Ikozjański - Icosian

Aby zapoznać się z użyciem icosian przez Hamiltona, zobacz grę icosian i rachunek icosian .

W matematyce icosians są specyficznym zbiorem kwaternionów Hamiltona o tej samej symetrii co 600-komórka . Termin ten może być używany w odniesieniu do dwóch powiązanych, ale odrębnych pojęć:

Ikozjanie jednostek

120 ikozjanów jednostkowych, które tworzą grupę ikozjańską, są nawet permutacjami:

  • 8 ikozjanów postaci ½(±2, 0, 0, 0)
  • 16 ikozjanów postaci ½(±1, ±1, ±1, ±1)
  • 96 ikozjanów postaci ½(0, ±1, ±1 /φ , ± φ )

W tym przypadku wektor ( a ,  b ,  c ,  d ) odnosi się do kwaternionów a  +  b i  +  c j  + d k , a φ reprezentuje złoty podział ( √ 5  + 1)/2. Te 120 wektorów tworzy system korzeniowy H4 , z grupą Weyl rzędu 14400. Oprócz 120-elementowych ikozjanów tworzących wierzchołki 600-komórki, 600 ikozjanów normy 2 tworzy wierzchołki 120-komórki . Inne podgrupy icosians odpowiadają tesseract , 16 komórek i 24 komórek .

Pierścień Ikozji

Ikozjanie leżą w złotym polu ( a  +  b √ 5 ) + ( c  +  d √ 5 ) i  + ( e  +  f √ 5 ) j  + ( g  +  h √ 5 ) k , gdzie osiem zmiennych jest liczbami wymiernymi . Ten kwaternion jest icosian tylko wtedy, gdy wektor ( a ,  b ,  c ,  d ,  e ,  f ,  g ,  h ) jest punktem na sieci L , która jest izomorficzna z siecią E8 .

Dokładniej, normą kwaternionów powyższego elementu jest ( a  +  b √ 5 ) 2  + ( c  +  d √ 5 ) 2  + ( e  +  f √ 5 ) 2  + ( g  +  h √ 5 ) 2 . Jego norma euklidesowa jest zdefiniowana jako u  +  v, jeśli normą kwaternionową jest u  +  v √ 5 . Ta norma euklidesowa definiuje formę kwadratową na L , w której sieć jest izomorficzna z siecią E8 .

Ta konstrukcja pokazuje, że grupa Coxetera osadza się jako podgrupa . Rzeczywiście, liniowy izomorfizm, który zachowuje normę kwaternionów, zachowuje również normę euklidesową.

Bibliografia