Skończona przestrzeń topologiczna - Finite topological space

W matematyce , o skończona przestrzeń topologiczna jest przestrzenią topologiczną , dla których podstawowa wartość zadana jest skończony . Oznacza to, że jest to przestrzeń topologiczna, w przypadku której istnieje tylko skończenie wiele punktów.

Podczas gdy topologia została opracowana głównie dla nieskończonych przestrzeni, skończone przestrzenie topologiczne są często używane do dostarczania przykładów interesujących zjawisk lub kontrprzykładów dla prawdopodobnie brzmiących przypuszczeń. William Thurston nazwał badanie topologii skończonych w tym sensie „dziwacznym tematem, który może dać dobry wgląd w różnorodne pytania”.

Topologie na skończonym zbiorze

Jako ograniczona podgrodzica

Topologia na zbiorze X jest określona jako podzbiór P ( X ), przy czym zestaw zasilania z X , obejmująca ∅ i X i jest zamknięta na podstawie skończonego przecięcia i dowolnych związków .

Ponieważ potęga zbioru skończonego jest skończona, może być tylko skończenie wiele zbiorów otwartych (i tylko skończenie wiele zbiorów zamkniętych ). Dlatego wystarczy sprawdzić, czy suma skończonej liczby zbiorów otwartych jest otwarta. Prowadzi to do prostszego opisu topologii na skończonym zbiorze.

Niech X będzie zbiorem skończonym. Topologia na X jest podzbiorem τ P ( X ) takim, że

1. ∅ ∈ τ i X ∈ τ
2. jeśli U i V są w τ, to U ∪ V ∈ τ
3. jeśli U i V są w τ, to U ∩ V ∈ τ

Topologia na skończonym zbiorze jest więc niczym innym jak podstatką ( P ( X ), ⊂), która zawiera zarówno element dolny (∅), jak i element górny ( X ).

Każda skończona krata jest kompletna, ponieważ spotkanie lub połączenie dowolnej rodziny elementów można zawsze zredukować do spotkania lub połączenia dwóch elementów. Wynika z tego, że w skończonej przestrzeni topologicznej suma lub przecięcie dowolnej rodziny zbiorów otwartych (względnie zbiorów zamkniętych) jest otwarte (względnie zamknięte).

Przedsprzedaż specjalizacji

Topologie na skończonego zbioru X są w korespondencji jeden do jednego z przedsprzedaży na X . Przypomnij sobie, że preorder na X jest relacją binarną na X, która jest zwrotna i przechodnia .

Biorąc pod uwagę (niekoniecznie skończoną) przestrzeń topologiczną X , możemy zdefiniować preorder na X przez

x ≤ y wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ cl { y }

gdzie Cl { R } oznacza zamknięcie z jednoelementowy zestaw { a }. Ten preorder nazywa się zamĂłwienia przedpremierowego specjalizacji na X . Każda otwarta zestaw U z X będzie górny zestaw względem ≤ (to znaczy, jeśli x ∈ U i x ≤ y czym R ∈ U ). Teraz, jeśli X jest skończony, odwrotne jest również prawdziwe: każda górna zbiór jest otwarty w X . Zatem dla skończonych przestrzeni topologia na X jest jednoznacznie określona przez ≤.

Idąc w innym kierunku, załóżmy, że ( X , ≤) jest zbiorem z góry uporządkowanym. Zdefiniuj topologię τ na X , przyjmując zbiory otwarte jako zbiory górne w odniesieniu do ≤. Wtedy relacja ≤ będzie preorderem specjalizacji ( X , τ). Zdefiniowana w ten sposób topologia nazywana jest topologią Aleksandrowa wyznaczoną przez ≤.

Równoważność między preorderami i skończonymi topologiami może być interpretowana jako wersja twierdzenia Birkhoffa o reprezentacji , równoważność między skończonymi kratami dystrybucyjnymi (krata zbiorów otwartych topologii) i częściowymi porządkami (częściowy porządek klas równoważności porządku wstępnego). Ta korespondencja działa również dla większej klasy przestrzeni zwanych przestrzeniami skończenie generowanymi . Przestrzenie skończone można scharakteryzować jako przestrzenie, w których dowolne przecięcie zbiorów otwartych jest otwarte. Skończone przestrzenie topologiczne to specjalna klasa przestrzeni skończonych.

Przykłady

0 lub 1 pkt

Na pustym zbiorze ∅ istnieje unikalna topologia . Jedynym otwartym zestawem jest ten pusty. Rzeczywiście, jest to jedyny podzbiór ∅.

Podobnie, istnieje unikalna topologia w pojedynczym zbiorze { a }. Tutaj otwarte zbiory to ∅ i { a }. Ta topologia jest zarówno dyskretna, jak i trywialna , chociaż pod pewnymi względami lepiej jest myśleć o niej jako o przestrzeni dyskretnej, ponieważ ma więcej właściwości z rodziną skończonych przestrzeni dyskretnych.

Dla każdej przestrzeni topologicznej X istnieje unikalna funkcja ciągła od ∅ do X , a mianowicie funkcja pusta . Istnieje również unikalna funkcja ciągła od X do przestrzeni singletonowej { a }, a mianowicie funkcja stała do a . W języku teorii kategorii pusta przestrzeń służy jako obiekt wyjściowy w kategorii przestrzeni topologicznych, a przestrzeń singletonowa jako obiekt końcowy .

2 punkty

Niech X = { a , b } będzie zbiorem z 2 elementami. Istnieją cztery różne topologie na X :

1. {∅, { a , b }} ( trywialna topologia )
2. {∅, { a }, { a , b }}
3. {∅, { b }, { a , b }}
4. {∅, { a }, { b }, { a , b }} ( topologia dyskretna )

Łatwo zauważyć, że druga i trzecia topologia powyżej jest homeomorficzna . Funkcja z X do siebie, która zamienia a i b jest homeomorfizmem. Przestrzeń topologiczna homeomorficzna dla jednej z nich nazywana jest przestrzenią Sierpińskiego . Tak więc w rzeczywistości istnieją tylko trzy nierówne topologie w dwupunktowym zbiorze: trywialna, dyskretna i Sierpińskiego.

Preorder specjalizacyjny w przestrzeni Sierpińskiego { a , b } z otwartym { b } wynosi: a ≤ a , b ≤ b i a ≤ b .

3 punkty

Niech X = { a , b , c } będzie zbiorem 3-elementowym. Na X jest 29 różnych topologii, ale tylko 9 nierównych topologii:

1. {∅, { a , b , c }}
2. {∅, { c }, { a , b , c }}
3. {∅, { a , b }, { a , b , c }}
4. {∅, { c }, { a , b }, { a , b , c }}
5. {∅, { c }, { b , c }, { a , b , c }}
6. {∅, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }}
7. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }}
8. {∅, { b }, { c }, { a , b }, { b , c }, { a , b , c }}
9. {∅, { a }, { b }, { c }, { a , b }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }}

Ostatnich 5 z nich to wszystkie T ₀ . Pierwszy z nich jest trywialny, gdy w 2, 3 i 4 punktów i b są topologicznie nierozróżnialne .

4 punkty

Niech X = { a , b , c , d } będzie zbiorem 4-elementowym. Na X istnieje 355 różnych topologii, ale tylko 33 nierówne topologie:

1. {∅, { a , b , c , d }}
2. {∅, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
3. {∅, { a }, { a , b , c , d }}
4. {∅, { a }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
5. {∅, { a , b }, { a , b , c , d }}
6. {∅, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
7. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c , d }}
8. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c , d }}
9. {∅, { a , b , c }, { d }, { a , b , c , d }}
10. {∅, { a }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
11. {∅, { a }, { a , b , c }, { d }, { a , d }, { a , b , c , d }}
12. {∅, { a }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
13. {∅, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }}
14. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
15. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }}
16. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { d }, { a , b , d }, { c , d }, { a , b , c , d }}
17. {∅, { b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
18. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
19. {∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
20. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
21. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
22. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
23. {∅, { a }, { a , b }, { c }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
24. {∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
25. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
26. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
27. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
28. {∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
29. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
30. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
31. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
32. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d } } ( T ₀ )
33. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { d }, { a , d } , { b , d }, { a , b , d }, { c , d }, { a , c , d }, { b , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )

Ostatnie 16 z nich to wszystkie T ₀ .

Nieruchomości

Zwartość i policzalność

Każda ograniczona przestrzeń topologiczna jest zwarta, ponieważ każda otwarta pokrywa musi już być skończona. Rzeczywiście, często uważa się, że zwarte przestrzenie są uogólnieniem skończonych przestrzeni, ponieważ mają one wiele takich samych właściwości.

Każda skończona przestrzeń topologiczna jest również policzalna jako druga (istnieje tylko skończenie wiele zbiorów otwartych) i rozłączalna (ponieważ sama przestrzeń jest policzalna ).

Aksjomaty separacji

Jeśli skończona przestrzeń topologiczna to T ₁ (w szczególności jeśli jest to Hausdorff ), to w rzeczywistości musi być dyskretna. Dzieje się tak, ponieważ dopełnienie punktu jest skończonym połączeniem punktów zamkniętych, a zatem jest zamknięte. Wynika z tego, że każdy punkt musi być otwarty.

Dlatego żadna skończona przestrzeń topologiczna, która nie jest dyskretna, nie może być T ₁ , Hausdorffa ani czymkolwiek silniejszym.

Jednak niedyskretną przestrzenią skończoną może być T ₀ . Ogólnie rzecz biorąc, dwa punkty x i y są topologicznie nierozróżnialne wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ y i y ≤ x , gdzie ≤ jest preorder specjalizacja na X . Wynika z tego, że spacja X to T ₀ wtedy i tylko wtedy, gdy zamówienie wstępne na specjalizację ≤ na X jest zamówieniem częściowym . Na skończonym zbiorze istnieje wiele zleceń częściowych. Każdy definiuje unikalną topologię T ₀ .

Podobnie spacja jest R ₀ wtedy i tylko wtedy, gdy zamówienie wstępne specjalizacji jest relacją równoważności. Biorąc pod uwagę każdą relację równoważności na skończonego zbioru X powiązany topologii jest topologia partycji na X . Klasy równoważności będą klasami topologicznie nierozróżnialnych punktów. Ponieważ topologia partycji jest pseudometrizowalna , skończona przestrzeń ma wartość R ₀ wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowicie regularna .

Niedyskretne ograniczone przestrzenie mogą być również normalne . Wykluczone Topologia punkt w każdym skończonego zbioru jest zupełnie normalna , T ₀ przestrzeń, która nie jest dyskretna.

Łączność

Łączność w skończonej przestrzeni X jest najbardziej zrozumiałe zważywszy na zamĂłwienia przedpremierowego specjalizacji ≤ X . Można skojarzyć z każdym preordered zestaw X jest skierowany wykres y poprzez punkty X jako wierzchołki i rysunku krawędź x → Y , gdy x ≤ y . Łączność skończonej przestrzeni X można zrozumieć, biorąc pod uwagę łączność skojarzonego wykresu Γ.

W dowolnej przestrzeni topologicznej, jeśli x ≤ y, to istnieje ścieżka od x do y . Można po prostu wziąć f (0) = x i f ( t ) = y dla t > 0. Łatwo jest sprawdzić, czy f jest ciągłe. Wynika z tego, że składowe ścieżki skończonej przestrzeni topologicznej są dokładnie (słabo) połączonymi składnikami skojarzonego grafu Γ. Oznacza to, że istnieje ścieżka topologiczna od x do y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niekierowana ścieżka między odpowiednimi wierzchołkami Γ.

Każda skończona przestrzeń jest lokalnie połączona ścieżką od zbioru

${\ Displaystyle \ mathop {\ uparrow} x = \ {y \ w X: x \ równoważnik y \}}$

Jest to ścieżka połączone otwarte sąsiedztwo z X , który jest zawarty w każdej innej dzielnicy. Innymi słowy, ten pojedynczy zbiór tworzy lokalną bazę w punkcie x .

Dlatego skończona przestrzeń jest połączona wtedy i tylko wtedy, gdy jest połączona ścieżką. Połączone komponenty są dokładnie komponentami ścieżki. Każdy taki element jest jednocześnie zamknięty i otwarty w X .

Skończone przestrzenie mogą mieć silniejsze właściwości połączeniowe. Skończona przestrzeń X jest

• hiperłącza wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje największy element w odniesieniu do zamówienia w przedsprzedaży specjalizacji. Jest to element, którego zamknięcie jest cała przestrzeń X .
• ultraconnected wtedy i tylko wtedy, gdy jest najmniej elementu w odniesieniu do preorder specjalizacji. Jest to element, którego tylko okolica jest cała przestrzeń X .

Na przykład, konkretna topologia punktów w skończonej przestrzeni jest hiperpołączona, podczas gdy topologia wykluczonych punktów jest ultrapołączona. Przestrzeń Sierpińskiego to jedno i drugie.

Dodatkowa konstrukcja

Skończona przestrzeń topologiczna jest pseudometrizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest R ₀ . W tym przypadku jeden możliwy pseudometryczny jest podany przez

${\ Displaystyle d (x, y) = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i x \ equiv y \\ 1 & x \ not \ equiv y \ end {przypadków}}}$

gdzie x ≡ y oznacza, że x i y są topologicznie nierozróżnialne . Skończona przestrzeń topologiczna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest dyskretna.

Podobnie, przestrzeń topologiczna jest jednorodna wtedy i tylko wtedy, gdy jest R ₀ . Struktura jednolita będzie pseudometric jednorodność wywołane przez wyżej pseudometric.

Topologia algebraiczna

Być może zaskakujące jest, że istnieją skończone przestrzenie topologiczne z nietrywialnymi grupami podstawowymi . Prostym przykładem jest pseudokręg , który jest przestrzenią X z czterema punktami, z których dwa są otwarte, a dwa zamknięte. Istnieje ciągła mapy z okręgu jednostkowym S ¹ do X, który jest słabo homotopy równoważności (tj indukuje izomorfizm z grupy homotopii ). Wynika z tego, że podstawowa grupa pseudokręgu jest nieskończenie cykliczna .

Bardziej ogólnie zostało wykazane, że dla dowolnego skończonego abstrakcyjnego kompleksu uproszczonego K istnieje skończona przestrzeń topologiczna X _K i słaba równoważność homotopii f  : | K | → X _K gdzie | K | jest geometryczne realizacji z K . Wynika z tego, że grupy homotopii | K | i X _K są izomorficzne. W rzeczywistości bazowy zbiór X _K może być traktowany jako sam K , z topologią skojarzoną z częściowym porządkiem włączenia.

Liczba topologii w skończonym zbiorze

Jak omówiono powyżej, topologie skończonego zbioru są w korespondencji jeden do jednego z zamówieniami wstępnymi w zestawie, a topologie T ₀ są w korespondencji jeden do jednego z porządkami częściowymi . Dlatego liczba topologii w skończonym zbiorze jest równa liczbie zamówień wstępnych, a liczba topologii T ₀ jest równa liczbie zamówień częściowych.

Poniższa tabela przedstawia liczbę różnych (T ₀ ) topologii w zestawie zawierającym n elementów. Zawiera również listę nierównomiernych (tj. Niehomeomorficznych ) topologii.

Liczba topologii w zbiorze z n punktami

n	Odrębne topologie	Odrębne topologie T 0	Nierównoważne topologie	Nierównoważne topologie T 0
0	1	1	1	1
1	1	1	1	1
2	4	3	3	2
3	29	19	9	5
4	355	219	33	16
5	6942	4231	139	63
6	209527	130023	718	318
7	9535241	6129859	4535	2045
8	642779354	431723379	35979	16999
9	63260289423	44511042511	363083	183231
10	8977053873043	6611065248783	4717687	2567284
OEIS	A000798	A001035	A001930	A000112

Niech T ( n ) oznacza liczbę różnych topologii w zbiorze z n punktami. Nie jest znana prosta formuła do obliczenia T ( n ) dla dowolnego n . Online Encyklopedia Integer sekwencji obecnie można znaleźć T ( n ) dla n ≤ 18.

Liczba różnych topologii T ₀ w zbiorze z n punktami, oznaczona T ₀ ( n ), jest powiązana z T ( n ) wzorem

${\ Displaystyle T (n) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) \, T_ {0} (k)}$

gdzie S ( n , k ) oznacza liczbę Stirlinga drugiego rodzaju .

Zobacz też

• Skończona geometria
• Skończona przestrzeń metryczna
• Kombinatoryka topologiczna

Bibliografia

• Stong, Robert E. (1966). „Skończone przestrzenie topologiczne” (PDF) . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 123 : 325–340. doi : 10.1090 / s0002-9947-1966-0195042-2 . MR   0195042 .
• Pojedyncze grupy homologii i grupy homotopii skończonych przestrzeni topologicznych, Michael C. McCord, Duke Math. J. Tom 33, numer 3 (1966), 465-474.
• Barmak, Jonathan (2011). Topologia algebraiczna skończonych przestrzeni topologicznych i zastosowań . Skoczek. ISBN   978-3-642-22002-9 .
• Merrifield, Richard; Simmons, Howard E. (1989). Metody topologiczne w chemii . Wiley. ISBN   978-0-471-83817-3 .

Linki zewnętrzne

• Uwagi i materiały do ​​czytania na temat skończonych przestrzeni topologicznych , JP MAJ