Program Erlangen - Erlangen program

W matematyce program Erlangen jest metodą charakteryzowania geometrii opartą na teorii grup i geometrii rzutowej . Została opublikowana przez Felixa Kleina w 1872 roku jako Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Nazwa pochodzi od Uniwersytetu Erlangen-Nürnberg , na którym pracował Klein.

Do 1872 roku pojawiły się geometrie nieeuklidesowe , ale bez możliwości określenia ich hierarchii i relacji. Metoda Kleina była zasadniczo innowacyjna z trzech powodów:

  • Podkreślono geometrię projekcyjną jako jednoczącą ramę dla wszystkich innych rozważanych przez niego geometrii. W szczególności geometria euklidesowa była bardziej restrykcyjna niż geometria afiniczna , która z kolei jest bardziej restrykcyjna niż geometria rzutowa.
  • Klein zaproponował, że teoria grup , gałąź matematyki, która wykorzystuje metody algebraiczne do abstrakcji idei symetrii , jest najbardziej użytecznym sposobem organizowania wiedzy geometrycznej; wówczas została już wprowadzona do teorii równań w postaci teorii Galois .

Później Élie Cartan uogólnił jednorodne przestrzenie modelu Kleina na połączenia Cartana na pewnych głównych wiązkach , co uogólniło geometrię Riemannowską .

Problemy geometrii XIX wieku

Od czasów Euklidesa geometria oznaczała geometrię przestrzeni euklidesowej o dwóch wymiarach ( geometria płaska ) lub o trzech wymiarach ( geometria bryłowa ). W pierwszej połowie XIX wieku sytuacja komplikowała kilka wydarzeń. Zastosowania matematyczne wymagały geometrii czterech lub więcej wymiarów ; dokładna analiza podstaw tradycyjnej geometrii euklidesowej ujawniła niezależność postulatu równoległego od innych i narodziła się geometria nieeuklidesowa . Klein zaproponował pomysł, że wszystkie te nowe geometrie są tylko specjalnymi przypadkami geometrii rzutowej , jak już opracowali Poncelet , Möbius , Cayley i inni. Klein również stanowczo zasugerował fizykom matematycznym, że nawet umiarkowane kultywowanie poglądów projekcyjnych może przynieść im znaczne korzyści.

Z każdą geometrią Klein skojarzył podstawową grupę symetrii . Hierarchia geometrii jest zatem matematycznie reprezentowana jako hierarchia tych grup i hierarchia ich niezmienników . Na przykład długości, kąty i obszary są zachowywane w odniesieniu do grupy symetrii euklidesowej , podczas gdy w najbardziej ogólnych przekształceniach rzutowych zachowane są tylko struktura padania i współczynnik krzyżowania . Pojęcie równoległości , które jest zachowane w geometrii afinicznej , nie ma znaczenia w geometrii rzutowej . Następnie, abstrahując podstawowe grupy symetrii z geometrii, relacje między nimi można przywrócić na poziomie grupy. Ponieważ grupa geometrii afinicznej jest podgrupą grupy geometrii rzutowej, każde pojęcie niezmienne w geometrii rzutowej ma a priori znaczenie w geometrii afinicznej; ale nie na odwrót. Jeśli usuniesz wymagane symetrie, uzyskasz potężniejszą teorię, ale mniej pojęć i twierdzeń (które będą głębsze i bardziej ogólne).

Jednorodne przestrzenie

Innymi słowy, „przestrzenie tradycyjne” to przestrzenie jednorodne ; ale nie dla wyjątkowo zdeterminowanej grupy. Zmiana grupy powoduje zmianę odpowiedniego języka geometrycznego.

W dzisiejszym języku wszystkie grupy zajmujące się klasyczną geometrią są bardzo dobrze znane jako grupy Liego : grupy klasyczne . Poszczególne relacje opisano dość prosto, używając języka technicznego.

Przykłady

Na przykład grupa geometrii rzutowej w n wymiarach o wartościach rzeczywistych to grupa symetrii n- wymiarowej rzeczywistej przestrzeni rzutowej ( ogólna grupa liniowa stopnia n + 1 , iloraziona macierzami skalarnymi ). Grupa afiniczna będzie podgrupą respektującą (mapującą do siebie, a nie ustalającą punktowo) wybraną hiperpłaszczyznę w nieskończoności . Ta podgrupa zawiera znanej strukturze ( iloczynów produkt o ogólnym grupę liniową stopnia n z podgrupy tłumaczeniu ). Opis ten mówi nam następnie, które właściwości są „afiniczne”. W terminach geometrii płaszczyzny euklidesowej bycie równoległobokiem jest afiniczne, ponieważ transformacje afiniczne zawsze przenoszą jeden równoległobok na inny. Bycie okręgiem nie jest afiniczne, ponieważ afiniczne ścinanie zmieni okrąg w elipsę.

Aby dokładnie wyjaśnić związek między geometrią afiniczną i euklidesową, musimy teraz określić grupę geometrii euklidesowej w grupie afinicznej. Grupa euklidesowa jest w rzeczywistości (używając poprzedniego opisu grupy afinicznej) pół-bezpośrednim iloczynem grupy ortogonalnej (rotacyjnej i refleksyjnej) z translacjami. (Zobacz geometrię Kleina, aby uzyskać więcej informacji).

Wpływ na późniejszą pracę

Długofalowe efekty programu Erlangen można dostrzec w całej matematyce (patrz na przykład milczące użycie przy kongruencji (geometria) ); a idea przekształceń i syntezy przy użyciu grup symetrii stała się standardem w fizyce .

Kiedy topologia jest rutynowo opisywana w kategoriach właściwości niezmiennych w homeomorfizmie , można zobaczyć, jak działa podstawowa idea. Grupy zaangażowane będą w prawie wszystkich przypadkach nieskończenie wymiarowe - a nie grupy Liego - ale filozofia jest taka sama. Oczywiście mówi to głównie o pedagogicznym wpływie Kleina. Książki, takie jak te autorstwa HSM Coxeter, rutynowo wykorzystywały podejście programu Erlangen, aby pomóc w umieszczaniu geometrii. W kategoriach pedagogicznych program stał się geometrią transformacji , mieszanym błogosławieństwem w tym sensie, że opiera się na silniejszych intuicjach niż styl Euklidesa , ale trudniej go przekształcić w system logiczny .

W swojej książce Strukturalizm (1970) Jean Piaget mówi: „W oczach współczesnych matematyków strukturalistycznych, takich jak Bourbaki , program Erlangena jest tylko częściowym zwycięstwem strukturalizmu, ponieważ chcą oni podporządkować ideę całej matematyki, nie tylko geometrii. od struktury .”

W przypadku geometrii i jej grupy element grupy jest czasami nazywany ruchem geometrii. Na przykład, można dowiedzieć o Model Poincarégo o geometrii hiperbolicznej poprzez rozwój w oparciu o hiperbolicznych ruchów . Takie rozwinięcie pozwala metodycznie udowodnić twierdzenie o ultraparatach przez kolejne ruchy.

Streszczenie zwraca z programu Erlangen

Dość często okazuje się, że istnieją dwie lub więcej odrębnych geometrii z izomorficznymi grupami automorfizmu . Powstaje pytanie o odczytanie programu Erlangen z grupy abstrakcyjnej do geometrii.

Jeden przykład: zorientowana (tj. Bez odbić ) geometria eliptyczna (tj. Powierzchnia n- sfery z zidentyfikowanymi przeciwnymi punktami) i zorientowana geometria sferyczna (ta sama geometria nieeuklidesowa , ale z niezidentyfikowanymi punktami przeciwnymi) mają izomorficzny automorfizm grupa , SO ( n +1) dla parzystych n . Mogą się one wydawać różne. Okazuje się jednak, że geometrie są ze sobą bardzo ściśle powiązane, w sposób, który można precyzyjnie określić.

Aby wziąć inny przykład, eliptyczne geometrie o różnych promieniach krzywizny mają izomorficzne grupy automorfizmu. Nie liczy się to jako krytyka, ponieważ wszystkie takie geometrie są izomorficzne. Ogólna geometria Riemanna wykracza poza granice programu.

Liczby zespolone , podwójne i podwójne (inaczej podzielone zespolone) pojawiają się jako jednorodne przestrzenie SL (2, R ) / H dla grupy SL (2, R ) i jej podgrup H = A, N, K.Grupa SL (2, R ) R ) działa na tych jednorodnych przestrzeniach poprzez liniowe przekształcenia ułamkowe, a dużą część odpowiednich geometrii można uzyskać w jednolity sposób z programu Erlangen.

W fizyce pojawiło się kilka innych godnych uwagi przykładów.

Po pierwsze, n- wymiarowa geometria hiperboliczna , n- wymiarowa przestrzeń de Sittera i ( n- 1) -wymiarowa geometria inwersyjna wszystkie mają izomorficzne grupy automorfizmów,

orthochronous grup Lorentz dla n ≥ 3 . Ale są to najwyraźniej różne geometrie. Oto kilka interesujących wyników z fizyki. Wykazano, że modele fizyczne w każdej z trzech geometrii są „podwójne” dla niektórych modeli.

Ponownie, n- wymiarowa przestrzeń anty-de Sittera i ( n- 1) -wymiarowa przestrzeń konformalna z sygnaturą „Lorentza” (w przeciwieństwie do przestrzeni konformalnej z sygnaturą „euklidesową”, która jest identyczna z geometrią inwersyjną , dla trzech lub większych wymiarów) mają izomorficzne grupy automorfizmów, ale są odrębnymi geometriami. Po raz kolejny w fizyce istnieją modele z „dualizmami” między obiema przestrzeniami . Zobacz AdS / CFT, aby uzyskać więcej informacji.

Grupa pokrywająca SU (2,2) jest izomorficzna z grupą pokrywającą SO (4,2), która jest grupą symetrii 4D konformalnej przestrzeni Minkowskiego i 5D anty-de Sittera oraz złożonego czterowymiarowego twistora przestrzeń .

Program Erlangen można zatem nadal uważać za płodny w związku z dwoistością w fizyce.

W przełomowym artykule, który wprowadził kategorie , Saunders Mac Lane i Samuel Eilenberg stwierdzili: „Można to uznać za kontynuację Programu Kleina Erlangera w tym sensie, że przestrzeń geometryczna z jej grupą przekształceń jest uogólniana na kategorię z jej algebrą mapowań "

Relacje programu Erlangen z pracy Karola Ehresmann na groupoids w geometrii jest uważana w artykule poniżej Pradines.

W logice matematycznej Program Erlangen był również inspiracją dla Alfreda Tarskiego w jego analizie pojęć logicznych .

Bibliografia

  • Klein, Felix (1872) "Porównawczy przegląd ostatnich badań geometrii". Pełne tłumaczenie w języku angielskim jest tutaj https://arxiv.org/abs/0807.3161 .
  • Sharpe, Richard W. (1997) Geometria różniczkowa: uogólnienie Cartana programu Klein's Erlangen Vol. 166. Springer.
  • Heinrich Guggenheimer (1977) Differential Geometry , Dover, Nowy Jork, ISBN  0-486-63433-7 .
Obejmuje twórczość Lie, Kleina i Cartana. Na str. 139 Guggenheimer podsumowuje tę dziedzinę, zauważając: „Geometria Kleina jest teorią niezmienników geometrycznych grupy przechodnich transformacji (program Erlangena, 1872)”.
  • Thomas Hawkins (1984) „The Erlanger Program of Felix Klein: Reflections on its Place in the History of Mathematics”, Historia Mathematica 11: 442–70.
  • „Program Erlangen” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
  • Lizhen Ji i Athanase Papadopoulos (redaktorzy) (2015) Sophus Lie i Felix Klein: Program Erlangen i jego wpływ na matematykę i fizykę , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 23, European Mathematical Society Publishing House, Zürich.
  • Felix Klein (1872) „Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen” („Przegląd porównawczy ostatnich badań w dziedzinie geometrii”), Mathematische Annalen, 43 (1893) s. 63–100 (także: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, s. 460–497).
W Bull ukazało się angielskie tłumaczenie Mellen Haskell . NY Math. Soc 2 (1892–1893): 215–249.
Oryginalny tekst programu Erlangen w języku niemieckim można obejrzeć w kolekcji online Uniwersytetu Michigan pod adresem [1] , a także w [2] w formacie HTML.
Centralna strona informacyjna na temat programu Erlangen prowadzona przez Johna Baeza znajduje się pod adresem [3] .
(tłumaczenie Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus , Teil II: Geometrie, wyd. 1924 Springer). Ma sekcję dotyczącą programu Erlangen.