Twierdzenie Hadwiger za - Hadwiger's theorem

W geometrii integralną (inaczej zwane geometrycznej teorii prawdopodobieństwa), tw Hadwiger w charakteryzuje wycen na organy wypukłych w R ⁿ . To zostało udowodnione przez Hugo Hadwiger .

Wprowadzenie

wyceny

Niech K ⁿ będzie zbiorem wszystkich zwartych zbiorów wypukłych w R ⁿ . Wartość jest funkcją V : K ⁿ  →  R takie, że V (∅) = 0 i dla każdej S , T  ∈ K ⁿ w którym S ∪ T ∈ K ⁿ ,

${\ Displaystyle V (S) + V (t) = V (S \ Czapka t) + V (S \ kubek T) ~.}$

Wycena nazywany jest ciągła, jeśli jest ciągła względem metryką Hausdorffa . Wartość nazywa niezmienna przy sztywnych ruchów jeśli V ( φ ( S )) =  V ( S ), gdy S  ∈  K ⁿ i φ jest albo tłumaczenie albo obrót z R ⁿ .

Quermassintegrals

Quermassintegrals W _J :  K ⁿ  →  R są określone za pomocą wzoru Steinera

${\ Displaystyle \ operatorname {t} _ {A} (K + tB) = \ suma _ {j = 0} ^ {n} {\ Binom {n} {J}} W_ {j} (K) T ^ { ~ j}}$

gdzie B jest euklidesowa piłka. Na przykład, biała ₀ objętość, W ₁ jest proporcjonalna do środka powierzchni , W _{n -1} jest proporcjonalny do średniej szerokości , a W _N jest stałą t _N ( B ).

W _j to wartość, która jest jednorodna stopnia n - j , czyli

${\ Displaystyle W_ {j} (TK) = T ^ {nj} W_ {j} (K) ~ \ quad t \ geq 0 ~.}$

Komunikat

Każdy ciągły wartość V o K ⁿ to niezmienna przy sztywnych ruchy mogą być reprezentowane

${\ Displaystyle v (S) = \ _ {suma j = 0} ^ {n} C_ J {} W_} {J (S) ~.}$

Następstwo

Każdy ciągły wartość V o K ⁿ to niezmienna przy sztywnych ruchów i jednorodne stopnia j jest wielokrotnością W _{N - j} .

Referencje

Konto i dowód twierdzenia Hadwiger mogą być znalezione w

• Klain DA; Rota, G.-C. (1997). Wstęp do geometrycznej prawdopodobieństwa . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-59362-X . MR  1608265 .

Elementarna i samowystarczalny dowód został wydany przez Beifang Chen w

• Chen, B. (2004). „Uproszczona elementarny dowód twierdzenia głośności Hadwiger za”. Geom. Dedicata . 105 : 107 i ndash 120. doi : 10,1023 / B: geom.0000024665.02286.46 . MR  2057247 .