Uogólnione krąg - Generalised circle

Uogólnione krąg , określane także jako „Cline” lub „circline”, to linia prosta lub okrąg . Koncepcja jest wykorzystywany głównie w Geometria Inwersyjna , ponieważ proste linie i okręgi mają bardzo podobne właściwości w tej geometrii i są najlepiej traktowane łącznie.

Inversive płaszczyzny geometria jest sformułowany w płaszczyźnie rozszerzonego w jednym punkcie w nieskończoności . Linia prosta jest następnie traktowane jako jeden z koła, który przechodzi przez asymptotycznej punktem w nieskończoności. Zasadnicze przemiany w Geometria Inwersyjna, że inwersje , mają tę właściwość, że mapować one uogólnione okręgi do uogólnionych okręgów. Mobius transformacje , które są kompozycje inwersji, dziedziczą tę właściwość. Przemiany te nie muszą mapa linii do linii i okręgów do kręgów: mogą mieszać dwa.

Inwersje są w dwóch rodzajach: inwersji w kręgach i odbicia w linii. Ponieważ dwa mają bardzo podobne właściwości, możemy je połączyć i porozmawiać o inwersji na uogólnionych okręgów.

Biorąc pod uwagę wszystkie trzy odrębne punkty w rozszerzonej płaszczyźnie istnieje dokładnie jeden uogólniony okrąg przechodzący przez trzy punkty.

Przedłużony płaszczyzna może być identyfikowany z kuli , stosując stereograficznej występ . Punkt, w nieskończoność staje się zwykłym punktem na kuli, a wszystkie uogólnione okręgi stać okręgi na kuli.

Równanie przedłużonej płaszczyźnie zespolonej

Przedłużony płaszczyzna Geometria Inwersyjna mogą być identyfikowane z rozszerzonej płaszczyzny zespolonej , tak że równania liczbach zespolonych może być użyty do opisania linii, okręgów i inwersje.

Koło Γ jest zestaw z punktów Z w płaszczyźnie leżą na promieniu r od środka y .

Korzystanie z płaszczyzny zespolonej , możemy traktować γ jako liczby zespolonej i okręgu y jako zbiór liczb zespolonych.

Stosując tę właściwość, że liczba zespolona pomnożona przez jego koniugatu daje nam kwadrat modułu numeru, a jego moduł jest jego odległość euklidesowa z pochodzenia, możemy wyrazić równanie y następująco:

Możemy pomnożyć to przez prawdziwego stałej A , aby uzyskać równanie postaci

gdzie i Dprawdziwe , a B i Csprzężenie zespolone . Cofania czynności, widzimy, że aby to się okrąg, promień do kwadratu musi być równa BC / 2 - D / > 0. Zatem powyższe równanie definiuje uogólniony koło ilekroć AD <BC . Należy zauważyć, że gdy ma wartość zero, to równanie określa linię prostą.

Przekształcenie w = 1 / z

To jest teraz łatwo zauważyć, że transformacja w = 1 / z mapy uogólnione okręgi do uogólnionych okręgów:

Możemy zobaczyć, że przewody przez początek (  =  D  = 0), są przypisane do linii przez początek linie nie przechodzące przez pochodzenia (  = 0, D  ≠ 0) do kół przechodzących przez początek układu, koła przechodzą przez pochodzenie (  ≠ 0, D  = 0) do linii nie przechodzącej przez początek i koła nie przechodzącej przez początek ( a  ≠ 0; D  ≠ 0) do kół nie przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Reprezentacja przez matryce hermitowskich

Dane określające równania uogólnionego okręgu

można korzystnie umieścić w formie odwracania sygnału hermitowskiego matrycy

Dwa takie odwracalna macierze hermitowskie określić tę samą uogólniony okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się one przez prawdziwego wielokrotności.

Aby przekształcić uogólniony okręgu opisanego przez przez transformacji Möbiusa , weź odwrotność transformacji i zrobić

Referencje