Formalizm (filozofia matematyki) - Formalism (philosophy of mathematics)

W filozofii matematyki , formalizm jest pogląd, że stwierdził, że oświadczenia matematyki i logiki mogą być uznane za wypowiedzi o skutkach manipulacji ciągów (sekwencje alfanumeryczne symboli, zwykle jako równań) z wykorzystaniem ustalonych zasad manipulacji . Główną ideą formalizmu jest to, że „matematyka nie jest zbiorem zdań reprezentujących abstrakcyjny sektor rzeczywistości, ale jest o wiele bardziej podobna do gry, nie przynosząc większego zaangażowania w ontologię przedmiotów lub właściwości niż ludo czy szachy ”. Zgodnie z formalizmem, prawdy wyrażone w logice i matematyce nie dotyczą liczb, zbiorów, trójkątów ani żadnego innego przedmiotu o podobnym zakresie - w rzeczywistości nie są „o” niczym. Zdania matematyczne są raczej formami syntaktycznymi, których kształty i lokalizacje nie mają znaczenia, chyba że otrzymają interpretację (lub semantykę ). W przeciwieństwie do logiki czy intuicjonizmu , kontury formalizmu są mniej zdefiniowane ze względu na szerokie podejścia, które można sklasyfikować jako formalistyczne.

Obok logicyzmu i intuicjonizmu formalizm jest jedną z głównych teorii filozofii matematyki, która rozwinęła się na przełomie XIX i XX wieku. Wśród formalistów najwybitniejszym orędownikiem był David Hilbert .

Wczesny formalizm

Wcześni formaliści matematyczni próbowali „zablokować, uniknąć lub ominąć (w jakiś sposób) jakiekolwiek ontologiczne przywiązanie do problematycznej sfery abstrakcyjnych obiektów”. Niemieccy matematycy Eduard Heine i Carl Johannes Thomae są uważani za wczesnych zwolenników formalizmu matematycznego. Formalizm Heinego i Thomae można znaleźć w krytyce Gottloba Frege'a w The Foundations of Arithmetic .

Według Alana Weira, formalizm Heinego i Thomae, który atakuje Frege, można „opisać [d] jako termin formalizm lub formalizm gry”. Termin formalizm to pogląd, że wyrażenia matematyczne odnoszą się do symboli, a nie do liczb. Heine wyraził ten pogląd w następujący sposób: „Jeśli chodzi o definicję, zajmuję stanowisko czysto formalne, nazywając pewne namacalne znaki liczbami, aby istnienie tych liczb nie było kwestionowane”.

Thomae jest określany jako formalista gry, który twierdził, że „[f] lub formalista, arytmetyka jest grą ze znakami, które nazywane są pustymi. Oznacza to, że nie mają oni żadnej innej treści (w grze obliczeniowej) niż przypisuje im ich zachowanie w odniesieniu do pewnych reguł łączenia (zasady gry). ”

Frege przedstawia trzy uwagi krytyczne wobec formalizmu Heinego i Thomae: „że [formalizm] nie może wyjaśnić zastosowania matematyki; że myli teorię formalną z metateorią; [i] że nie może dać spójnego wyjaśnienia pojęcia nieskończonego ciągu”. Frege krytykuje formalizm Heinego, że jego formalizm nie może wyjaśnić nieskończonych sekwencji. Dummett argumentuje, że bardziej rozwinięte opisy formalizmu niż relacja Heinego mogą uniknąć zarzutów Frege'a, twierdząc, że dotyczą one abstrakcyjnych symboli, a nie konkretnych obiektów. Frege sprzeciwia się porównaniu formalizmu z grą, taką jak szachy. Frege twierdzi, że formalizm Thomae nie rozróżnia między grą a teorią.

Formalizm Hilberta

David Hilbert

Główną postacią formalizmu był David Hilbert , którego program miał być pełną i konsekwentną aksjomatyzacją całej matematyki. Hilbert chciał pokazać spójność systemów matematycznych z założenia, że ​​„arytmetyka finitarna” (podsystem zwykłej arytmetyki liczb całkowitych dodatnich , wybranych jako filozoficznie niekontrowersyjna) była spójna (tj. Z systemu nie można wyprowadzić żadnych sprzeczności ).

Sposób, w jaki Hilbert próbował pokazać, że system aksjomatyczny był spójny, polegał na sformalizowaniu go za pomocą określonego języka. Aby sformalizować system aksjomatyczny, musisz najpierw wybrać język, w którym będziesz mógł wyrażać i wykonywać operacje w tym systemie. Ten język musi zawierać pięć komponentów:

  • Musi zawierać zmienne, takie jak x, które mogą oznaczać pewną liczbę.
  • Musi mieć kwantyfikatory, takie jak symbol istnienia obiektu.
  • Musi obejmować równość.
  • Musi zawierać łączniki, takie jak ↔ dla „jeśli i tylko wtedy”.
  • Musi zawierać pewne niezdefiniowane terminy zwane parametrami. W przypadku geometrii te niezdefiniowane terminy mogą być czymś w rodzaju punktu lub linii, dla których nadal wybieramy symbole.

Przyjmując ten język, Hilbert pomyślał, że możemy udowodnić wszystkie twierdzenia w ramach dowolnego systemu aksjomatycznego, używając tylko samych aksjomatów i wybranego języka formalnego.

Wniosek Gödla w jego twierdzeniach o niekompletności był taki, że nie można udowodnić spójności w żadnym spójnym systemie aksjomatycznym wystarczająco bogatym, aby objąć klasyczną arytmetykę. Z jednej strony musisz używać tylko języka formalnego wybranego do sformalizowania tego systemu aksjomatycznego; z drugiej strony nie da się udowodnić sam w sobie spójności tego języka. Hilbert był początkowo sfrustrowany pracą Gödla, ponieważ zniweczyła ona cel jego życia, jakim było całkowite sformalizowanie wszystkiego w teorii liczb. Jednak Gödel nie czuł, że zaprzecza wszystkiemu w formalistycznym punkcie widzenia Hilberta . Kiedy Gödel opublikował swoją pracę, stało się jasne, że teoria dowodu wciąż ma jakieś zastosowanie, jedyną różnicą jest to, że nie można jej użyć do udowodnienia spójności całej teorii liczb, tak jak miał nadzieję Hilbert .

Hilbert był początkowo deduktywistą, ale rozważał pewne metody metamatematyczne , aby uzyskać z natury rzeczy znaczące wyniki, i był realistą w odniesieniu do arytmetyki finitarnej. Później uważał, że nie ma żadnej innej sensownej matematyki, niezależnie od interpretacji.

Dalszy rozwój

Inni formaliści, tacy jak Rudolf Carnap , uważali matematykę za badanie formalnych systemów aksjomatów .

Haskell Curry definiuje matematykę jako „naukę o systemach formalnych”. Formalizm Curry'ego różni się od formalizmu terminów, formalistów gier czy formalizmu Hilberta. Dla Curry'ego formalizm matematyczny dotyczy formalnej struktury matematyki, a nie formalnego systemu. Stewart Shapiro opisuje formalizm Curry'ego jako wychodzący od „historycznej tezy, że w miarę rozwoju gałęzi matematyki staje się ona coraz bardziej rygorystyczna w swojej metodologii, czego końcowym rezultatem jest kodyfikacja gałęzi w formalnych systemach dedukcyjnych”.

Krytyka formalizmu

Kurt Gödel wskazał na jeden ze słabych punktów formalizmu, odnosząc się do kwestii spójności w systemach aksjomatycznych.

Bertrand Russell argumentował, że formalizm nie wyjaśnia, co oznacza językowe stosowanie liczb w stwierdzeniach typu „w pokoju jest trzech mężczyzn”.

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki