Czworościan heroński - Heronian tetrahedron

Heronian Tetrahedron (zwany również Tetrahedron Czapla i doskonałe piramidy ) jest Tetrahedron , których długości krawędzi, obszary powierzchni i objętość są liczbami całkowitymi . Dlatego wszystkie twarze muszą być trójkątami herońskimi . Każdy czworościan Herona można ułożyć w przestrzeni euklidesowej, tak aby jego współrzędne wierzchołków były również liczbami całkowitymi.

Przykłady

Przykładem znanym Leonhardowi Eulerowi jest heroński czworościan prostokątny , czworościan ze ścieżką o trzech krawędziach równoległych do trzech osi współrzędnych, a wszystkie ściany są prostokątami prostokątnymi . Długości krawędzi na ścieżce krawędzi równoległych do osi wynoszą 153, 104 i 672, a pozostałe trzy długości to 185, 680 i 697, tworząc cztery prostokątne ściany opisane przez trójki pitagorejskie ( 153, 104, 185 ), ( 104,672,680), (153,680,697) i (185,672,697).

Osiem przykładów czworościanów herońskich odkrył w 1877 roku Reinhold Hoppe .

117 to najmniejsza możliwa długość najdłuższej krawędzi idealnego czworościanu z integralnymi długościami krawędzi. Pozostałe długości krawędzi to 51, 52, 53, 80 i 84. 8064 to najmniejsza możliwa objętość (a 6384 to najmniejsza możliwa powierzchnia) idealnego czworościanu. Całkowite długości krawędzi czworościanu Heronu o tej objętości i powierzchni wynoszą 25, 39, 56, 120, 153 i 160.

W 1943 roku EP Starke opublikował inny przykład, w którym dwie ściany są trójkątami równoramiennymi o podstawie 896 i bokach 1073, a pozostałe dwie ściany są również równoramienne z podstawą 990 i tymi samymi bokami. Jednak Starke popełnił błąd w raportowaniu jego objętości, która została szeroko skopiowana. Prawidłowa głośność to 124 185 600 , dwa razy więcej niż liczba zgłoszona przez Starke'a.

Sascha Kurz użył komputerowych algorytmów wyszukiwania, aby znaleźć wszystkie czworościany Heronu o co najwyżej najdłuższej krawędzi 600 000 .

Klasyfikacja, nieskończone rodziny i specjalne typy czworościanów

Regularne czworościanu (jeden z wszystkie twarze są równoboczny) nie może być Heronian czworościanu, ponieważ regularne czworościanów którego krawędź długości są liczbami całkowitymi obszary twarzy i objętość są liczb niewymiernych . Z tego samego powodu żaden czworościan Heronu nie może mieć trójkąta równobocznego jako jednej ze swoich ścian.

Istnieje nieskończenie wiele czworościanów Heronu, a silniej nieskończenie wiele dysphenoidów herońskich , czworościanów, w których wszystkie twarze są przystające, a każda para przeciwległych boków ma równą długość. W tym przypadku do opisania czworościanu potrzebne są tylko trzy długości krawędzi, a nie sześć, a trzy długości, które definiują czworościany Herona, można scharakteryzować za pomocą krzywej eliptycznej . Istnieje również nieskończenie wiele czworościanów Heronu z cyklem czterech równych długości krawędzi, w których wszystkie ściany są trójkątami równoramiennymi .

Istnieje również nieskończenie wiele czworościanów birectangular Heronian. Jeden sposób czworościanów tworzącej tego rodzaju wynika z długości krawędzi, równolegle do osi , oraz z dwóch jednakowych sumy czwartego uprawnień${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ Displaystyle p ^ {4} + s ^ {4} = q ^ {4} + r ^ {4}}$

używając formuł

${\ Displaystyle a = {\ bigl |} (pq) ^ {2} - (rs) ^ {2} {\ bigr |},}$

${\ displaystyle b = {\ bigl |} 2pqrs {\ bigr |},}$

${\ Displaystyle c = {\ bigl |} (pr) ^ {2}) - | (qs) ^ {2} {\ bigr |}.}$

Na przykład, w Tetrahedron uzyskane w ten sposób z tożsamością Leonhard Euler , ma , i równej ${\ Displaystyle 59 ^ {4} + 158 ^ {4} = 133 ^ {4} + 134 ^ {4}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$ 386 678 175 , 332 273 368 i 379 083 360 , przy przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równą ${\ displaystyle ab}$ 509 828 993 , przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równa się ${\ displaystyle bc}$ 504 093 032 , a przeciwprostokątna pozostałych dwóch boków równa 635 318 657 . Dla tych czworościanów, , i tworzą odcinki krawędziowe w niemal idealnej prostopadłościanu prostokątny prostopadłościan, w którym po bokach, dwa z trzech przekątnych twarz, ciało i przekątnej są liczbami całkowitymi. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

Pełna klasyfikacja wszystkich czworościanów Heronu pozostaje nieznana.

Powiązane kształty

Alternatywną definicją trójkątów herońskich jest to, że można je utworzyć przez sklejenie dwóch całkowitych trójkątów prostokątnych wzdłuż wspólnego boku. Ta definicja została również uogólniona na trzy wymiary, prowadząc do innej klasy czworościanów, które również nazywano czworościanami czapli.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. "Czworościan heroński" . MathWorld .