Dziewiętnasty problem Hilberta - Hilbert's nineteenth problem

Dziewiętnasty problem Hilberta jest jednym z 23 problemów Hilberta , przedstawionych na liście sporządzonej w 1900 roku przez Davida Hilberta . Pyta, czy rozwiązania regularnych problemów w rachunku wariacyjnym są zawsze analityczne . Nieformalnie i być może mniej bezpośrednio, ponieważ koncepcja Hilberta „ regularnego problemu wariacyjnego ” identyfikuje dokładnie problem wariacyjny, którego równanie Eulera-Lagrange'a jest eliptycznym równaniem różniczkowym cząstkowym ze współczynnikami analitycznymi, dziewiętnasty problem Hilberta, pomimo pozornie technicznego stwierdzenia, po prostu pyta, czy , w tej klasie równań różniczkowych cząstkowych każda funkcja rozwiązania dziedziczy stosunkowo prostą i dobrze zrozumiałą strukturę z rozwiązanego równania. XIX problemu Hilberta został rozwiązany niezależnie pod koniec 1950 roku przez Ennio De Giorgi i John Forbes Nash Jr .

Historia

Geneza problemu

Eine der begrifflich merkwürdigsten Thatsachen in den Elementen der Theorie der analytischen Funktionen erblicke ich darin, daß es Partielle Differentialgleichungen giebt, deren Integrale sämtlich notwendig analytische Funktionen singän gesabeltis kurzs, für gesabelhän

—  David Hilbert , ( Hilbert 1900 , s. 288).

David Hilbert w swoim wystąpieniu na II Międzynarodowym Kongresie Matematyków przedstawił obecnie zwany dziewiętnastym problemem Hilberta . W ( Hilbert 1900 , s. 288) stwierdza, że ​​jego zdaniem jednym z najbardziej godnych uwagi faktów teorii funkcji analitycznych jest to, że istnieją klasy równań różniczkowych cząstkowych, które dopuszczają tylko takie rodzaje funkcji jak rozwiązania, sumując równania Laplace'a. równanie , równanie Liouville'a The minimal równanie powierzchni i klasy liniowych równań różniczkowych badanych przez Émile Picard jako przykłady. Następnie zwraca uwagę na fakt, że większość równań różniczkowych cząstkowych posiadających tę właściwość to równanie Eulera-Lagrange'a dobrze zdefiniowanego rodzaju problemu wariacyjnego, charakteryzujące się następującymi trzema właściwościami:

(1)      ,
(2)      ,
(3)       F jest funkcją analityczną wszystkich swoich argumentów p , q , z , x i y .

Hilbert nazywa ten rodzaj problemu wariacyjnego „ regularnym problemem wariacyjnym ”: własność (1) oznacza, że ​​tego rodzaju problemy wariacyjne są problemami minimum , własność (2) jest warunkiem eliptyczności w równaniach Eulera-Lagrange'a związanych z danym funkcjonałem , podczas gdy własność (3) jest prostym założeniem o regularności funkcji F . Określiwszy klasę problemów, z którymi ma się zmierzyć, zadaje następujące pytanie: „ … czy każde równanie różniczkowe cząstkowe Lagrange’a regularnego problemu wariacyjnego ma właściwość dopuszczania wyłącznie całek analitycznych? ” i pyta dalej, czy to jest przypadku nawet wtedy, gdy wymagane jest, aby funkcja zakładała, jak to ma miejsce w przypadku problemu Dirichleta na funkcji potencjału , wartości brzegowe, które są ciągłe, ale nie analityczne.

Droga do kompletnego rozwiązania

Hilbert określił swój dziewiętnasty problem jako problem regularności dla klasy eliptycznego równania różniczkowego cząstkowego o współczynnikach analitycznych, dlatego pierwsze próby jego rozwiązania skierowane były na badanie regularności klasycznych rozwiązań równań należących do tej klasy. Dla rozwiązań C 3   na problem Hilberta odpowiedział pozytywnie Sergei Bernstein  ( 1904 ) w swojej pracy magisterskiej: wykazał, że rozwiązania C 3   nieliniowych eliptycznych równań analitycznych w 2 zmiennych są analityczne. Wynik Bernsteina został poprawiony na przestrzeni lat przez kilku autorów, takich jak Petrowsky (1939) , który zredukował wymagania dotyczące różniczkowania rozwiązania potrzebnego do udowodnienia, że ​​jest analityczne. Natomiast metody bezpośrednie w rachunku wariacyjnym wykazały istnienie rozwiązań o bardzo słabych właściwościach różniczkowalności. Przez wiele lat istniała luka między tymi wynikami: rozwiązania, które można było skonstruować, były znane z tego, że miały drugie pochodne całkowalne do kwadratu, co nie było wystarczająco silne, aby wprowadzić je do maszynerii, która mogłaby udowodnić, że są analityczne, co wymaga ciągłości pierwszych pochodnych . Tę lukę niezależnie wypełnili Ennio De Giorgi  ( 1956 , 1957 ) i John Forbes Nash  ( 1957 , 1958 ). Byli w stanie wykazać, że rozwiązania mają pierwsze pochodne, które były ciągłe Höldera , co z poprzednich wyników sugerowało, że rozwiązania są analityczne, gdy równanie różniczkowe ma współczynniki analityczne, tym samym dopełniając rozwiązanie dziewiętnastego problemu Hilberta.

Kontrprzykłady do różnych uogólnień problemu

Twierdząca odpowiedź na XIX problemu Hilberta podane przez Ennio De Giorgi i John Forbes Nash postawił pytanie, czy ten sam wniosek posiada także dla równań Eulera-Lagrange'a bardziej ogólnych funkcjonałów : pod koniec 1960 roku, Maz'ya (1968) , De Giorgi (1968) oraz Giusti i Miranda (1968) niezależnie skonstruowali kilka kontrprzykładów , pokazując, że generalnie nie ma nadziei na udowodnienie tego rodzaju prawidłowości bez dodawania kolejnych hipotez.

Dokładniej, Maz'ya (1968) podał kilka kontrprzykładów dotyczących pojedynczego eliptycznego równania rzędu większego niż dwa ze współczynnikami analitycznymi: dla ekspertów fakt, że tego rodzaju równania mogą mieć rozwiązania nieanalityczne, a nawet niegładkie, wywołał sensację.

De Giorgi (1968) oraz Giusti i Miranda (1968) podali kontrprzykłady pokazujące, że w przypadku rozwiązania o wartościach wektorowych, a nie skalarnych, nie musi ono być analityczne: przykład De Giorgi składa się z układu eliptycznego z ograniczonym współczynniki, podczas gdy współczynnik Giustiego i Mirandy ma współczynniki analityczne. Później Nečas (1977) przedstawił inne, bardziej wyrafinowane przykłady problemu wartości wektorowych.

Twierdzenie de Giorgiego

Kluczowym twierdzeniem udowodnionym przez De Giorgiego jest oszacowanie a priori stwierdzające, że jeśli u jest rozwiązaniem odpowiedniego liniowego PDE drugiego rzędu ściśle eliptycznego o postaci

i ma pierwsze pochodne całkowalne do kwadratu, a następnie jest ciągłą metodą Höldera.

Zastosowanie twierdzenia De Giorgiego do problemu Hilberta

Problem Hilberta pyta, czy minimalizatory funkcjonału energetycznego, takie jak

są analityczne. Tutaj jest funkcją na pewien zestaw kompaktowej z R n , jest jego gradientu wektor, i jest Lagrange'a, funkcją pochodnych spełniających pewne warunki wzrostu, gładkość i wypukłości. Gładkość można pokazać za pomocą twierdzenia De Giorgiego w następujący sposób. Równanie Eulera-Lagrange'a dla tego problemu jest wariacyjnej Równanie nieliniowe

i zróżnicowanie tego w odniesieniu do daje

Oznacza to, że spełnia równanie liniowe

z

więc na podstawie wyniku De Giorgiego rozwiązanie w ma ciągłe pierwsze pochodne Höldera, pod warunkiem, że macierz jest ograniczona. Jeśli tak nie jest, potrzebny jest kolejny krok: trzeba udowodnić, że rozwiązaniem jest ciągła Lipschitz , tzn. gradient jest funkcją.

Gdy w wiadomo, że Höldera ciągły ( n pochodnych +1) st jakiegoś n co najmniej 1, a współczynniki a ij mają Höldera ciągły n TH pochodne, a więc twierdzenie Schauder sugeruje, że ( n + 2), są również pochodne ND Höldera ciągła, więc powtarzanie tego nieskończenie często pokazuje, że rozwiązanie w jest gładkie.

Twierdzenie Nasha

Nash oszacował ciągłość rozwiązań równania parabolicznego

gdzie u jest ograniczoną funkcją x 1 ,..., x n , t zdefiniowaną dla t ≥ 0. Z jego oszacowania Nash był w stanie wyprowadzić oszacowanie ciągłości dla rozwiązań równania eliptycznego

przez rozważenie szczególnego przypadku, gdy u nie zależy od t .

Uwagi

Bibliografia