Ekscentryczność (matematyka) - Eccentricity (mathematics)

Wszystkie typy przekrojów stożkowych, ułożone z rosnącą mimośrodowością. Zauważ, że krzywizna maleje wraz z mimośrodem i żadna z tych krzywych nie przecina się.

W matematyce The mimośród o stożkowej jest nieujemną liczbę rzeczywistą, który jednoznacznie scharakteryzowano kształtu.

Bardziej formalnie dwa przekroje stożkowe są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę samą mimośrodowość.

Ekscentryczność można traktować jako miarę tego, jak bardzo przekrój stożkowy odbiega od kołowego. W szczególności:

Mimośrodowość koła wynosi zero .
Mimośrodowość elipsy, która nie jest kołem, jest większa od zera, ale mniejsza od 1.
Ekscentryczność paraboli wynosi 1.
Ekscentryczność hiperboli jest większa niż 1.

Definicje

płaski przekrój stożka

Każdy przekrój stożkowy można zdefiniować jako zbiór punktów, których odległości od punktu (ogniska) i linii (kierownica) są w stałym stosunku. Ten stosunek nazywany jest mimośrodowością, powszechnie oznaczaną jako $e$ .

Mimośrodowość można również zdefiniować w kategoriach przecięcia się płaszczyzny i podwójnie żłobkowanego stożka skojarzonego z przekrojem stożkowym. Jeśli stożek jest zorientowany z pionową osią, mimośrodowość jest

{\ displaystyle e = {\ Frac {\ sin \ beta} {\ sin \ alpha}}, \ \ 0 <\ alpha <90 ^ {\ circ}, \ 0 \ leq \ beta \ leq 90 ^ {\ circ} \,}

gdzie β jest kątem między płaszczyzną a poziomem, a α jest kątem między generatorem pochylenia stożka a poziomem. Dla przekroju płaskiego jest to okrąg, dla paraboli. (Płaszczyzna nie może spotykać się z wierzchołkiem stożka.) ${\ displaystyle \ beta = 0}$ ${\ displaystyle \ beta = \ alpha}$

Liniowy mimośrodowość elipsy lub hiperboli, oznaczoną $C$ (lub czasami $K$ lub $E$ ), to odległość między jego środkiem a jeden z jego dwóch ogniskach . Mimośrodowość można zdefiniować jako stosunek mimośrodu liniowego do półosi wielkiej $a$ : to znaczy (bez środka, mimośrodowość liniowa dla paraboli nie jest zdefiniowana). ${\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}}}$

Alternatywne nazwy

Mimośród jest czasami nazywany pierwszym mimośrodem, aby odróżnić go od drugiego mimośrodu i trzeciego mimośrodu zdefiniowanego dla elips (patrz poniżej). Mimośrodowość jest czasami nazywana mimośrodem numerycznym .

W przypadku elips i hiperboli liniowa ekscentryczność jest czasami nazywana separacją półogniskową .

Notacja

W powszechnym użyciu są trzy konwencje notacyjne:

$e$ oznacza mimośrodowość $ic$ oznacza liniową mimośrodowość.
$ε$ dla mimośrodu i $e$ dla mimośrodu liniowego.
$e$ lub $ε <$ o mimośrodowości i $f$ dla mimośrodowości liniowa (symbol o półtrwania F OCAL separacji).

W tym artykule zastosowano pierwszą notację.

Wartości

Przekrój stożkowy	Równanie	Mimośrodowość ( $e$ )	Mimośrodowość liniowa ( $c$ )
okrąg	${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 0}$
Elipsa	${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ Frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ lub gdzie ${\ Displaystyle {\ Frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ Frac {x ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle a> b}$	${\ Displaystyle {\ sqrt {1 - {\ Frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${\ Displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$
Parabola	${\ displaystyle x ^ {2} = 4ay}$	${\ displaystyle 1}$	-
Hiperbola	${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ Frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ lub ${\ Displaystyle {\ Frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ Frac {x ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ Displaystyle {\ sqrt {1 + {\ Frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${\ Displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

Tutaj, dla elipsy i hiperboli, $a$ jest długością półosi wielkiej, a $b$ jest długością półosi małej.

Gdy przekrój stożkowy jest podany w ogólnej formie kwadratowej

{\ Displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,}

Poniższy wzór podaje ekscentryczność $e,$ jeśli przekrój stożkowy nie jest parabolą (która ma ekscentryczność równą 1), nie jest zdegenerowaną hiperbolą lub zdegenerowaną elipsą , a nie wyimaginowaną elipsą:

{\ Displaystyle e = {\ sqrt {\ Frac {2 {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}} {\ eta (A + C) + {\ sqrt {(AC) ^) {2} + B ^ {2}}}}}}}

gdzie jeśli wyznacznik macierzy 3 × 3 ${\ displaystyle \ eta = 1}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} A i B / 2 i D / 2 \\ B / 2 i C i E / 2 \\ D / 2 i E / 2 i F \ koniec {bmatrix}}}

jest ujemna lub jeśli ten wyznacznik jest pozytywny. ${\ Displaystyle \ eta = -1}$

Elipsa i hiperbola ze stałą

a

i zmieniającą się mimośrodem

e

.

Elipsy

Mimośrodowość elipsy jest ściśle mniejsza niż 1. Gdy okręgi (które mają mimośrodowość 0) są liczone jako elipsy, mimośrodowość elipsy jest większa lub równa 0; jeśli okręgi mają przypisaną specjalną kategorię i są wykluczone z kategorii elips, wówczas ekscentryczność elipsy jest ściśle większa niż 0.

Dla dowolnej elipsy niech $a$ będzie długością jej półosi wielkiej, a $b$ będzie długością półosi małej .

Definiujemy szereg powiązanych dodatkowych pojęć (tylko dla elips):

Nazwa	Symbol	pod względem $a$ i $b$	pod względem $e$
Pierwsza ekscentryczność	${\ displaystyle e}$	${\ Displaystyle {\ sqrt {1 - {\ Frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${\ displaystyle e}$
Druga ekscentryczność	${\ displaystyle e '}$	${\ Displaystyle {\ sqrt {{\ Frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} - 1}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {e} {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}}$
Trzecia ekscentryczność	${\ displaystyle e '' = {\ sqrt {m.}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {e} {\ sqrt {2-e ^ {2}}}}}$
Ekscentryczność kątowa	${\ displaystyle \ alpha}$	${\ Displaystyle \ cos ^ {- 1} \ lewo ({\ Frac {b} {a}} \ prawej)}$	${\ Displaystyle \ sin ^ {- 1} e}$

Inne wzory na ekscentryczność elipsy

Mimośrodowość elipsy to najprościej stosunek odległości $c$ między środkiem elipsy i każdym ogniskiem do długości półoś wielkiej $a$ .

{\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}}.}

Mimośrodowość jest również stosunkiem półosi wielkiej $a$ do odległości $d$ od środka do kierownicy:

{\ displaystyle e = {\ frac {a} {d}}.}

Mimośrodowość można wyrazić jako spłaszczenie $f$ (zdefiniowane jak dla półosi wielkiej $a$ i półosi mniejszej $b$ ): ${\ displaystyle f = 1-b / a}$

{\ displaystyle e = {\ sqrt {f (2-f)}}.}

(Spłaszczenie może być oznaczone $g$ w niektórych obszarach tematycznych, jeśli $f$ jest liniową mimośrodowością.)

Zdefiniuj maksymalne i minimalne promienie oraz jako maksymalne i minimalne odległości od dowolnego ogniska do elipsy (to znaczy odległości od jednego ogniska do dwóch końców większej osi). Następnie w przypadku półosi wielkiej $a$ mimośrodowość jest wyrażona wzorem ${\ displaystyle r _ {\ text {max}}}$ ${\ displaystyle r _ {\ text {min}}}$

{\ displaystyle e = {\ Frac {r _ {\ text {max}} - r _ {\ text {min}}} {r _ {\ text {max}} + r _ {\ text {min}}}} = {\ frac {r _ {\ text {max}} - r _ {\ text {min}}} {2a}},}

czyli odległość między ogniskami podzielona przez długość głównej osi.

Hiperbola

Ekscentryczność hiperboli może być dowolną liczbą rzeczywistą większą niż 1, bez górnej granicy. Ekscentryczność prostokątnej hiperboli to . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Quadrics

Elipsy, hiperbola ze wszystkimi możliwymi mimośrodami od zera do nieskończoności i parabola na jednej sześciennej powierzchni.

Mimośrodowość trójwymiarowego kwadratu jest mimośrodem wyznaczonej jego części . Na przykład na trójosiowej elipsoidzie ekscentryczność południkowa jest ekscentrycznością elipsy utworzonej przez sekcję zawierającą zarówno najdłuższą, jak i najkrótszą oś (z których jedna będzie osią biegunową), a mimośród równikowy jest mimośrodem utworzonej elipsy przez przekrój przez środek prostopadły do osi biegunowej (tj. w płaszczyźnie równikowej). Ale: przekroje stożkowe mogą również występować na powierzchniach wyższego rzędu (patrz ilustracja).

Niebiańska mechanika

W mechanice niebieskiej , dla związanych orbit w sferycznym potencjale, powyższa definicja jest nieformalnie uogólniona. Gdy odległość apocentrum jest bliska odległości perycentrum , mówi się, że orbita ma małą mimośrodowość; kiedy są bardzo różne, mówi się, że orbita jest ekscentryczna lub ma ekscentryczność bliską jedności. Definicja ta pokrywa się z matematyczną definicją mimośrodu elips, w keplerowskim, czyli potencjałów. ${\ displaystyle 1 / r}$

Analogiczne klasyfikacje

Szereg klasyfikacji w matematyce wykorzystuje terminologię wyprowadzoną z klasyfikacji przekrojów stożkowych według mimośrodu:

Klasyfikacji elementów z SL ₂ (R) , jak eliptyczny, paraboliczny i hiperboliczny - podobnie do klasyfikacji elementów pSL ₂ (R), przy czym rzeczywiste przemian MöBIUS .
Klasyfikacja rozkładów dyskretnych według stosunku wariancji do średniej ; szczegółowe informacje można znaleźć w kumulacjach niektórych dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa .
Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych przebiega przez analogię z klasyfikacją przekrojów stożkowych; zobacz eliptyczne , paraboliczne i hiperboliczne równania różniczkowe cząstkowe.

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne

MathWorld: Eccentricity

Languages

In other projects