Matematyka starożytnego Egiptu - Ancient Egyptian mathematics

Matematyka starożytnego Egiptu to matematyka, która została opracowana i używana w starożytnym Egipcie ok. 3000 do ok. 300  pne , od Starego Królestwa Egiptu do mniej więcej początków hellenistycznego Egiptu . Starożytni Egipcjanie używali systemu liczbowego do liczenia i rozwiązywania pisanych problemów matematycznych, często obejmujących mnożenie i ułamki . Dowody egipskiej matematyki ograniczają się do niewielkiej liczby zachowanych źródeł pisanych na papirusie . Z tych tekstów wiadomo, że starożytni Egipcjanie rozumieli koncepcje geometrii , takie jak określanie pola powierzchni i objętości trójwymiarowych kształtów przydatnych w inżynierii architektonicznej oraz algebry , na przykład metoda fałszywego położenia i równania kwadratowe .

Przegląd

Pisemne dowody używania matematyki sięgają co najmniej 3200 rpne wraz z etykietami z kości słoniowej znalezionymi w grobowcu Uj w Abydos . Wygląda na to, że etykiety te były używane jako przywieszki do towarów grobowych, a niektóre są opatrzone cyframi. Dalsze dowody na użycie systemu liczbowego o podstawie 10 można znaleźć na Macehead Narmera, który przedstawia ofiary 400 000 wołów, 1422 000 kóz i 120 000 więźniów.

Dowody na użycie matematyki w Starym Królestwie (ok. 2690-2180 pne) są nieliczne, ale można je wywnioskować z inskrypcji na ścianie w pobliżu mastaby w Meidum, która podaje wytyczne dotyczące nachylenia mastaby. Linie na diagramie są rozmieszczone w odległości jednego łokcia i pokazują użycie tej jednostki miary .

Najwcześniejsze prawdziwe dokumenty matematyczne pochodzą z XII dynastii (ok. 1990-1800 pne). Moskwa Papirus Matematyczny The Egyptian matematyczna Skóra Rolka The Lahun matematyczna papirusy , które są częścią znacznie większej kolekcji Kahun papirusy i Berlinie Papyrus 6619 wszystkie najświeższe do tego okresu. Papirus matematyczny Rhinda, datowany na Drugi Okres Przejściowy (ok. 1650 r. p.n.e.) jest podobno oparty na starszym tekście matematycznym z XII dynastii.

Moskiewski papirus matematyczny i papirus matematyczny Rhinda są tak zwanymi tekstami problemów matematycznych. Składają się ze zbioru problemów z rozwiązaniami. Teksty te mogły być napisane przez nauczyciela lub ucznia zajmującego się rozwiązywaniem typowych problemów matematycznych.

Interesującą cechą matematyki starożytnego Egiptu jest użycie ułamków jednostkowych. Egipcjanie używali specjalnej notacji dla ułamków, takich jak1/2, 1/3 oraz 2/3 a w niektórych tekstach dla 3/4, ale inne ułamki zostały zapisane jako ułamki jednostkowe postaci1/nlub sumy takich ułamków jednostkowych. Skrybowie używali tabel, aby pomóc im pracować z tymi frakcjami. Na przykład egipski Matematyczny Skórzany Roll to tabela ułamków jednostkowych, które są wyrażone jako sumy innych ułamków jednostkowych. Papirus matematyczny Rhinda i niektóre inne teksty zawierają:2/ntabele. Tabele te pozwoliły skrybom przepisać dowolny ułamek formy1/n jako suma ułamków jednostkowych.

W okresie Nowego Państwa (ok. 1550–1070 pne) problemy matematyczne pojawiają się w literackim Papyrusie Anastasi I , a Papyrus Wilbour z czasów Ramzesa III rejestruje pomiary gruntów. W robotniczej wiosce Deir el-Medina znaleziono kilka ostraków, w których podczas wydobywania grobów usunięto rekordowe ilości brudu.

Źródła

Obecne zrozumienie matematyki starożytnego Egiptu utrudnia niedostatek dostępnych źródeł. Istniejące źródła obejmują następujące teksty (na ogół datowane na Państwo Środka i Drugi Okres Przejściowy):

Z Nowego Królestwa pochodzi garść tekstów matematycznych i inskrypcji związanych z obliczeniami:

  • Papirus Anastasi ja , tekst literacki napisany jako (fikcyjnej) listu napisanego przez pisarza o nazwie Hori i adresowane do skryby nazwie Amenemope. Fragment listu opisuje kilka problemów matematycznych.
  • Ostracon Senmut 153, tekst pisany hieratycznie
  • Ostracon Turyn 57170, tekst pisany hieratycznie
  • Ostraca z Deir el-Medina zawiera obliczenia. Na przykład Ostracon IFAO 1206 pokazuje obliczenia objętości, prawdopodobnie związane z wydobyciem grobowca.

Cyfry

Teksty starożytnego Egiptu można było pisać hieroglifami lub hieratycznie . W obu reprezentacjach system liczbowy był zawsze podawany w bazie 10. Liczba 1 była reprezentowana przez prostą kreskę, liczba 2 była reprezentowana przez dwie kreski, itd. Liczby 10, 100, 1000, 10 000 i 100 000 miały własne hieroglify. Liczba 10 to kuśtyka dla bydła, liczba 100 to zwinięta lina, liczba 1000 to kwiat lotosu, liczba 10 000 to palec, liczba 100 000 to żaba, a milion to symbol przez boga z rękami wzniesionymi w uwielbieniu.

Hieroglify dla cyfr egipskich
1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000
Z1
V20
V1
M12
D50
I8
C11
Stela płytowa księżniczki Starego Królestwa Neferetiabet (z dnia 2590-2565 pne) z jej grobowca w Gizie, malująca na wapieniu, obecnie w Luwrze

Cyfry egipskie sięgają okresu predynastycznego . Wytwórnie Ivory z Abydos odnotowują użycie tego systemu liczbowego. Często spotyka się również liczby w scenach ofiarowania, aby wskazać liczbę oferowanych przedmiotów. Córka króla Neferetiabet jest pokazana z ofiarą 1000 wołów, chleba, piwa itp.

Egipski system liczbowy był addytywny. Duże liczby były reprezentowane przez kolekcje glifów, a wartość uzyskano przez proste dodanie do siebie poszczególnych liczb.

Ta scena przedstawia liczenie bydła (skopiowane przez egiptologa Lepsiusa ). W środkowym rejestrze widzimy po lewej 835 bydła rogatego, tuż za nimi jakieś 220 zwierząt (krowy?), a po prawej 2235 kóz. W dolnym rejestrze widzimy 760 osłów po lewej i 974 kóz po prawej.

Egipcjanie prawie wyłącznie używali ułamków formy 1/n. Jednym godnym uwagi wyjątkiem jest ułamek2/3, który często występuje w tekstach matematycznych. Bardzo rzadko używano specjalnego glifu do oznaczenia3/4. Frakcja1/2był reprezentowany przez glif, który mógł przedstawiać kawałek płótna złożony na pół. Frakcja2/3był reprezentowany przez glif dla ust z 2 (różnej wielkości) pociągnięciami. Reszta frakcji była zawsze reprezentowana przez usta nałożone na liczbę.

Hieroglify dla niektórych ułamków
1/2 1/3 2/3 1/4 1/5
Aa13
r
Z2
D22
r
Z1 Z1 Z1 Z1
r
Z1 Z1 Z1 Z1 Z1

Mnożenie i dzielenie

Egipskie mnożenie odbywało się poprzez wielokrotne podwojenie liczby do pomnożenia (mnożnik) i wybranie, które z podwojeń dodać do siebie (zasadniczo forma arytmetyki binarnej ), metoda łącząca ze Starym Królestwem. Mnożnik zapisano obok ryciny 1; mnożnik był następnie dodawany do siebie, a wynik zapisywany obok liczby 2. Proces kontynuowano, aż podwojenie dało liczbę większą niż połowa mnożnika . Następnie podwojone liczby (1, 2, itd.) byłyby wielokrotnie odejmowane od mnożnika, aby wybrać, który z wyników istniejących obliczeń należy zsumować, aby utworzyć odpowiedź.

Jako skrót do większych liczb, mnożnik można również natychmiast pomnożyć przez 10, 100, 1000, 10000 itd.

Na przykład Problem 69 na Rhind Papyrus (RMP) przedstawia następującą ilustrację, tak jakby używane były symbole hieroglificzne (a nie rzeczywisty pismo hieratyczne RMP).

Aby pomnożyć 80 × 14
Obliczenia egipskie Nowoczesna kalkulacja
Wynik Mnożnik Wynik Mnożnik
V20 V20 V20 V20
V20 V20 V20 V20
Z1
80 1
V1 V1 V1 V1
V1 V1 V1 V1
V20
Tak check.svg 800 10
V20 V20 V20
V20 V20 V20
V1
Z1 Z1
160 2
V20
V20
V1 V1
V1
Z1 Z1 Z1 Z1
Tak check.svg 320 4
V20
V20
V1 M12
Z1 Z1 Z1 Z1 V20
1120 14

Tak check.svgOznacza wyniki pośrednie, które są sumowane w celu wytworzenia ostatecznej odpowiedzi.

Powyższa tabela może być również użyta do podzielenia 1120 przez 80. Rozwiążemy ten problem, znajdując iloraz (80) jako sumę tych mnożników 80, które dają 1120. W tym przykładzie dałoby to iloraz 10 + 4 = 14. Bardziej skomplikowany przykład algorytmu podziału dostarcza Zadanie 66. W sumie 3200 ro tłuszczu ma być rozłożonych równomiernie w ciągu 365 dni.

Dzielenie 3200 przez 365
1 365
2 730
4 1460
8 2920 Tak check.svg
2/3 243+1/3 Tak check.svg
1/10 36+1/2 Tak check.svg
1/2190 1/6 Tak check.svg

Najpierw skryba wielokrotnie podwajał 365, aż do osiągnięcia największej możliwej wielokrotności 365, która jest mniejsza niż 3200. W tym przypadku 8 razy 365 daje 2920, a dalsze dodawanie wielokrotności 365 dałoby wyraźnie wartość większą niż 3200. zauważyłem, że 2/3 + 1/10 + 1/2190razy 365 daje nam wartość 280, której potrzebujemy. Stąd stwierdzamy, że 3200 podzielone przez 365 musi równać się 8 + 2/3 + 1/10 + 1/2190.

Algebra

Problemy algebry egipskiej pojawiają się zarówno w papirusie matematycznym Rhinda, jak iw moskiewskim papirusie matematycznym, a także w kilku innych źródłach.

P6 a
M35
Aha
Era : Nowe Królestwo
(1550-1069 pne)
Hieroglify egipskie

Problemy Aha polegają na znalezieniu nieznanych ilości (określanych jako Aha), jeśli podana jest suma ilości i części. Papirus Matematyczny Rhinda zawiera także cztery tego typu problemów. Problemy 1, 19 i 25 moskiewskiego papirusu to problemy Aha. Na przykład problem 19 prosi o obliczenie ilości wziętej 1+1/2razy i dodać do 4, aby uzyskać 10. Innymi słowy, we współczesnej notacji matematycznej jesteśmy proszeni o rozwiązanie równania liniowego :

Rozwiązywanie tych problemów Aha wymaga techniki zwanej metodą fałszywej pozycji . Technika ta nazywana jest również metodą fałszywego założenia. Skryba wstawia do problemu wstępne odgadnięcie odpowiedzi. Rozwiązanie oparte na fałszywym założeniu byłoby proporcjonalne do rzeczywistej odpowiedzi, a skryba znalazłby odpowiedź na podstawie tego stosunku.

Pisma matematyczne pokazują, że skrybowie używali (najmniej) wspólnych wielokrotności, aby zamienić problemy z ułamkami w problemy z liczbami całkowitymi. W związku z tym obok ułamków zapisywane są czerwone liczby pomocnicze.

Użycie ułamków oka Horusa pokazuje pewną (podstawową) wiedzę o postępie geometrycznym. Znajomość postępów arytmetycznych jest również oczywista ze źródeł matematycznych.

Równania kwadratowe

Starożytni Egipcjanie byli pierwszą cywilizacją, która opracowała i rozwiązała równania drugiego stopnia ( kwadratowe ). Ta informacja znajduje się we fragmencie Berlińskiego Papirusu . Dodatkowo Egipcjanie rozwiązują równania algebraiczne pierwszego stopnia znalezione w Rhind Mathematical Papyrus .

Geometria

Obraz problemu 14 z moskiewskiego papirusu matematycznego . Problem zawiera diagram wskazujący wymiary ściętej piramidy.

Istnieje tylko ograniczona liczba problemów ze starożytnego Egiptu, które dotyczą geometrii. Problemy geometryczne pojawiają się zarówno w Moskiewskim Papirusie Matematycznym (MMP), jak iw Papirusie Matematycznym Rhinda (RMP). Przykłady pokazują, że starożytni Egipcjanie wiedzieli, jak obliczać obszary o kilku kształtach geometrycznych oraz objętości cylindrów i piramid.

  • Powierzchnia:
    • Trójkąty: Skrybowie zapisują problemy z obliczaniem pola trójkąta (RMP i MMP).
    • Prostokąty: Problemy dotyczące powierzchni prostokątnej działki pojawiają się w RMP i MMP. Podobny problem pojawia się w Lahun Mathematical Papyri w Londynie.
    • Koła: Zadanie 48 RMP porównuje pole koła (przybliżonego ośmiokątem) z kwadratem opisującym. Wynik tego zadania jest używany w zadaniu 50, gdzie skryba znajduje obszar okrągłego pola o średnicy 9 khet.
    • Półkula: Problem 10 w MMP określa obszar półkuli.
  • Wolumeny:
    • Spichlerze cylindryczne : Kilka problemów oblicza objętość spichlerzy cylindrycznych (RMP 41–43), podczas gdy problem 60 RMP wydaje się dotyczyć filaru lub stożka zamiast piramidy. Jest raczej mały i stromy, z sekcją (odwrotnością nachylenia) czterech palm (na łokieć). W sekcji IV.3 Papirusów Matematycznych Lahun objętość spichlerza o okrągłej podstawie znajduje się przy użyciu tej samej procedury, co RMP 43.
    • Prostokątne spichlerze: Kilka problemów w Moskiewskim Papirusie Matematycznym (zadanie 14) iw Papirusie Matematycznym Rhinda (numery 44, 45, 46) oblicza objętość prostokątnego spichlerza.
    • Ścięty ostrosłup (frustum): Objętość ściętego ostrosłupa jest obliczana w MMP 14.

Seqed

Problem 56 RMP wskazuje na rozumienie pojęcia podobieństwa geometrycznego. W tym problemie omówiono współczynnik bieg/wzrost, znany również jako sekwencja. Taka formuła byłaby potrzebna do budowy piramid. W następnym zadaniu (Zadanie 57) wysokość piramidy jest obliczana z długości podstawy i seked (egipski oznacza odwrotność nachylenia), podczas gdy zadanie 58 podaje długość podstawy i wysokość i wykorzystuje te pomiary do obliczyć sekw. W zadaniu 59 część 1 oblicza sekwencję, podczas gdy druga część może być obliczeniem sprawdzającym odpowiedź: Jeśli zbudujesz piramidę o boku podstawy 12 [łokci] i sekwencji 5 dłoni 1 palec; jaka jest jego wysokość?

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

  • Boyer, Carl B. 1968. Historia matematyki . Johna Wileya. Przedruk Princeton U. Press (1985).
  • Chace, Arnold Buffum. 1927-1929. Papirus matematyczny Rhinda: bezpłatne tłumaczenie i komentarz z wybranymi fotografiami, tłumaczeniami, transliteracjami i tłumaczeniami dosłownymi . 2 tomy. Klasyka w edukacji matematycznej 8. Oberlin: Mathematical Association of America. (Przedruk Reston: Krajowa Rada Nauczycieli Matematyki, 1979). ISBN  0-87353-133-7
  • Clagett, Marshall. 1999. Starożytna nauka egipska: książka źródłowa . Tom 3: Matematyka starożytnego Egiptu . Wspomnienia Amerykańskiego Towarzystwa Filozoficznego 232. Filadelfia: Amerykańskie Towarzystwo Filozoficzne. ISBN  0-87169-232-5
  • Kanapa, Sylwia. 1993. Mathématiques égyptiennes: Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Égypte pharaonique . Paryż: Éditions Le Léopard d'Or
  • Daressy, G. „Ostraca”, Cairo Museo des Antiquities Egyptiennes Katalog Ogólne hieraques Ostraca , tom 1901, numer 25001-25385.
  • Gillings, Richard J. 1972. Matematyka w czasach faraonów . MIT Naciśnij. (Dostępne są przedruki Dover).
  • Imhausen, Annette . 2003. „Agyptische Algorithmen”. Wiesbaden: Harrassowitz
  • Johnson G., Sriraman B., Saltztstein. 2012. „Gdzie są plany? Analiza społeczno-krytyczna i architektoniczna wczesnej egipskiej matematyki”| W Bharath Sriraman , redaktor. Rozdroża w historii matematyki i edukacji matematycznej . The Montana Mathematics Enthusiast Monographs in Mathematics Education 12, Information Age Publishing, Inc., Charlotte, Karolina Północna
  • Neugebauer Otto (1969) [1957]. Nauki ścisłe w starożytności (2 wyd.). Publikacje Dover . Numer ISBN 978-0-486-22332-2. PMID  14884919 .
  • Peet, Tomasz Eryk. 1923. Papirus matematyczny Rhinda, British Museum 10057 i 10058 . Londyn: The University Press of Liverpool z limitem i Hodder & Stoughton z limitem
  • Reimer, Dawid (2014). Licz jak Egipcjanin: praktyczne wprowadzenie do matematyki starożytnej . Princeton, NJ: Princeton University Press . Numer ISBN 978-0-691-16012-2.
  • Robins, R. Gay. 1995. „Matematyka, astronomia i kalendarze w faraońskim Egipcie”. W Civilizations of the Ancient Near East pod redakcją Jacka M. Sassona, Johna R. Bainesa, Gary'ego Beckmana i Karen S. Rubinson. Tom. 3 z 4 tomów. Nowy Jork: Synowie Charlesa Schribnera. (Przedruk Peabody: Hendrickson Publishers, 2000). 1799-1813
  • Robins, R. Gay i Charles CD Shute. 1987. Papirus matematyczny Rhinda: starożytny tekst egipski . Londyn: British Museum Publications Limited. ISBN  0-7141-0944-4
  • Sarton, George. 1927. Wprowadzenie do historii nauki , tom 1. Willians & Williams.
  • Strudwick, Nigel G. i Ronald J. Leprohon. 2005. Teksty z epoki piramid . Wydawnictwa akademickie Brill. ISBN  90-04-13048-9 .
  • Struve, Vasilij Vasil'evič i Boris Aleksandrovič Turaev. 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste w Moskawie . Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlin: J. Springer
  • Van der Waerden, BL 1961. Przebudzenie nauki. Oxford University Press.
  • Wymazałowa, Hana. 2002. Drewniane tablice z Kairu… , Archiv Orientalni, t. 1, s. 27–42.
  • Wirsching, Armin. 2009. Die Pyramiden von Giza – Mathematik in Stein gebaut . (2 wyd.) Książki na żądanie. ISBN  978-3-8370-2355-8 .

Zewnętrzne linki