Addytywny biały szum Gaussa - Additive white Gaussian noise

Addytywny biały szum Gaussa ( AWGN ) jest podstawowym modelem szumu stosowanym w teorii informacji do naśladowania skutków wielu przypadkowych procesów zachodzących w przyrodzie. Modyfikatory oznaczają szczególne cechy:

  • Dodatek, ponieważ jest dodawany do każdego szumu, który może być nieodłącznym elementem systemu informacyjnego.
  • White odnosi się do idei, że ma jednolitą moc w całym paśmie częstotliwości dla systemu informacyjnego. Jest to analogia do koloru białego, który ma jednakową emisję na wszystkich częstotliwościach widma widzialnego .
  • Gaussa, ponieważ ma rozkład normalny w dziedzinie czasu ze średnią wartością w dziedzinie czasu równą zero.

Szum szerokopasmowy pochodzi z wielu naturalnych źródeł hałasu, takich jak drgania termiczne atomów w przewodnikach (określane jako szum termiczny lub szum Johnsona-Nyquista ), szum śrutowy , promieniowanie ciała doskonale czarnego z ziemi i innych ciepłych obiektów oraz ze źródeł niebieskich takie jak Słońce. Centralne twierdzenie graniczne z teorii prawdopodobieństwa wskazuje, że to podsumowanie wielu procesów losowych będzie mieć tendencję do rozkładu Gaussa o nazwie lub Normal.

AWGN jest często stosowany jako modelu kanału , w której tylko utrata komunikacji oznacza liniowy dodanie szerokopasmowej lub szumu białego o stałej gęstości widmowej (wyrażone jako watów na herców o szerokości pasma ) i rozkładu Gaussa amplitudy. Model nie uwzględnia zaniku , selektywności częstotliwości , interferencji , nieliniowości ani dyspersji . Jednak tworzy proste i możliwe do wykonania modele matematyczne, które są przydatne do uzyskania wglądu w podstawowe zachowanie systemu, zanim zostaną uwzględnione te inne zjawiska.

Kanał AWGN jest dobrym modelem dla wielu połączeń komunikacji satelitarnej i kosmicznej. Nie jest to dobry model dla większości łączy naziemnych ze względu na wielodrożność, blokowanie terenu, zakłócenia itp. Jednak w przypadku modelowania ścieżki naziemnej AWGN jest powszechnie używany do symulacji szumu tła badanego kanału, oprócz wielościeżkowego blokowania terenu, zakłócenia, bałagan naziemny i interferencja własna, z którymi spotykają się nowoczesne systemy radiowe podczas eksploatacji naziemnej.

Pojemność kanału

Kanał AWGN jest reprezentowany przez szereg wyjść o dyskretnym indeksie zdarzeń . jest sumą sygnału wejściowego i szumu, gdzie jest niezależne i identycznie rozłożone i pochodzi z zerowego średniego rozkładu normalnego z wariancją (szum). Są dodatkowo zakłada się nie być skorelowane z .

Pojemność kanału jest nieskończona, chyba że szum jest różny od zera i są dostatecznie ograniczone. Najczęstszym ograniczeniem na wejściu jest tak zwane ograniczenie „mocy”, które wymaga, aby dla słowa kodowego przesyłanego przez kanał, mamy:

gdzie oznacza maksymalną moc kanału. Dlatego pojemność kanału dla kanału o ograniczonej mocy jest określona wzorem:

Gdzie jest dystrybucja . Rozwiń , pisząc w kategoriach entropii różniczkowej :

Ale i dlatego są niezależne:

Oceniając różniczkową entropię gaussa, otrzymujemy:

Ponieważ i są niezależne, a ich suma daje :

Z tego ograniczenia wnioskujemy z właściwości entropii różniczkowej that

Dlatego przepustowość kanału jest określona przez najwyższe osiągalne ograniczenie wzajemnej informacji :

Gdzie jest maksymalizowane, gdy:

Zatem pojemność kanału dla kanału AWGN jest określona przez:

Pojemność kanału i upakowanie kuli

Załóżmy, że wysyłamy wiadomości przez kanał z indeksem od do , czyli liczbą różnych możliwych wiadomości. Jeśli zakodujemy wiadomości do bitów, to szybkość określamy jako:

Mówi się, że współczynnik jest osiągalny, jeśli istnieje sekwencja kodów, tak że maksymalne prawdopodobieństwo błędu dąży do zera, gdy zbliża się do nieskończoności. Wydajność jest najwyższym osiągalnym wskaźnikiem.

Rozważmy słowo kodowe o długości wysłane przez kanał AWGN z poziomem szumów . Po odebraniu wariancja wektora słowa kodowego wynosi teraz , a jej średnia jest wysłanym słowem kodowym. Wektor najprawdopodobniej będzie zawarty w sferze o promieniu wokół wysłanego słowa kodowego. Jeśli dekodujemy, odwzorowując każdą otrzymaną wiadomość na słowo kodowe w centrum tej sfery, to błąd występuje tylko wtedy, gdy odebrany wektor znajduje się poza tą sferą, co jest bardzo mało prawdopodobne.

Każdy wektor słowa kodowego ma powiązaną sferę odebranych wektorów słowa kodowego, które są do niego dekodowane, a każda taka sfera musi być unikalnie odwzorowana na słowo kodowe. Ponieważ zatem te sfery nie mogą się przecinać, mamy do czynienia z problemem upakowania kul . Ile różnych słów kodowych możemy umieścić w naszym -bitowym wektorze słowa kodowego? Otrzymane wektory mają maksymalną energię i dlatego muszą zajmować kulę o promieniu . Każda sfera słowa kodowego ma promień . Objętość sfery n- wymiarowej jest wprost proporcjonalna do , więc maksymalna liczba unikalnie dekodowalnych kul, które można upakować w naszej sferze z mocą transmisji P wynosi:

Zgodnie z tym argumentem stopa R nie może być większa niż .

Osiągalność

W tej sekcji pokazujemy osiągalność górnej granicy stawki z ostatniej sekcji.

Książka kodów, znana zarówno koderowi, jak i dekoderowi, jest generowana przez wybranie słów kodowych o długości n, iid Gaussa z wariancją i średnią zerową. W przypadku dużego n wariancja empiryczna słownika kodów będzie bardzo bliska wariancji jego dystrybucji, co pozwoli uniknąć probabilistycznego naruszenia ograniczenia mocy.

Odebrane wiadomości są dekodowane do wiadomości w książce kodów, która jest łącznie niepowtarzalnie typowa. Jeśli nie ma takiego komunikatu lub jeśli przekroczono ograniczenie mocy, zgłaszany jest błąd dekodowania.

Pozwolić oznaczają słowa kodowego do wiadomości , natomiast jest, jak poprzednio otrzymanym wektorze. Zdefiniuj następujące trzy zdarzenia:

  1. Zdarzenie : moc odebranej wiadomości jest większa niż .
  2. Zdarzenie : przesłane i odebrane słowa kodowe nie są wspólnie typowe.
  3. Zdarzenie : jest w , typowy zbiór gdzie , co oznacza, że ​​nieprawidłowe słowo kodowe jest łącznie typowe z odebranym wektorem.

Błąd występuje w związku z tym, jeśli , lub którykolwiek z nastąpić. Zgodnie z prawem dużych liczb, dąży do zera, gdy n zbliża się do nieskończoności, a zgodnie z połączoną Asymptotic Equipartition Property to samo dotyczy . Dlatego dla wystarczająco dużych , oba i są mniejsze niż . Ponieważ i są niezależne dla mamy, że i są również niezależne. Dlatego też, poprzez wspólną AEP, . To pozwala nam obliczyć prawdopodobieństwo błędu w następujący sposób:

Dlatego gdy n zbliża się do nieskończoności, dochodzi do zera i . Dlatego istnieje kod stawki R, który jest arbitralnie zbliżony do zdolności obliczonej wcześniej.

Twierdzenie o kodowaniu odwrotnie

Tutaj pokazujemy, że stawki powyżej pojemności nie są osiągalne.

Załóżmy, że ograniczenie mocy jest spełnione dla książki kodów, a następnie przypuśćmy, że komunikaty mają jednolity rozkład. Niech będą wiadomościami wejściowymi i wiadomościami wyjściowymi. W ten sposób informacje przepływają jako:

Wykorzystanie nierówności Fano daje:

gdzie jak

Niech będzie zakodowaną wiadomością o indeksie słowa kodowego i. Następnie:

Niech będzie średnią mocą słowa kodowego indeksu i:

Gdzie suma jest powyżej wszystkich komunikatów wejściowych . i są niezależne, a zatem oczekiwana moc jest dla poziomu hałasu :

A jeśli ma rozkład normalny, mamy to

W związku z tym,

Możemy zastosować równość Jensena do wklęsłej (w dół) funkcji x , aby otrzymać:

Ponieważ każde słowo kodowe indywidualnie spełnia ograniczenie mocy, średnia również spełnia ograniczenie mocy. W związku z tym,

Które możemy zastosować, aby uprościć powyższą nierówność i otrzymać:

Dlatego tak musi być . Dlatego R musi być mniejsze niż wartość arbitralnie zbliżona do pojemności uzyskanej wcześniej, as .

Efekty w dziedzinie czasu

Zero przejść przez hałaśliwy cosinus

W komunikacji szeregowej do modelowania błędu synchronizacji spowodowanego przez losowe jitter (RJ) stosowany jest model matematyczny AWGN .

Wykres po prawej stronie przedstawia przykład błędów synchronizacji związanych z AWGN. Zmienna Δ t reprezentuje niepewność przejścia przez zero. Wraz ze wzrostem amplitudy AWGN zmniejsza się stosunek sygnału do szumu . Skutkuje to zwiększoną niepewnością Δ t .

Pod wpływem AWGN, średnia liczba dodatnich lub ujemnych przejść przez zero na sekundę na wyjściu wąskoprzepustowego filtra, gdy wejście jest falą sinusoidalną, wynosi

gdzie

f 0 = środkowa częstotliwość filtra,
B = szerokość pasma filtra,
SNR = stosunek mocy sygnału do szumu w kategoriach liniowych.

Efekty w dziedzinie wskazowej

Udziały AWGN w dziedzinie fazorów

W nowoczesnych systemach komunikacyjnych nie można ignorować ograniczonego pasma AWGN. Podczas modelowania ograniczony pasmowo AWGN w fazoru kategorii analizy statystycznej wynika, że amplitudy rzeczywistej i urojonej składek są niezależnymi zmiennymi, które następują z rozkładu Gaussa model. Po połączeniu wielkość wynikowego fazora jest zmienną losową o rozkładzie Rayleigha , podczas gdy faza jest równomiernie rozłożona od 0 do 2π.

Wykres po prawej stronie pokazuje przykład, jak ograniczone pasmo AWGN może wpływać na spójny sygnał nośnej. Natychmiastowej odpowiedzi wektora szumu nie można precyzyjnie przewidzieć, jednakże jego uśrednioną w czasie odpowiedź można przewidzieć statystycznie. Jak pokazano na wykresie, z całą pewnością przewidujemy, że wskaźnik szumu będzie przebywał przez około 38% czasu wewnątrz okręgu 1σ, około 86% czasu wewnątrz okręgu 2σ i około 98% czasu wewnątrz koła 3σ.

Zobacz też

Bibliografia