u}$

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {u ^ {2}} {2}} dx = - \ alpha \ int _ {0} ^ {1} uu_ { x} dx \ Rightarrow {\ frac {1} {2}} \ częściowy _ {t} \ | u \ | _ {2} ^ {2} = - \ alpha {\ frac {u ^ {2}} {2 }} {\ Big |} _ {0} ^ {1} = 0}$

Wtedy można by całkować w czasie i uzyskać oszacowanie energii

${\ Displaystyle \ | u (\ cdot, t) \ | _ {2} \ równoważnik \ | f (\ cdot) \ | _ {2}}$ ( p-norma )

Z tego oszacowania energii można wywnioskować, że problem jest dobrze postawiony.

Zobacz też

• Spektroskopia całkowitej absorpcji - przykład odwrotnego problemu lub źle postawionego problemu w rzeczywistej sytuacji, który jest rozwiązywany za pomocą algorytmu maksymalizacji oczekiwań

Bibliografia

• Hadamard, Jacques (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique . Biuletyn Uniwersytetu Princeton . s. 49–52.
• Parker, Sybil B., wyd. (1989) [1974]. Słownik terminów naukowych i technicznych McGraw-Hill (wyd. 4). Nowy Jork: McGraw-Hill. ISBN   0-07-045270-9 .
• Tichonow, AN; Arsenin, VY (1977). Rozwiązania źle postawionych problemów . Nowy Jork: Winston. ISBN   0-470-99124-0 .