Prędkość ucieczki - Escape velocity

W fizyce (a konkretnie w mechanice nieba ) prędkość ucieczki jest minimalną prędkością potrzebną, aby swobodny, nie napędzany obiekt mógł uciec przed grawitacyjnym wpływem masywnego ciała, osiągając w ten sposób nieskończoną odległość od niego. Prędkość ucieczki rośnie wraz z masą ciała (ciała, z którego ma się wydostać) i spada wraz z odległością uciekającego obiektu od jego środka. Prędkość ucieczki zależy zatem od tego, jak daleko obiekt już przebył, a jej obliczenia na danej odległości uwzględniają fakt, że bez nowego przyspieszenia zwolni podczas podróży — z powodu grawitacji masywnego ciała — ale nigdy nie będzie całkowicie powoli do zatrzymania.

Rakieta, stale przyspieszana przez wydech, może uciec, nigdy nie osiągając prędkości ucieczki, ponieważ nadal dodaje energię kinetyczną ze swoich silników. Może osiągnąć ucieczkę przy dowolnej prędkości, jeśli ma wystarczającą ilość paliwa, aby zapewnić rakiecie nowe przyspieszenie w celu przeciwdziałania spowolnieniu grawitacyjnemu, a tym samym utrzymania jej prędkości.

Prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi wynosi około 11186 m / s (6,951 mil / s; 40270 km / h; 36700 ft / s; 25 020 mph; 21744 kn). Mówiąc bardziej ogólnie, prędkość ucieczki to prędkość, przy której suma energii kinetycznej obiektu i jego grawitacyjnej energii potencjalnej jest równa zeru; obiekt, który osiągnął prędkość ucieczki, nie znajduje się ani na powierzchni, ani na orbicie zamkniętej (o dowolnym promieniu). Z prędkością ucieczki w kierunku od ziemi masywnego ciała, obiekt oddali się od ciała, zwalniając na zawsze i zbliżając się, ale nigdy nie osiągając prędkości zerowej. Gdy prędkość ucieczki zostanie osiągnięta, nie trzeba już podawać żadnego impulsu, aby mógł kontynuować swoją ucieczkę. Innymi słowy, przy danej prędkości ucieczki, obiekt oddala się od drugiego ciała, stale spowalniając i asymptotycznie zbliża się do prędkości zerowej, gdy odległość obiektu zbliża się do nieskończoności , aby nigdy nie wrócić. Prędkości wyższe niż prędkość ucieczki zachowują dodatnią prędkość na nieskończonej odległości. Należy zauważyć, że minimalna prędkość ucieczki zakłada, że ​​nie ma tarcia (np. oporu atmosferycznego), które zwiększyłoby wymaganą prędkość chwilową, aby uciec przed wpływem grawitacji, oraz że nie będzie przyszłego przyspieszenia lub zewnętrznego spowolnienia (na przykład z ciągu lub z grawitacja innych ciał), co zmieniłoby wymaganą prędkość chwilową.

W przypadku sferycznie symetrycznego, masywnego ciała, takiego jak gwiazda lub planeta, prędkość ucieczki tego ciała w danej odległości oblicza się ze wzoru

gdzie G jest uniwersalną stałą grawitacyjną ( G ≈ 6,67×10 −11 m 3 ·kg −1 ·s −2 ), M masą ciała, z którego ma nastąpić ucieczka, a r odległością od środka masy ciała do obiektu. Zależność ta jest niezależna od masy obiektu uciekającego z masywnego ciała. I odwrotnie, ciało, które spada pod działaniem siły przyciągania grawitacyjnego masy M , od nieskończoności, zaczynając od zerowej prędkości, uderzy w masywny obiekt z prędkością równą jego prędkości ucieczki określonej tym samym wzorem.

Gdy otrzymamy prędkość początkową większą niż prędkość ucieczki, obiekt zbliży się asymptotycznie do nadmiernej prędkości hiperbolicznej, spełniając równanie:

W równaniach tych nie uwzględnia się tarcia atmosferycznego ( opór powietrza ).

Przegląd

Luna 1 , wystrzelona w 1959 roku, była pierwszym obiektem stworzonym przez człowieka, który osiągnął prędkość ucieczki z Ziemi (patrz tabela poniżej).

Istnienie prędkości ucieczki jest konsekwencją zachowania energii i pola energetycznego o skończonej głębokości. W przypadku obiektu o określonej całkowitej energii, który porusza się pod wpływem sił zachowawczych (takich jak statyczne pole grawitacyjne), obiekt może osiągnąć tylko kombinacje lokalizacji i prędkości, które mają tę całkowitą energię; a miejsca, które mają wyższą energię potencjalną niż ta, w ogóle nie są osiągalne. Dodając prędkość (energię kinetyczną) do obiektu, rozszerza możliwe miejsca, do których można dotrzeć, aż przy wystarczającej energii staną się nieskończone.

Dla danej grawitacyjnej energii potencjalnej w danej pozycji, prędkość ucieczki jest minimalną prędkością, jaką obiekt bez napędu musi być w stanie "uciec" z grawitacji (tj. aby grawitacja nigdy nie zdołała go cofnąć). Prędkość ucieczki jest w rzeczywistości prędkością (nie prędkością), ponieważ nie określa kierunku: bez względu na kierunek ruchu obiekt może uciec z pola grawitacyjnego (pod warunkiem, że jego ścieżka nie przecina planety).

Eleganckim sposobem na wyprowadzenie wzoru na prędkość ucieczki jest skorzystanie z zasady zachowania energii (inny sposób, oparty na pracy, patrz niżej ). Dla uproszczenia, o ile nie zaznaczono inaczej, zakładamy, że obiekt ucieknie z pola grawitacyjnego jednorodnej kulistej planety, oddalając się od niej i że jedyną znaczącą siłą działającą na poruszający się obiekt jest grawitacja planety. Wyobraź sobie, że statek kosmiczny o masie m znajduje się początkowo w odległości r od środka masy planety, której masa wynosi M , a jego prędkość początkowa jest równa prędkości ucieczki, . W stanie końcowym będzie znajdował się w nieskończonej odległości od planety, a jego prędkość będzie pomijalnie mała. Energia kinetyczna K i grawitacyjny potencjał energetyczny U g to jedyne rodzaje energii, które mamy do czynienia z (będziemy ignorować opór atmosfery), więc przez zachowania energii,

Możemy ustawić K final = 0, ponieważ prędkość końcowa jest arbitralnie mała, a U g final = 0, ponieważ odległość końcowa jest nieskończonością, więc

gdzie μ jest standardowym parametrem grawitacyjnym .

Ten sam wynik uzyskano przez relatywistycznego obliczeń, w którym to przypadku zmienna R oznacza PROMIENIOWYMI współrzędnych lub ograniczonej obwodem z Schwarzschilda metryczną .

Zdefiniowana nieco bardziej formalnie, „prędkość ucieczki” jest początkową prędkością wymaganą do przejścia od punktu początkowego w polu potencjału grawitacyjnego do nieskończoności i zakończenia w nieskończoności z resztkową prędkością równą zero, bez żadnego dodatkowego przyspieszenia. Wszystkie prędkości i prędkości są mierzone w odniesieniu do pola. Dodatkowo, prędkość ucieczki w punkcie przestrzeni jest równa prędkości, jaką miałby obiekt, gdyby zaczął w spoczynku z nieskończonej odległości i był przyciągany do tego punktu przez grawitację.

W powszechnym użyciu punkt początkowy znajduje się na powierzchni planety lub księżyca . Na powierzchni Ziemi prędkość ucieczki wynosi około 11,2 km/s, co jest w przybliżeniu 33-krotnością prędkości dźwięku (Mach 33) i kilkukrotnością prędkości wylotowej pocisku karabinowego (do 1,7 km/s). Jednak na wysokości 9000 km w „przestrzeni” jest to nieco mniej niż 7,1 km/s. Zauważ, że ta prędkość ucieczki odnosi się do nieobrotowego układu odniesienia, a nie do ruchomej powierzchni planety lub księżyca (patrz poniżej).

Prędkość ucieczki jest niezależna od masy uciekającego obiektu. Nie ma znaczenia, czy masa wynosi 1 kg czy 1000 kg; to, co się różni, to ilość potrzebnej energii. Dla obiektu o masie energia wymagana do ucieczki z pola grawitacyjnego Ziemi wynosi GMm / r , funkcja masy obiektu (gdzie r jest promieniem Ziemi , nominalnie 6371 kilometrów (3959 mil), G jest stałą grawitacyjną , a M to masa Ziemi , M = 5,9736 × 10 24 kg ). Powiązana wielkość to specyficzna energia orbitalna, która jest zasadniczo sumą energii kinetycznej i potencjalnej podzieloną przez masę. Obiekt osiągnął prędkość ucieczki, gdy określona energia orbitalna jest większa lub równa zeru.

Scenariusze

Z powierzchni ciała

Alternatywnym wyrażeniem na prędkość ucieczki, szczególnie przydatnym na powierzchni ciała, jest:

gdzie r jest odległością między środkiem ciała a punktem, w którym obliczana jest prędkość ucieczki, a g jest przyspieszeniem grawitacyjnym na tej odległości (tj. grawitacją powierzchniową ).

Dla ciała o sferycznie symetrycznym rozkładzie masy prędkość ucieczki z powierzchni jest proporcjonalna do promienia przy założeniu stałej gęstości i proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego ze średniej gęstości ρ.

gdzie

Zauważ, że ta prędkość ucieczki odnosi się do nieobrotowego układu odniesienia, a nie do ruchomej powierzchni planety lub księżyca, jak teraz wyjaśniamy.

Z obracającego się ciała

Prędkość ucieczki względem powierzchni wirującego ciała zależy od kierunku, w którym porusza się uciekające ciało. Na przykład, jak prędkość obrotowa Ziemi wynosi 465 m / s na równiku , rakieta rozpoczęła stycznie od równika ziemskiego na wschodzie wymaga prędkość początkową około 10,735 km / s względem powierzchni poruszającego się punktu startu do ucieczki podczas gdy rakieta wystrzelona stycznie z równika ziemskiego na zachód wymaga prędkości początkowej około 11,665 km/s względem tej ruchomej powierzchni . Prędkość powierzchniowa maleje wraz z cosinusem szerokości geograficznej, dlatego obiekty do wystrzeliwania w kosmos są często umieszczane tak blisko równika, jak to tylko możliwe, np. amerykański Cape Canaveral (szerokość geograficzna 28°28′ N) i Centrum Kosmiczne Gujany Francuskiej (szerokość geograficzna 5° 14′ N).

Względy praktyczne

W większości sytuacji osiągnięcie prędkości ucieczki niemal natychmiast jest niepraktyczne ze względu na związane z tym przyspieszenie, a także dlatego, że jeśli jest atmosfera, związane z nią prędkości hipersoniczne (na Ziemi prędkość 11,2 km/s lub 40 320 km/h) spowodować spalenie większości obiektów z powodu nagrzewania aerodynamicznego lub rozerwanie przez opór atmosferyczny . W przypadku rzeczywistej orbity ucieczki, statek kosmiczny będzie stopniowo przyspieszał poza atmosferą, aż osiągnie prędkość ucieczki odpowiednią dla jego wysokości (która będzie mniejsza niż na powierzchni). W wielu przypadkach statek kosmiczny może być najpierw umieszczony na orbicie parkingowej (np. na niskiej orbicie okołoziemskiej na 160–2000 km), a następnie rozpędzony do prędkości ucieczki na tej wysokości, która będzie nieco niższa (około 11,0 km/s na niska orbita okołoziemska wynosząca 200 km). Wymagana dodatkowa zmiana prędkości jest jednak znacznie mniejsza, ponieważ statek kosmiczny ma już znaczną prędkość orbitalną (na niskiej orbicie okołoziemskiej prędkość wynosi około 7,8 km/s lub 28.080 km/h).

Z orbitującego ciała

Prędkość ucieczki na danej wysokości jest pomnożona przez prędkość na orbicie kołowej na tej samej wysokości (porównaj to z równaniem prędkości na orbicie kołowej ). Odpowiada to faktowi, że energia potencjalna względem nieskończoności obiektu na takiej orbicie jest minus dwa razy jego energia kinetyczna, podczas gdy aby uciec suma energii potencjalnej i kinetycznej musi wynosić co najmniej zero. Prędkość odpowiadająca orbicie kołowej jest czasami nazywana pierwszą prędkością kosmiczną , podczas gdy w tym kontekście prędkość ucieczki nazywana jest drugą prędkością kosmiczną .

Dla ciała na orbicie eliptycznej, które chce przyspieszyć do orbity ucieczki, wymagana prędkość będzie się różnić i będzie największa w perycentrum, gdy ciało znajduje się najbliżej ciała centralnego. Jednak prędkość orbitalna ciała będzie również w tym punkcie najwyższa, a wymagana zmiana prędkości będzie najniższa, jak wyjaśnia efekt Obertha .

Barycentryczna prędkość ucieczki

Technicznie prędkość ucieczki może być mierzona albo względem drugiego, centralnego ciała, albo względem środka masy lub barycentrum układu ciał. Zatem w przypadku układów dwóch ciał termin prędkość ucieczki może być niejednoznaczny, ale zwykle ma oznaczać barycentryczną prędkość ucieczki ciała mniej masywnego. W polach grawitacyjnych prędkość ucieczki odnosi się do prędkości ucieczki cząstek testowych o zerowej masie względem barycentrum mas generujących pole. W większości sytuacji związanych ze statkiem kosmicznym różnica jest znikoma. Dla masy równej rakiecie Saturn V prędkość ucieczki względem wyrzutni jest 253,5 am /s (8 nanometrów na rok) większa niż prędkość ucieczki względem wzajemnego środka masy.

Wysokość trajektorii o mniejszej prędkości

Ignorując wszystkie czynniki inne niż siła grawitacji między ciałem a obiektem, obiekt wyrzucany pionowo z prędkością z powierzchni ciała kulistego o prędkości i promieniu ucieczki osiągnie maksymalną wysokość spełniającą równanie

co, rozwiązując dla h daje

gdzie jest stosunek pierwotnej prędkości do prędkości ucieczki

W przeciwieństwie do prędkości ucieczki, kierunek (pionowy w górę) jest ważny dla osiągnięcia maksymalnej wysokości.

Trajektoria

Jeśli obiekt osiągnie dokładnie prędkość ucieczki, ale nie zostanie skierowany bezpośrednio z planety, wtedy będzie podążał zakrzywioną ścieżką lub trajektorią. Chociaż ta trajektoria nie tworzy zamkniętego kształtu, można ją nazwać orbitą. Zakładając, że grawitacja jest jedyną znaczącą siłą w układzie, prędkość tego obiektu w dowolnym punkcie trajektorii będzie równa prędkości ucieczki w tym punkcie ze względu na zasadę zachowania energii, jego całkowita energia musi zawsze wynosić 0, co oznacza, że zawsze ma prędkość ucieczki; patrz wyprowadzenie powyżej. Kształt trajektorii będzie parabolą, której ognisko znajduje się w środku masy planety. Rzeczywista ucieczka wymaga kursu o trajektorii, która nie przecina się z planetą lub jej atmosferą, ponieważ spowodowałoby to awarię obiektu. Oddalając się od źródła, ścieżka ta nazywana jest orbitą ewakuacyjną . Orbity ewakuacyjne są znane jako orbity C3 = 0. C3 to energia charakterystyczna , = − GM /2 a , gdzie a jest wielką półoś , która jest nieskończona dla trajektorii parabolicznych.

Jeśli ciało ma prędkość większą niż prędkość ucieczki, to jego ścieżka utworzy trajektorię hiperboliczną i będzie miało nadmierną prędkość hiperboliczną, równoważną dodatkowej energii, jaką posiada ciało. Stosunkowo niewielka dodatkowa delta v powyżej, że potrzebne do przyspieszenia do prędkości ucieczki może spowodować stosunkowo dużej prędkości w nieskończoność. Niektóre manewry orbitalne wykorzystują ten fakt. Na przykład w miejscu, w którym prędkość ucieczki wynosi 11,2 km/s, dodanie 0,4 km/s daje hiperboliczną nadmierną prędkość wynoszącą 3,02 km/s:

Jeśli ciało na orbicie kołowej (lub na perycentrum orbity eliptycznej) przyspiesza wzdłuż swojego kierunku ruchu do prędkości ucieczki, punkt przyspieszenia utworzy perycentrum trajektorii ucieczki. Ostateczny kierunek jazdy będzie pod kątem 90 stopni do kierunku w punkcie przyspieszenia. Jeśli ciało przyspieszy do prędkości przekraczającej prędkość ucieczki, ostateczny kierunek ruchu będzie pod mniejszym kątem, co wskazuje jedna z asymptot trajektorii hiperbolicznej, którą teraz obiera. Oznacza to, że moment przyspieszenia jest krytyczny, jeśli zamierzasz uciec w określonym kierunku.

Jeżeli prędkość w perycentrum wynosi v , to mimośród trajektorii jest dana wzorem:

Dotyczy to trajektorii eliptycznych, parabolicznych i hiperbolicznych. Jeśli trajektoria jest hiperboliczna lub paraboliczna, będzie asymptotycznie zbliżać się pod kątem od kierunku w perycentrum, z

Prędkość zbliży się asymptotycznie

Lista prędkości ucieczki

W tej tabeli, lewa połowa podaje prędkość ucieczki z widocznej powierzchni (która może być gazowa, jak na przykład w przypadku Jowisza), w stosunku do środka planety lub księżyca (to znaczy, nie w stosunku do jego ruchomej powierzchni). W prawej połowie V e odnosi się do prędkości względem centralnego ciała (na przykład słońca), podczas gdy V te to prędkość (na widocznej powierzchni mniejszego ciała) względem mniejszego ciała (planety lub księżyca). ).

Lokalizacja Względem V e (km/s) Lokalizacja Względem V e (km/s) Ucieczka System V te (km / s)
Na Słońcu Grawitacja Słońca 617,5
Na Merkurym Grawitacja Merkurego 4.25 Na Merkurym Grawitacja Słońca ~ 67,7 ~ 20,3
Na Wenus Grawitacja Wenus 10.36 W Wenus Grawitacja Słońca 49,5 17,8
Na Ziemi Grawitacja Ziemi 11.186 Na Ziemi Grawitacja Słońca 42,1 16,6
Na Księżycu Grawitacja Księżyca 2,38 Na Księżycu Grawitacja Ziemi 1,4 2,42
Na Marsie Grawitacja Marsa 5.03 Na Marsie Grawitacja Słońca 34,1 11.2
Na Ceres Grawitacja Ceres 0,51 W Ceres Grawitacja Słońca 25,3 7,4
Na Jowiszu Grawitacja Jowisza 60,20 W Jowiszu Grawitacja Słońca 18,5 60,4
Na Io Grawitacja Io 2,558 w Io Grawitacja Jowisza 24,5 7,6
Na Europie Grawitacja Europy 2.025 W Europie Grawitacja Jowisza 19,4 6,0
Na Ganimedesie Grawitacja Ganimedesa 2,741 W Ganimedesie Grawitacja Jowisza 15,4 5,3
Na Kallisto Grawitacja Callisto 2.440 Na Kallisto Grawitacja Jowisza 11,6 4.2
Na Saturnie Grawitacja Saturna 36.09 Na Saturnie Grawitacja Słońca 13,6 36,3
Na Tytanie Grawitacja Tytana 2,639 Na Tytanie Grawitacja Saturna 7,8 3,5
Na Uranie Grawitacja Urana 21,38 U Urana Grawitacja Słońca 9,6 21,5
Na Neptunie Grawitacja Neptuna 23,56 W Neptunie Grawitacja Słońca 7,7 23,7
Na Trytonie Grawitacja Trytona 1.455 W Trytonie Grawitacja Neptuna 6,2 2,33
Na Plutonie Grawitacja Plutona 1.23 Na Plutonie Grawitacja Słońca ~ 6,6 ~ 2,3
W promieniu galaktycznym Układu Słonecznego Mlecznej sposób właściwy „y 492–594
Na horyzoncie wydarzeń A czarnej dziury „grawitacja 299 792 458 ( prędkość światła )

Ostatnie dwie kolumny będą zależeć dokładnie od tego, gdzie na orbicie zostanie osiągnięta prędkość ucieczki, ponieważ orbity nie są dokładnie kołowe (szczególnie Merkurego i Plutona).

Obliczanie prędkości ucieczki za pomocą rachunku różniczkowego

Niech G jest stałą grawitacji i pozwolić M jest masa ziemi (lub innego organu ciążą) i m jest masą ciała ucieczki lub pocisku. W odległości r od środka ciężkości ciało odczuwa siłę przyciągania

Praca potrzebna do przemieszczenia ciała na niewielką odległość dr wbrew tej sile jest zatem dana wzorem

Całkowita praca potrzebna do przemieszczenia ciała z powierzchni r 0 ciała grawitacyjnego do nieskończoności wynosi zatem

Aby wykonać tę pracę, aby osiągnąć nieskończoność, minimalna energia kinetyczna ciała przy odlocie musi odpowiadać tej pracy, więc prędkość ucieczki v 0 jest zadowalająca

Co skutkuje w

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ Grawitacyjna energia potencjalna jest ujemna, ponieważ grawitacja jest siłą przyciągającą i energia potencjalna została zdefiniowana w tym celu jako zero w nieskończonej odległości od środka ciężkości.
  2. ^ Wartość GM nazywana jest standardowym parametrem grawitacyjnym lub μ i często jest znana dokładniej niż G lub M osobno.

Bibliografia

Zewnętrzne linki