Hiperboliczny trójdzielny - Hyperbolic 3-manifold

W matematyce , a dokładniej w topologii i geometrii różniczkowej , hiperboliczna 3-rozmaitość jest rozmaitością wymiaru 3 wyposażoną w metrykę hiperboliczną , czyli metrykę Riemanna, której wszystkie krzywizny przekrojowe są równe -1. Ogólnie wymaga się, aby ta metryka była również kompletna : w tym przypadku rozmaitość może być zrealizowana jako iloraz trójwymiarowej przestrzeni hiperbolicznej przez dyskretną grupę izometrii (grupę Kleina ).

Hiperboliczne 3–rozmaitości o skończonej objętości mają szczególne znaczenie w topologii trójwymiarowej, jak wynika z hipotezy geometryzacyjnej Thurstona udowodnionej przez Perelmana. Badanie grup kleinowskich jest również ważnym tematem w geometrycznej teorii grup .

Znaczenie w topologii

Geometria hiperboliczna jest najbogatszą i najmniej rozumianą spośród ośmiu geometrii w wymiarze 3 (na przykład dla wszystkich innych geometrii nie jest trudno podać jednoznaczne wyliczenie rozmaitości o skończonej objętości z tą geometrią, chociaż jest to dalekie od bycia geometrią przypadku dla rozmaitości hiperbolicznych ). Po potwierdzeniu hipotezy geometryzacyjnej, zrozumienie właściwości topologicznych hiperbolicznych 3 rozmaitości jest zatem głównym celem topologii trójwymiarowej. Ostatnie przełomy Kahna-Markovica, Wise'a, Agola i innych odpowiedziały na większość otwartych od dawna pytań na ten temat, ale wciąż istnieje wiele mniej znaczących, które nie zostały rozwiązane.

W wymiarze 2 prawie wszystkie powierzchnie zamknięte są hiperboliczne (wszystkie oprócz kuli, płaszczyzny rzutowej, torusa i butelki Kleina). W wymiarze 3 jest to dalekie od prawdy: istnieje wiele sposobów na skonstruowanie nieskończenie wielu niehiperbolicznych rozmaitości zamkniętych. Z drugiej strony stwierdzenie heurystyczne, że „ogólna trójdzielność ma tendencję do hiperbolizmu” jest weryfikowane w wielu kontekstach. Na przykład każdy węzeł, który nie jest węzłem satelity ani węzłem torusa, jest hiperboliczny. Co więcej, prawie wszystkie operacje Dehna na węźle hiperbolicznym dają rozmaitość hiperboliczną. Podobny wynik jest prawdziwy w przypadku połączeń ( hiperboliczne twierdzenie Thurstona o chirurgii Dehna ), a ponieważ wszystkie 3–rozmaitości uzyskuje się jako operacje na łączu w sferze 3, nadaje to bardziej precyzyjny sens nieformalnemu stwierdzeniu. Inny sens, w którym „prawie wszystkie” rozmaitości są hiperboliczne w wymiarze 3, to modele losowe. Na przykład losowe podziały Heegaarda z rodzaju co najmniej 2 są prawie na pewno hiperboliczne (gdy złożoność mapy sklejania sięga nieskończoności).

Związek geometrii hiperbolicznej trójdzielnicy z jej topologią wynika również z twierdzenia Mostowa o sztywności , które mówi, że hiperboliczna struktura hiperbolicznej trójrozmaitości o skończonej objętości jest jednoznacznie zdeterminowana przez jej typ homotopii. W szczególności niezmiennik geometryczny, taki jak objętość, można wykorzystać do zdefiniowania nowych niezmienników topologicznych.

Struktura

Rozmaitości o skończonej objętości

W tym przypadku ważnym narzędziem do zrozumienia geometrii rozmaitości jest dekompozycja gruba-cienka . Stwierdza, że ​​hiperboliczna 3–rozmaitość o skończonej objętości rozkłada się na dwie części:

• grubą część, w której promień jest większy niż zatłaczania absolutnego stałej;
• i jej dopełnienie, cienką część, która jest rozłącznym połączeniem litych tori i guzków .

Geometrycznie skończone rozmaitości

Rozkład grubo-cienki jest ważny dla wszystkich hiperbolicznych trójdzielników, chociaż ogólnie cienka część nie jest taka, jak opisano powyżej. O hiperbolicznej trójrozmaitości mówi się, że jest geometrycznie skończona, jeśli zawiera wypukłą podrozmaitość (jej wypukły rdzeń ), na którą się cofa, i której gruba część jest zwarta (należy zauważyć, że wszystkie rozmaitości mają wypukły rdzeń, ale generalnie nie jest on zwarty). ). Najprostszym przypadkiem jest, gdy rozmaitość nie ma „zakończeń” (tj. podstawowa grupa nie zawiera elementów parabolicznych), w którym to przypadku rozmaitość jest geometrycznie skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest ilorazem zamkniętego, wypukłego podzbioru przestrzeni hiperbolicznej przez grupę działającą wspólnie na tym podzbiorze.

Rozmaitości ze skończoną generowaną grupą fundamentalną

Jest to większa klasa hiperbolicznych 3 rozmaitości, dla której istnieje satysfakcjonująca teoria struktury. Opiera się na dwóch twierdzeniach:

• Tameness twierdzenie , który stwierdza, że taki kolektor jest homeomorficzny do wnętrza kompaktowego rozdzielacza z granica;
• Twierdzenie o końcowej laminacji, które zapewnia klasyfikację struktury hiperbolicznej we wnętrzu zwartej rozmaitości według jej „niezmienników końcowych”.

Konstrukcja hiperbolicznych 3–rozmaitości o skończonej objętości

Wielościany hiperboliczne, grupy odbicia

Najstarsza konstrukcja rozmaitości hiperbolicznych, która sięga co najmniej od Poincarégo, jest następująca: zacznij od skończonego zbioru trójwymiarowych hiperbolicznych skończonych polytopes . Załóżmy, że między dwuwymiarowymi ścianami tych wielościanów występuje sparowanie boczne (tj. każda taka ściana jest sparowana z inną, odrębną, tak że są one względem siebie izometryczne jako dwuwymiarowe wielokąty hiperboliczne) i rozważmy przestrzeń uzyskuje się przez sklejenie sparowanych ścianek (formalnie uzyskuje się to jako przestrzeń ilorazową ). Zawiera metrykę hiperboliczną, która jest dobrze zdefiniowana poza obrazem 1-szkieletów wielościanów. Ta metryka rozciąga się na metrykę hiperboliczną w całej przestrzeni, jeśli spełnione są dwa następujące warunki:

• dla każdego (nieidealnego) wierzchołka w klejeniu suma kątów bryłowych wielościanu, do którego należy, jest równa ;${\displaystyle 4\pi}$
• dla każdej krawędzi w klejeniu suma dwuściennych kątów wielościanu, do którego należy, jest równa .${\displaystyle 2\pi}$

Godnym uwagi przykładem tej konstrukcji jest przestrzeń Seiferta-Webera, którą uzyskuje się przez sklejenie przeciwległych ścian dwunastościanu foremnego .

Odmianą tej konstrukcji jest użycie hiperbolicznych polytopów Coxetera (politopów, których dwuścienne kąty mają postać ). Taki politop daje początek Kleinowskiej grupie refleksyjnej , która jest dyskretną podgrupą izometrii przestrzeni hiperbolicznej. Biorąc podgrupę o skończonym indeksie bez skręcania, otrzymuje się rozmaitość hiperboliczną (którą można odzyskać przez poprzednią konstrukcję, sklejając kopie oryginalnego wielotopu Coxetera w sposób określony przez odpowiedni wykres Schreiera ). ${\ Displaystyle \ pi / m, m \ w \ mathbb {N}}$

Klejenie idealnej czworościanu i hiperbolicznej chirurgii Dehna

W poprzedniej konstrukcji otrzymane kolektory są zawsze zwarte. Aby otrzymać rozmaitości z wierzchołkami, należy użyć politopów, które mają idealne wierzchołki (tzn. wierzchołki leżące na sferze w nieskończoności). W takim ustawieniu konstrukcja klejona nie zawsze daje kompletny rozdzielacz. Kompletność jest wykrywana przez układ równań obejmujący kąty dwuścienne wokół krawędzi przylegających do idealnego wierzchołka, które są powszechnie nazywane równaniami klejenia Thurstona. W przypadku, gdy sklejanie jest zakończone, idealne wierzchołki stają się wierzchołkami w kolektorze. Przykładem uzyskanej w ten sposób niezwartej rozmaitości hiperbolicznej o skończonej objętości jest rozmaitość Giesekinga, która jest konstruowana przez sklejenie ze sobą ścian regularnego idealnego czworościanu hiperbolicznego .

Możliwe jest również skonstruowanie kompletnego kolektora hiperbolicznego o skończonej objętości, gdy klejenie nie jest kompletne. W tym przypadku uzupełnieniem otrzymanej przestrzeni metrycznej jest rozmaitość z granicą torusa iw pewnych (nie ogólnych) warunkach możliwe jest przyklejenie hiperbolicznego torusa bryłowego na każdym komponencie brzegowym, tak aby powstała przestrzeń miała pełną metrykę hiperboliczną. Topologicznie, rozgałęźnik uzyskuje się przez hiperboliczną operację Dehna na pełnej rozgałęzieniu hiperbolicznym, co wynikałoby z całkowitego sklejenia.

Nie wiadomo, czy w ten sposób można skonstruować wszystkie hiperboliczne 3–rozmaitości o skończonej objętości. W praktyce jest to jednak sposób, w jaki oprogramowanie obliczeniowe (takie jak SnapPea lub Regina ) przechowuje rozmaitości hiperboliczne.

Konstrukcje arytmetyczne

Konstrukcja arytmetycznych grup Kleina z algebr kwaternionów daje początek szczególnie interesującym rozmaitościom hiperbolicznym. Z drugiej strony są one w pewnym sensie „rzadkie” wśród hiperbolicznych trójrozmaitości (na przykład hiperboliczna operacja Dehna na stałym rozmaitości skutkuje rozmaitością niearytmetyczną dla prawie wszystkich parametrów).

Twierdzenie o hiperbolizacji

W przeciwieństwie do powyższych konstrukcji jawnych, możliwe jest wydedukowanie istnienia kompletnej struktury hiperbolicznej na 3–rozmaicie wyłącznie z informacji topologicznej. Jest to konsekwencja hipotezy geometrycznej i może być sformułowane w następujący sposób (stwierdzenie czasami określane jako „twierdzenie hiperbolizacji”, które zostało udowodnione przez Thurstona w szczególnym przypadku rozmaitości Hakena):

Jeśli zwarty trójrozmaitość z granicą toryczną jest nieredukowalny i algebraiczny algebraiczny (co oznacza, że ​​każdy torus zanurzony iniekcyjnie jest homotopiczny do składowej granicy), to jego wnętrze niesie pełną metrykę hiperboliczną o skończonej objętości.${\displaystyle \pi_{1}}$

Szczególnym przypadkiem jest wiązka powierzchniowa na okręgu : takie rozmaitości są zawsze nieredukowalne i niosą pełną metrykę hiperboliczną wtedy i tylko wtedy, gdy monodromia jest mapą pseudo-Anosowa .

Inną konsekwencją hipotezy geometryzacji jest to, że każdy zamknięty trójrozmaitość, który dopuszcza metrykę riemannowska z ujemnymi krzywiznami przekroju, w rzeczywistości dopuszcza metrykę riemannowska o stałej krzywiźnie przekroju -1. Nie dotyczy to wyższych wymiarów.

Wirtualne nieruchomości

Topologiczne własności 3–rozmaitości są na tyle zawiłe, że w wielu przypadkach warto wiedzieć, że własność zachodzi wirtualnie dla klasy rozmaitości, to znaczy dla dowolnej rozmaitości w klasie istnieje skończona przestrzeń pokrywająca rozmaitość własnością . Wirtualne własności hiperbolicznych 3 rozmaitości są przedmiotem szeregu przypuszczeń Waldhausena i Thurstona, które ostatnio wszystkie udowodnił Ian Agol na podstawie prac Jeremy'ego Kahna, Vlada Markovica, Frédérica Haglunda, Dani Wise i innych. Pierwsza część przypuszczeń była logicznie związana z hipotezą Hakena . W kolejności siły są to:

1. ( przypuszczenie podgrupy powierzchni ) Grupa podstawowa dowolnej rozmaitości hiperbolicznej o skończonej objętości zawiera (niewolną) grupę powierzchniową (grupę podstawową powierzchni zamkniętej ).
2. ( przypuszczenie Wirtualnie Hakena ) Każdy hiperboliczny 3-rozmaitość skończonej objętości jest praktycznie Hakenem; oznacza to, że zawiera osadzoną zamkniętą powierzchnię, tak że osadzanie indukuje mapę iniekcyjną między grupami podstawowymi.
3. Każdy hiperboliczny trójdzielnik o skończonej objętości ma skończoną pokrywę z niezerową pierwszą liczbą Bettiego .
4. Każda hiperboliczna 3–rozmaitość o skończonej objętości ma skończoną osłonę, której podstawowa grupa podporządkowuje się nieabelowej grupie wolnej (takie grupy są zwykle nazywane dużymi ).

Inne przypuszczenie (również udowodnione przez Agola), które implikuje 1-3 powyżej, ale a priori nie ma związku z 4, jest następujące:

5. ( przypuszczenie wirtualnie włókniste ) Każda hiperboliczna trójdzielnica o skończonej objętości ma skończoną osłonę, która jest wiązką powierzchniową nad kołem.

Przestrzeń wszystkich hiperbolicznych 3–rozmaitości

Zbieżność geometryczna

Mówi się, że sekwencja grup kleinowskich jest geometrycznie zbieżna, jeśli zbiega się w topologii Chabauty'ego . Dla rozmaitości otrzymanych jako iloraz oznacza to, że są one zbieżne we wskazanej metryce Gromova-Hausdorffa .

teoria Jørgensena-Thurstona

Objętość hiperboliczna może być wykorzystana do uporządkowania przestrzeni wszystkich rozmaitości hiperbolicznych. Zbiór rozmaitości odpowiadający danej objętości jest co najwyżej skończony, a zbiór objętości jest uporządkowany i uporządkowany . Dokładniej, twierdzenie Thurstona o chirurgii hiperbolicznej Dehna implikuje, że rozmaitość z wierzchołkami jest granicą ciągu rozmaitości z wierzchołkami dla dowolnych , tak że izolowane punkty są objętościami zwartych rozmaitości, a rozmaitości z dokładnie jednym wierzchołkiem są granicami rozmaitości zwartych. i tak dalej. Wraz z wynikami Jørgensena twierdzenie dowodzi również, że każdy ciąg zbieżny musi być uzyskany przez operacje Dehna na rozmaitości granicznej. ${\ Displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$${\ Displaystyle m}$${\displaystyle l}$${\displaystyle 0\leq l<m}$

Grupy quasi-fuchsowskie

Sekwencje quasi-fuksjańskich grup powierzchniowych danego rodzaju mogą zbiegać się do podwójnie zdegenerowanej grupy powierzchniowej, jak w twierdzeniu o podwójnej granicy .

Uwagi

Bibliografia

• Aschenbrenner, Matthias; Friedla, Stefana; Wilton, Henry (2015). Grupy 3-rozmaitościowe . Seria wykładów EMS z matematyki. Matematyka europejska. Soc.
• Callahan, Patrick J.; Hildebrand, Martin V.; Tygodnie, Jeffrey R. (1999). „Spis zaostrzony hiperboliczny 3-rozmaitości” . Matematyka. komp . 68 (225): 321-332. doi : 10.1090/s0025-5718-99-01036-4 . MR  1620219 .
• Gromow, Michał (1981). „Rozmaitości hiperboliczne według Thurstona i Jørgensena” . Seminarium N. Bourbaki, 1979-1980 . Notatki z wykładu z matematyki. 842 . Skoczek. s. 40–53. MR  0636516 . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2016-01-10.
• Gromow, Michaił; Thurston, William (1987). „Stałe szczypanie dla rozmaitości hiperbolicznych”. Wynalazki matematyczne . 89 : 1–12. Kod Bibcode : 1987InMat..89....1G . doi : 10.1007/bf01404671 . S2CID  119850633 .
• Maher, Józef (2010). „Losowe rozłamy Heegaarda”. J. Topola . 3 (4): 997-1025. arXiv : 0809.4881 . doi : 10.1112/jtopol/jtq031 . S2CID  14179122 .
• Neumanna, Waltera; Zagier, Don (1985). „Objętości hiperbolicznych trójrozmaitości” . Topologia . 24 (3): 307–332. doi : 10.1016/0040-9383(85)90004-7 .
• Petronio, Carlo; Porti, Joanna (2000). „Negatywnie zorientowane idealne triangulacje i dowód hiperbolicznego twierdzenia Thurstona o wypełnieniu Dehna”. Wystawa. Matematyka . 18 : 1-35. arXiv : matematyka/9901045 . Kod Bibcode : 1999math......1045P .
• Ratcliffe, John G. (2006) [1994]. Podstawy rozmaitości hiperbolicznych . Teksty magisterskie z matematyki. 149 (wyd. 2). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-0-387-47322-2 . Numer ISBN 978-0-387-33197-3. MR  2249478 .
• Thurston, William (1980). Geometria i topologia trójrozmaitości . Notatki z wykładów Princeton – za pośrednictwem MSRI [1] .
• Thurston, William (1982). „Rozmaitości trójwymiarowe, grupy Kleina i geometria hiperboliczna” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . Nowa seria. 6 (3): 357–381. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 . ISSN  0002-9904 . MR  0648524 .
• Thurston, William (1997). Geometria i topologia trójwymiarowa . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton.