Koło Forda - Ford circle

Okręgi Forda dla q od 1 do 20. Okręgi z q ≤ 10 są oznaczone jako p q i oznaczone kolorami zgodnie z q . Każdy okrąg jest styczny do linii bazowej i sąsiednich okręgów. Ułamki nieredukowalne o tym samym mianowniku mają koła o tej samej wielkości.

W matematyce , A koło Ford jest okrąg o środku w i promienia , gdzie jest frakcja nierozkładalny IE i są względnie pierwsze całkowitymi . Każdy okrąg Forda jest styczny do osi poziomej, a dowolne dwa okręgi Forda są styczne lub rozłączne od siebie. ${\ Displaystyle (p / q, 1 / (2q ^ {2}))}$ ${\ Displaystyle 1 / (2q ^ {2}),}$ ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ Displaystyle y = 0,}$

Historia

Okręgi Forda są szczególnym przypadkiem wzajemnie stycznych okręgów; linia bazowa może być traktowana jako okrąg o nieskończonym promieniu. Układy wzajemnie stycznych okręgów badał Apoloniusz z Perge , od którego nazwano problem Apoloniusza i uszczelki apollińskiej . W XVII wieku René Descartes odkrył twierdzenie Kartezjusza , związek między odwrotnościami promieni wzajemnie stycznych okręgów.

Kręgi Forda pojawiają się również w Sangaku (łamigłówkach geometrycznych) japońskiej matematyki . Typowy problem, który został przedstawiony na tabliczce z 1824 roku w prefekturze Gunma , dotyczy relacji trzech dotykających się kręgów ze wspólną tangensą . Biorąc pod uwagę rozmiar dwóch zewnętrznych dużych okręgów, jaki jest rozmiar małego okręgu między nimi? Odpowiedź jest odpowiednikiem koła Forda:

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {r _ {\ text {środkowy}}}}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {r _ {\ tekst {lewo}}}}} + {\ Frac {1} {\ sqrt {r _ {\ text {right}}}}}.}

Kręgi Forda zostały nazwane na cześć amerykańskiego matematyka Lestera R. Forda seniora , który napisał o nich w 1938 roku.

Nieruchomości

Porównanie okręgów Forda i diagramu Fareya z łukami kołowymi dla n od 1 do 9. Zauważ, że każdy łuk przecina odpowiadające mu okręgi pod kątem prostym. Na obrazie SVG najedź kursorem na okrąg lub krzywą, aby podświetlić ją i jej warunki.

Okrąg Forda powiązany z ułamkiem jest oznaczony przez lub Istnieje koło Forda związane z każdą liczbą wymierną . Ponadto linia jest liczona jako okrąg Forda - można ją traktować jako okrąg Forda związany z nieskończonością , tak jest w przypadku ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle C [p / q]}$ ${\ Displaystyle C [p, q].}$ ${\ displaystyle y = 1}$ ${\ Displaystyle p = 1, q = 0.}$

Dwa różne okręgi Forda są rozłączne lub styczne do siebie. Żadne dwa wnętrza okręgów Forda nie przecinają się, mimo że istnieje okrąg Forda styczny do osi x w każdym jego punkcie o wymiernych współrzędnych. Jeśli jest między 0 a 1, okręgi Forda, do których są styczne, można opisać różnie jako ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle C [p / q]}$

kręgi, w których ${\ displaystyle C [r / s]}$ ${\ Displaystyle | ps-qr | = 1,}$
okręgi związane z ułamkami, które są sąsiadami w jakiejś sekwencji Fareya , lub ${\ displaystyle r / s}$ ${\ displaystyle p / q}$
okręgi, w których znajduje się następny większy lub następny mniejszy przodek w drzewie Sterna-Brocota lub gdzie znajduje się następny większy lub następny mniejszy przodek . ${\ displaystyle C [r / s]}$ ${\ displaystyle r / s}$ ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle r / s}$

Jeśli i są dwoma stycznymi okręgami Forda, wówczas okrąg przechodzący przez i (współrzędne x środków okręgów Forda) i który jest prostopadły do -osi (której środek znajduje się na osi x) również przechodzi przez punkt, w którym oba okręgi są do siebie styczne. ${\ displaystyle C [p / q]}$ ${\ displaystyle C [r / s]}$ ${\ Displaystyle (p / q, 0)}$ ${\ displaystyle (r / s, 0)}$ ${\ displaystyle x}$

Okręgi Forda można również traktować jako krzywe na płaszczyźnie złożonej . Modułowy grupę przekształceń płaszczyzny zespolonej odwzorowuje Ford koła do innych kręgów Forda.

Okręgi Forda to podzbiór okręgów w uszczelce apollińskiej generowanych przez linie i oraz okrąg ${\ displaystyle y = 0}$ ${\ displaystyle y = 1}$ ${\ Displaystyle C [0/1].}$

Interpretując górną połowę płaszczyzny zespolonej jako model płaszczyzny hiperbolicznej (model półpłaszczyzny Poincarégo ), okręgi Forda można interpretować jako horocykle . W geometrii hiperbolicznej przystające są dowolne dwa horocykle . Kiedy te horocycles są ograniczone przez apeirogons one płytek hiperboliczny samolot z zamówień 3 apeirogonal kafli .

Ostatnim pytaniem egzaminu 2015A AMC jest znalezienie sumy odwrotności obwodów kół Forda.

Całkowita powierzchnia okręgów Forda

Istnieje związek między obszarze Ford okręgi, funkcja totient Eulera z funkcją zeta Riemanna i stała apéry'ego Ponieważ żadne dwa okręgi przecinają się Ford, wynika natychmiast, że łącznej powierzchni kręgów Ford ${\ displaystyle \ varphi,}$ ${\ displaystyle \ zeta,}$ ${\ Displaystyle \ zeta (3).}$

{\ Displaystyle \ lewo \ {C [p, q]: 0 <{\ Frac {p} {q}} \ równoważnik 1 \ prawo \}}

jest mniejsza niż 1. W rzeczywistości całkowita powierzchnia tych okręgów Forda jest określona jako zbieżna suma, którą można oszacować. Z definicji obszar ten jest

{\ Displaystyle A = \ suma _ {q \ geq 1} \ suma _ {(p, q) = 1 \ na szczycie 1 \ równoważnik p <q} \ pi \ lewo ({\ Frac {1} {2q ^ {2 }}} \ right) ^ {2}.}

Upraszczając to wyrażenie daje

{\ Displaystyle A = {\ Frac {\ pi} {4}} \ sum _ {q \ geq 1} {\ Frac {1} {q ^ {4}}} \ sum _ {(p, q) = 1 \ atop 1 \ leq p <q} 1 = {\ frac {\ pi} {4}} \ sum _ {q \ geq 1} {\ frac {\ varphi (q)} {q ^ {4}}} = {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ zeta (3)} {\ zeta (4)}},}

gdzie ostatnia równość odzwierciedla funkcję generującą Dirichleta dla funkcji totalnej Eulera Ponieważ ostatecznie się to stanie ${\ Displaystyle \ varphi (q).}$ ${\ Displaystyle \ zeta (4) = \ pi ^ {4} / 90,}$

{\ Displaystyle A = {\ Frac {45} {2}} {\ Frac {\ zeta (3)} {\ pi ^ {3}}} \ około 0,872284041.}

Należy zauważyć, że zgodnie z konwencją poprzednie obliczenia wykluczyły okrąg o promieniu odpowiadający ułamkowi . Obejmuje pełne koło dla , którego połowa leży poza przedziałem jednostkowym, stąd suma jest nadal ułamkiem kwadratu jednostkowego pokrytego okręgami Forda. ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {0} {1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1}}}$

Kule Forda (3D)

Sfery Forda znajdują się ponad złożoną domeną

Pojęcie okręgów Forda można uogólnić od liczb wymiernych do wymiernych Gaussa , dając sfery Forda. W tej konstrukcji liczby zespolone są osadzone jako płaszczyzna w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , a dla każdego racjonalnego punktu Gaussa na tej płaszczyźnie konstruuje się sferę styczną do płaszczyzny w tym punkcie. Dla racjonalnej Gaussa przedstawiony w najniższych warunkach jak średnica tej dziedzinie powinno być w którym oznacza sprzężoną liczbę zespoloną o . Powstałe sfery są styczne dla par Gaussa wymiernych i z , a w przeciwnym razie nie przecinają się wzajemnie. ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle 1 / q {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle P / Q}$ ${\ displaystyle p / q}$ ${\ Displaystyle | Pq-pQ | = 1}$