Rozszerzenie pola - Field extension

W matematyce , szczególnie w algebrze , o rozszerzenie ciała jest para dziedzinach takich, że operacje E są te F ograniczone do E . W tym przypadku F jest pole rozszerzenie z E i E to podpole z F . Na przykład, zgodnie ze zwykłymi pojęciami dodawania i mnożenia , liczby zespolone są polem rozszerzenia liczb rzeczywistych ; liczby rzeczywiste są podpolem liczb zespolonych.

Rozszerzenia pola mają fundamentalne znaczenie w algebraicznej teorii liczb oraz w badaniu pierwiastków wielomianowych za pomocą teorii Galois i są szeroko stosowane w geometrii algebraicznej .

Podpole

Podpole z pola L jest podzbiorem K z L to pole w odniesieniu do prac polowych odziedziczonych L . Równoważnie podpole jest podzbiorem, który zawiera 1 i jest zamknięty w ramach operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i odwrotności niezerowego elementu K .

Ponieważ 1 – 1 = 0 , druga definicja implikuje, że K i L mają ten sam element zerowy.

Na przykład, ciało liczb wymiernych jest podciałem liczb rzeczywistych , które samo jest podciałem liczb zespolonych. Mówiąc bardziej ogólnie, ciało liczb wymiernych jest (lub jest izomorficzne z) podciałem dowolnego ciała o charakterystyce 0.

Charakterystyczne z podpole jest takie same jak charakterystyki większym obszarze.

Pole rozszerzenia

Jeśli K jest podpole z L , a następnie L jest pole rozszerzenie lub po prostu przedłużenie od K , a ta para pól jest rozszerzenie ciała . Takie rozszerzenie pola jest oznaczane L / K (czytaj „ L nad K ”).

Jeśli L jest rozszerzeniem F , które z kolei jest rozszerzeniem K , wtedy F jest pośrednim polem (lub pośrednim rozszerzeniem lub podrozszerzeniem ) L / K .

Mając rozszerzenie pola L / K , większe pole L jest przestrzenią K - wektorową . Wymiar tej przestrzeni wektor jest zwany stopień rozszerzenia jest oznaczona [ L  :  K ].

Stopień rozszerzenia wynosi 1 wtedy i tylko wtedy, gdy oba pola są równe. W tym przypadku rozszerzenie jest rozszerzeniem trywialnym . Rozszerzenia stopnia 2 i 3 nazywane są odpowiednio przedłużeniami kwadratowymi i sześciennymi . Skończone rozszerzenie jest rozszerzeniem, które ma skończoną stopnia.

Biorąc pod uwagę dwa rozszerzenia L / K i M / L , rozszerzenie M / K jest skończone wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno L / K i M / L są skończone. W tym przypadku trzeba

Biorąc pod uwagę rozszerzenie ciała L / K i podzbiór S z L , jest najmniejsza podpolem L , który zawiera K i S . Jest to przecięcie wszystkich podpól L, które zawierają K i S i jest oznaczone przez K ( S ). Jedna z nich mówi, że K ( S ) jest pole generowane przez S nad K , a S jest zespół prądotwórczy z K ( S ) przez K . Kiedy jest skończone, piszemy zamiast i mówimy, że K ( S ) jest skończenie generowane nad K . Jeżeli S składa się z pojedynczego elementu s , rozszerzenie K ( s )/ K nazywane jest rozszerzeniem prostym, a s jest elementem pierwotnym rozszerzenia.

Często mówi się, że pole rozszerzenia postaci K ( S ) wynika z adjunction odSdoK.

W charakterystyce 0 każde rozszerzenie skończone jest rozszerzeniem prostym. Jest to twierdzenie o elementach pierwotnych , które nie jest prawdziwe dla pól o niezerowej charakterystyce.

Jeśli proste rozszerzenie K ( s )/ K nie jest skończone, ciało K ( s ) jest izomorficzne z ciałem ułamków wymiernych w s przez K .

Zastrzeżenia

Oznaczenie L / K jest czysto formalnych i nie pociąga za sobą tworzenie się pierścienia iloraz lub iloraz grupy lub innego rodzaju podziału. Zamiast tego ukośnik wyraża słowo „nad”. W niektórych publikacjach używa się notacji L : K.

Często pożądane jest mówienie o rozszerzeniach pól w sytuacjach, gdy małe pole nie jest w rzeczywistości zawarte w większym, ale jest naturalnie osadzone. W tym celu abstrakcyjnie definiuje się rozszerzenie pola jako iniekcyjny homomorfizm pierścienia między dwoma polami. Każdy niezerowy homomorfizm pierścienia między polami jest iniekcyjny, ponieważ pola nie posiadają nietrywialnych ideałów właściwych, więc rozszerzenia pól są dokładnie morfizmami w kategorii pól .

Odtąd pominiemy homomorfizm iniekcyjny i założymy, że mamy do czynienia z rzeczywistymi podpolami.

Przykłady

Ciała liczb zespolonych jest ciałem rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych , a z kolei ciałem rozszerzenia ciała liczb wymiernych . Oczywiście jest to również rozszerzenie pola. Mamy, ponieważ jest podstawą, więc rozszerzenie jest skończone. Jest to proste rozszerzenie, ponieważ ( liczność kontinuum ), więc to rozszerzenie jest nieskończone.

Pole

jest polem rozszerzeń również wyraźnie prostym rozszerzeniem. Stopień to 2, ponieważ może służyć jako podstawa.

Pole

Jest to pole rozszerzenie zarówno i stopnia 2 i 4 odpowiednio. Jest to również proste rozszerzenie, jak można to wykazać

Rozszerzenia skończone są również nazywane ciałami liczb algebraicznych i są ważne w teorii liczb . Innym rozszerzeniem ciała wymiernych, które również jest ważne w teorii liczb, choć nie jest rozszerzeniem skończonym, jest ciało liczb p-adycznych dla liczby pierwszej p .

Powszechne jest skonstruowanie polu rozszerzenia pola określonego K w postaci pierścienia iloraz z wielomianu pierścienia K [ X ], w celu „stworzenie” korzeń dla danego wielomianu f ( X ). Załóżmy na przykład, że K nie zawiera żadnego elementu x przy x 2 = -1. Następnie wielomian jest nierozkładalny w K [ X ] i stąd idealny wytwarzane przez tego wielomianu jest maksymalna i stanowi obszar przedłużenia K , które nie zawierają element, którego kwadraty 1 (a mianowicie klasa reszta X ).

Iterując powyższą konstrukcję, można skonstruować ciało rozszczepienia dowolnego wielomianu z K [ X ]. Jest to rozszerzenie pola L od K, w którym dany wielomian dzieli się na iloczyn czynników liniowych.

Jeśli p jest dowolną liczbą pierwszą, a n jest dodatnią liczbą całkowitą, mamy skończone ciało GF( p n ) z p n elementów; jest to rozszerzenie ciała skończonego z elementami p .

Mając ciało K , możemy rozważyć ciało K ( X ) wszystkich funkcji wymiernych w zmiennej X ze współczynnikami w K ; elementy K ( X ) są ułamkami dwóch wielomianów nad K , i rzeczywiście K ( X ) jest ciałem ułamków pierścienia wielomianowego K [ X ]. To pole funkcji wymiernych jest rozszerzeniem pola K . To rozszerzenie jest nieskończone.

Mając powierzchnię Riemanna M , zbiór wszystkich funkcji meromorficznych zdefiniowanych na M jest polem oznaczonym jako To jest transcendentalnym ciałem rozszerzenia, jeśli utożsamiamy każdą liczbę zespoloną z odpowiadającą jej stałą funkcją zdefiniowaną na M . Bardziej ogólnie, podać algebraiczną odmiany V nad niektóre pola K , wówczas pole funkcyjne z V , składający się z racjonalnych funkcji określonych w V i oznaczonych K ( V ), jest obszar przedłużenia K .

Rozszerzenie algebraiczne

Element x rozszerzenia pola L / K jest algebraiczny względem K , jeśli jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach w K . Na przykład jest algebraiczny nad liczbami wymiernymi, ponieważ jest pierwiastkiem Jeśli element x z L jest algebraiczny nad K , wielomian moniczny najniższego stopnia, którego pierwiastek x jest nazywany wielomianem minimalnym z x . Ten wielomian minimalny jest nieredukowalny po K .

Element s z L jest algebraiczny względem K wtedy i tylko wtedy, gdy proste rozszerzenie K ( s )/ K jest rozszerzeniem skończonym. W tym przypadku stopień rozszerzenia jest równy stopień minimalnej wielomianu i podstawę K - przestrzeń wektorową K ( e ) składa się z , gdzie d jest zakres od minimalnej wielomianu.

Zestaw elementów L , które są algebraiczne nad K tworzą subextension, który jest nazywany algebraiczna zamknięcie z K na L . Wynika to z poprzedniej charakteryzacji: jeśli s i t są algebraiczne, rozszerzenia K ( s )/ K i K ( s )( t )/ K ( s ) są skończone. Zatem K ( s , t )/ K jest również skończone, podobnie jak podrozszerzenia K ( s ± t )/ K , K ( st )/ K i K (1/ s )/ K (jeśli s ≠0 ). Wynika z tego, że s ± t , st i 1/ s są algebraiczne.

Algebraiczna przedłużenie L / K jest przedłużeniem tak, że każdy element L jest algebraiczna nad K . Odpowiednio rozszerzenie algebraiczne jest rozszerzeniem generowanym przez elementy algebraiczne. Na przykład, jest rozszerzeniem algebraicznym , ponieważ i są algebraiczne over

Proste rozszerzenie jest algebraiczne wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończone. Oznacza to, że rozszerzenie jest algebraiczne wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą jego skończonych podrozszerzeń i że każde skończone rozszerzenie jest algebraiczne.

Każde ciało K ma domknięcie algebraiczne, które jest aż do izomorfizmu największym ciałem rozszerzenia K, które jest algebraiczne nad K , a także najmniejszym ciałem rozszerzenia takim, że każdy wielomian ze współczynnikami w K ma w sobie pierwiastek. Na przykład jest domknięciem algebraicznym , ale nie jest domknięciem algebraicznym , ponieważ nie jest algebraiczne (na przykład π nie jest algebraiczne ).

Rozszerzenie transcendentalne

Biorąc pod uwagę rozszerzenie pola L / K , podzbiór S z L jest nazywany algebraicznie niezależny od K , jeśli nie istnieje nietrywialna relacja wielomianowa ze współczynnikami w K pośród elementów S . Największy liczność algebraicznie w niezależny zespół jest nazywany stopień transcendencja z L / K . Zawsze można znaleźć zbiór S , algebraicznie niezależny od K , taki że L / K ( S ) jest algebraiczne. Taki zbiór S jest nazywana podstawą transcendencja z L / K . Wszystkie bazy transcendencji mają tę samą moc, równą stopniowi transcendencji rozszerzenia. Mówi się, że rozszerzenie L / K jestczysto transcendentalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza transcendencjiSodL/Ktaka, żeL=K(S). Takie rozszerzenie ma tę właściwość, że wszystkie elementyLoprócz tych zKsą transcendentalne względemK, ale istnieją jednak rozszerzenia o tej własności, które nie są czysto transcendentalne — klasa takich rozszerzeń przyjmuje postaćL/K ,gdzie obaLiKsą algebraicznie domknięte. Ponadto, jeśliL/Kjest czysto transcendentalne, aSjest transcendencją podstawy rozszerzenia, niekoniecznie wynika z tego, żeL=K(S). Rozważmy na przykład rozszerzenie, wktórymxjest transcendentalne nadZbiórjest algebraicznie niezależny, ponieważxjest transcendentalny. Oczywiście rozszerzeniejest algebraiczne, a więcjest bazą transcendencji. Nie generuje całego rozszerzenia, ponieważ wfornie ma wyrażenia wielomianowego. Ale łatwo zauważyć, żejest to baza transcendencji, która generuje,więc to rozszerzenie jest rzeczywiście czysto transcendentalne.

Rozszerzenia normalne, rozłączne i Galois

Algebraicznym przedłużenie L / K nazywa się normalnie , jeśli każdy wielomian nierozkładalny w K [ X ], który ma źródło w L całkowicie czynników na czynniki liniowa L . Każde rozszerzenie algebraiczne F / K dopuszcza domknięcie normalne L , które jest polem rozszerzenia F takim, że L / K jest normalne i które jest minimalne przy tej własności.

Rozszerzenie algebraiczne L / K nazywa się rozdzielnym , jeśli minimalny wielomian każdego elementu L przez K jest separowalny , tj. nie ma powtarzających się pierwiastków w domknięciu algebraicznym nad K . Rozszerzeniem Galois jest rozszerzenie ciała, które jest zarówno normalne i rozdzielne.

Konsekwencja twierdzenia o elementach pierwotnych mówi, że każde skończone separowalne rozszerzenie ma element pierwotny (tj. jest proste).

Mając dowolne rozszerzenie pola L / K , możemy rozważyć jego grupę automorfizmu Aut( L / K ), składającą się ze wszystkich automorfizmów pola α : LL z α ( x ) = x dla wszystkich x w K . Gdy rozszerzenie to Galois, ta grupa automorfizmu nazywana jest grupą Galois rozszerzenia. Rozszerzenia, których grupa Galois jest abelowa, nazywane są rozszerzeniami abelowymi .

Dla danego rozszerzenia pola L / K , często interesują się pola pośrednie F (podpola L zawierające K ). Znaczenie rozszerzeń Galois i grup Galois polega na tym, że umożliwiają one pełny opis pól pośrednich: istnieje bijekcja między polami pośrednimi i podgrupami grupy Galois, opisana przez podstawowe twierdzenie teorii Galois .

Uogólnienia

Rozszerzenia pola można uogólnić na rozszerzenia pierścienia, które składają się z pierścienia i jednego z jego podpierścieni . Bliższymi nieprzemiennymi analogami są centralne proste algebry (CSA) – rozszerzenia pierścienia nad ciałem, które są prostą algebrą (bez nietrywialnych dwustronnych ideałów, tak jak dla ciała) i gdzie środek pierścienia jest dokładnie pole. Na przykład jedynym skończonym rozszerzeniem pola liczb rzeczywistych są liczby zespolone, podczas gdy kwaterniony są centralną prostą algebrą nad liczbami rzeczywistymi, a wszystkie CSA nad liczbami rzeczywistymi są Brauerowskie odpowiednikami liczb rzeczywistych lub kwaternionów. CSA można dalej uogólnić do algebr Azumaya , w których pole bazowe jest zastąpione przemiennym pierścieniem lokalnym .

Rozszerzenie skalarów

Mając rozszerzenie pola, można " rozszerzyć skalary " na skojarzonych obiektach algebraicznych. Na przykład, mając daną rzeczywistą przestrzeń wektorową, można wytworzyć złożoną przestrzeń wektorową poprzez komplikację . Poza przestrzeniami wektorowymi, można wykonywać rozszerzanie skalarów dla algebr asocjacyjnych zdefiniowanych nad ciałem, takich jak wielomiany czy algebry grupowe i związane z nimi reprezentacje grupowe . Rozszerzenie skalarów wielomianów jest często używane w sposób dorozumiany, po prostu przez uwzględnienie współczynników jako elementów większego pola, ale może być również brane pod uwagę bardziej formalnie. Rozszerzenie skalarów ma wiele zastosowań, o czym mowa w rozszerzeniu skalarów: aplikacje .

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ Fraleigh (1976 , s. 293)
  2. ^ Herstein (1964 , s. 167)
  3. ^ McCoy (1968 , s. 116)
  4. ^ Fraleigh (1976 , s. 298)
  5. ^ Herstein (1964 , s. 193)
  6. ^ Fraleigh (1976 , s. 363)
  7. ^ Fraleigh (1976 , s. 319)
  8. ^ Herstein (1964 , s. 169)

Bibliografia

  • Fraleigh, John B. (1976), Pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej (2nd ed.), Czytanie: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
  • Herstein, IN (1964), Tematy z algebry , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
  • Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Poprawiony czwarty druk, poprawiony trzeci wyd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
  • McCoy, Neal H. (1968), Wprowadzenie do współczesnej algebry, wydanie poprawione , Boston: Allyn and Bacon , LCCN  68015225

Zewnętrzne linki