Podwójny kwaternion - Dual quaternion

W matematyce , to podwójne kwaterniony są 8-wymiarowej prawdziwy algebra izomorficzna z produktem tensor z kwaterniony i dwoma numerami . W ten sposób mogą być konstruowane w taki sam sposób jak kwaterniony, z wyjątkiem użycia liczb podwójnych zamiast liczb rzeczywistych jako współczynników. Podwójny kwaternion można przedstawić w postaci A + ε B , gdzie A i B są zwykłymi kwaternionami, a ε jest jednostką podwójną, która spełnia ε ² = 0 i przechodzi z każdym elementem algebry. W przeciwieństwie do kwaternionów, podwójne kwaterniony nie tworzą algebry dzielenia .

W mechanice podwójne kwaterniony są stosowane jako system liczbowy do reprezentowania sztywnych przekształceń w trzech wymiarach. Ponieważ przestrzeń podwójnych kwaternionów jest 8-wymiarowa, a sztywna transformacja ma sześć rzeczywistych stopni swobody, trzy dla przesunięć i trzy dla obrotów, w tej aplikacji zastosowano podwójne kwaterniony podlegające dwóm więzom algebraicznym.

Podobnie do sposobu, w jaki obroty w przestrzeni trójwymiarowej mogą być reprezentowane przez kwaterniony o jednostkowej długości, ruchy sztywne w przestrzeni trójwymiarowej mogą być reprezentowane przez podwójne kwaterniony o jednostkowej długości. Fakt ten jest wykorzystywany w kinematyce teoretycznej (patrz McCarthy) oraz w zastosowaniach do grafiki komputerowej 3D , robotyki i wizji komputerowej .

Historia

WR Hamilton wprowadził kwaterniony w 1843, a do 1873 WK Clifford uzyskał szerokie uogólnienie tych liczb, które nazwał biquaternions , co jest przykładem tego, co obecnie nazywa się algebrą Clifforda .

W 1898 roku Alexander McAulay użył Ω z Ω ² = 0 do wygenerowania algebry dual quaternion. Jednak jego terminologia dotycząca „oktonionów” nie trzymała się, ponieważ dzisiejsze oktony to kolejna algebra.

W Rosji Aleksandr Kotelnikov opracował podwójne wektory i podwójne kwaterniony do wykorzystania w badaniu mechaniki.

W 1891 Eduard Study zdał sobie sprawę, że ta algebra asocjacyjna jest idealna do opisu grupy ruchów przestrzeni trójwymiarowej . Następnie rozwinął tę ideę w Geometrie der Dynamen w 1901 roku. BL van der Waerden nazwał strukturę „Study biquaternions”, jedną z trzech ośmiowymiarowych algebr zwanych biquaternions .

Formuły

Aby opisać operacje z podwójnymi kwaternionymi, warto najpierw rozważyć kwaterniony .

Quaternion jest kombinacją liniową elementów bazowych 1, i , j i k . Reguła iloczynu Hamiltona dla i , j oraz k jest często zapisywana jako

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.}$

Oblicz i ( ijk ) = − jk = − i , aby otrzymać jk = i , oraz ( ijk ) k = − ij = − k lub ij = k . Teraz, ponieważ j ( jk ) = ji = − k , widzimy, że ten produkt daje ij = − ji , co łączy kwaterniony z właściwościami wyznaczników.

Wygodnym sposobem pracy z iloczynem kwaternionów jest zapisanie kwaternionów jako sumy skalara i wektora, czyli A = a ₀ + A , gdzie a ₀ jest liczbą rzeczywistą a A = A ₁ i + A ₂ j + A ₃ k to trójwymiarowy wektor. Do zdefiniowania iloczynu kwaternionów A = a ₀ + A i C = c ₀ + C jako

${\ Displaystyle G = AC = (a_ {0}+ \ mathbf {A}) (c_ {0}+ \ mathbf {C}) = (a_ {0} c_ {0}- \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {C} )+(c_{0}\mathbf {A} +a_{0}\mathbf {C} +\mathbf {A} \times \mathbf {C} ).}$

Podwójny kwaternion jest zwykle opisywany jako kwaternion z liczbami podwójnymi jako współczynnikami. Liczba podwójna jest parą uporządkowaną â = ( a , b ) . Dwie liczby podwójne dodają składowe i mnożą przez regułę â ĉ = ( a , b ) ( c , d ) = ( ac , ad + bc ) . Liczby podwójne są często zapisywane w postaci â = a + ε b , gdzie ε jest jednostką podwójną zamieniającą się z i , j , k i mającą własność ε ² = 0 .

W rezultacie podwójny kwaternion można zapisać jako uporządkowaną parę kwaternionów ( A , B ) . Dwa podwójne kwaterniony dodają składowe i mnożą przez regułę,

${\displaystyle {\kapelusz {A}}{\kapelusz {C}}=(A,B)(C,D)=(AC,AD+BC).}$

Wygodnie jest zapisać podwójny kwaternion jako sumę podwójnego skalara i wektora dualnego, Â = â ₀ + A , gdzie â ₀ = ( a , b ) i A = ( A , B ) jest wektorem dualnym, który definiuje śruba . Ta notacja pozwala nam zapisać iloczyn dwóch podwójnych kwaternionów jako

${\ Displaystyle {\ kapelusz {G}} = {\ kapelusz {A}} {\ kapelusz {C}} = ({\ kapelusz {a}} _ {0}+ {\ mathsf {A}}) ({\ kapelusz {c}}_{0}+{\mathsf {C}})=({\kapelusz {a}}_{0}{\kapelusz {c}}_{0}-{\mathsf {A}} \cdot {\mathsf {C}})+({\mathsf {c}}_{0}{\mathsf {A}}+{\mathsf {a}}_{0}{\mathsf {C}}+ {\mathsf {A}}\times {\mathsf {C}}).}$

Dodatek

Dodanie podwójnych kwaternionów jest zdefiniowane składowo tak, że podane,

${\displaystyle {\kapelusz {A}}=(A,B)=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k+b_{0}\varepsilon +b_{1 }\varepsilon i+b_{2}\varepsilon j+b_{3}\varepsilon k,}$

oraz

${\displaystyle {\kapelusz {C}}=(C,D)=c_{0}+c_{1}i+c_{2}j+c_{3}k+d_{0}\varepsilon +d_{1 }\varepsilon i+d_{2}\varepsilon j+d_{3}\varepsilon k,}$

następnie

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} + {\ kapelusz {C}} = (A + C, B + D) = (a_ {0}+ c_ {0}) + (a_ {1} + c_ {1 })i+(a_{2}+c_{2})j+(a_{3}+c_{3})k+(b_{0}+d_{0})\varepsilon +(b_{1}+d_{1 })\varepsilon i+(b_{2}+d_{2})\varepsilon j+(b_{3}+d_{3})\varepsilon k,}$

Mnożenie

Mnożenie dwóch podwójnych kwaternionów wynika z reguł mnożenia dla jednostek kwaternionów i, j, k oraz mnożenia przemiennego przez jednostkę dualną ε. W szczególności, biorąc pod uwagę

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} = (A, B) = A + \ varepsilon B}$

oraz

${\ Displaystyle {\ kapelusz {C}} = (C, D) = C + \ varepsilon D}$

następnie

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}}{\ kapelusz {C}} = (A + \ varepsilon B) (C + \ varepsilon D) = AC + \ varepsilon (AD + BC).}$

Zauważ, że nie ma terminu BD , ponieważ definicja liczb podwójnych wymaga, aby ε ² = 0 .

To daje nam tabliczkę mnożenia (zwróć uwagę, że kolejność mnożenia to wiersz razy kolumna):

Tabliczka mnożenia dla jednostek z podwójnym kwaternionem

(wiersz x kolumna)	1	i	J	k	ε	ε i	ε j	ε k
1	1	i	J	k	ε	ε i	ε j	ε k
i	i	-1	k	− j	ε i	−ε	ε k	−ε j
J	J	− k	-1	i	ε j	−ε k	−ε	ε i
k	k	J	− ja	-1	ε k	ε j	−ε i	−ε
ε	ε	ε i	ε j	ε k	0	0	0	0
ε i	ε i	−ε	ε k	−ε j	0	0	0	0
ε j	ε j	−ε k	−ε	ε i	0	0	0	0
ε k	ε k	ε j	−ε i	−ε	0	0	0	0

Sprzężony

Koniugat podwójnego kwaternionu jest rozszerzeniem koniugatu kwaternionu, czyli

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} ^ {*} = (A ^ {*}, B ^ {*}) = A ^ {*} + \ varepsilon B ^ {*}. \!}$

Podobnie jak w przypadku kwaternionów, sprzężenie iloczynu podwójnych kwaternionów, Ĝ = Ĉ , jest iloczynem ich koniugatów w odwrotnej kolejności,

${\ Displaystyle {\ kapelusz {G}} ^ {*} = ({\ kapelusz {A}} {\ kapelusz {C}}) ^ {*} = {\ kapelusz {C}} ^ {*} {\ kapelusz {A}}^{*}.}$

Przydatne jest wprowadzenie funkcji Sc(∗) i Vec(∗), które wybierają części skalarne i wektorowe kwaternionów lub części skalarne i wektorowe części dualnej kwaternionów. W szczególności, jeśli  = â ₀ + A , wtedy

${\ Displaystyle {\ mbox {Sc}} ({\ kapelusz {A}}) = {\ kapelusz {a}} _ {0}, {\ mbox {Vec}} ({\ kapelusz {A}}) = { \mathsf {A}}.}$

Pozwala to na zdefiniowanie koniugatu  as

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} ^ {*} = {\ mbox {Sc}} ({\ kapelusz {A}}) - {\ mbox {Vec}} ({\ kapelusz {A}}).}$

lub,

${\ Displaystyle ({\ kapelusz {a}} _ {0}+ {\ mathsf {A}}) ^ {*} = {\ kapelusz {a}} _ {0}- {\ mathsf {A}}.}$

Iloczyn podwójnego kwaternionu z jego wydajnością sprzężoną

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} {\ kapelusz {A}} ^ {*} = ({\ kapelusz {a}} _ {0}+ {\ mathsf {A}}) ({\ kapelusz {a} }_{0}-{\mathsf {A}})={\hat {a}}_{0}^{2}+{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {A}}.}$

Jest to podwójny skalar, który jest kwadratem wielkości podwójnego kwaternionu.

Koniugat podwójnej liczby

Drugi typ sprzężenia podwójnego kwaternionu jest podany przez wzięcie sprzężonej liczby podwójnej, podanej przez

${\displaystyle {\overline {\kapelusz {A}}}=(A,-B)=A-\varepsilon B.\!}$

Quaternion i koniugaty o podwójnej liczbie można połączyć w trzecią formę koniugatu podaną przez

${\ Displaystyle {\ overline {{\ kapelusz {A}} ^ {*}}} = (A ^ {*}, -B ^ {*}) = A ^ {*} - \ varepsilon B ^ {*}. \!}$

W kontekście podwójnych kwaternionów, termin „koniugat” może być używany w znaczeniu koniugatu kwaternionów, koniugatów o podwójnej liczbie lub obu.

Norma

Norma z podwójnym kwaterniony | Â | jest obliczana przy użyciu sprzężonej do obliczenia | Â | = √ Â Â ^* . Jest to liczba podwójna zwana wielkością podwójnego kwaternionu. Podwójne kwaterniony z | Â | = 1 to jednostka dual quaternions .

Podwójne kwaterniony o wielkości 1 są używane do reprezentowania przestrzennych przemieszczeń euklidesowych. Zauważ, że wymaganie, że   ^* = 1 , wprowadza dwa więzy algebraiczne na składowe  , to jest

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} {\ kapelusz {A}} ^ {*} = (A, B) (A ^ {*}, B ^ {*}) = (AA ^ {*}, AB ^ {*}+BA^{*})=(1,0).}$

Odwrotność

Jeśli p + ε q jest podwójnym kwaternionem, a p nie jest zerem, to odwrotność podwójnego kwaternionu jest dana przez

p ^-1 (1 - ε q p ^-1 ).

Zatem elementy podprzestrzeni { ε q : q ∈ H } nie mają odwrotności. Ta podprzestrzeń nazywana jest ideałem w teorii pierścieni. Tak się składa, że ​​jest to jedyny w swoim rodzaju maksymalny ideał pierścienia liczb podwójnych.

Grupa jednostek z podwójnym pierścieniem numer polega zatem liczb nie ideału. Liczby podwójne tworzą lokalny pierścień, ponieważ istnieje unikalny maksymalny ideał. Grupa jednostek jest grupą Liego i może być badana za pomocą mapowania wykładniczego . Podwójne kwaterniony zostały wykorzystane do wykazania przekształceń w grupie euklidesowej . Typowy element można zapisać jako transformację śrubową .

Podwójne kwaterniony i przemieszczenia przestrzenne

Korzyścią wynikającą z tej podwójnej kwaternionów składu kompozycji dwóch przesunięć przestrzennych D _B  = ([ R _B ] b ) i D  = ([ R _A ], ) jest to, że w wyniku podwójnego wydajności kwaternionowej bezpośrednio ze osi śruby i podwójna kąt złożonego przemieszczenia D _C  =  D _B D _A .

Ogólnie rzecz biorąc, podwójny kwaternion związany z przemieszczeniem przestrzennym D  = ([ A ],  d ) jest skonstruowany z jego osi śruby S  = ( S ,  V ) i podwójnego kąta ( φ ,  d ), gdzie φ jest obrotem wokół i d sanie wzdłuż tej osi, która określa przemieszczenie  D . Powiązany podwójny kwaternion jest podany przez,

${\displaystyle {\kapelusz {S}}=\cos {\frac {\kapelusz {\phi}}{2}}+\sin {\frac {\kapelusz {\phi}}{2}}{\mathsf { S}}.}$

Niech skład przemieszczenie D _B z D _A jest przemieszczenie D _C  =  D _B D . Oś śruby i podwójna kąt D _C otrzymuje się z produktu z podwójnymi quaternions cZ _A i D _B , podany

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} = \ cos ({\ kapelusz {\ alfa}}/2) + \ grzech ({\ kapelusz {\ alfa}}}/2) {\ mathsf {A}} \ quad { \text{i}}\quad {\hat {B}}=\cos({\hat {\beta }}/2)+\sin({\hat {\beta }}/2){\mathsf {B }}.}$

Oznacza to, że złożone przemieszczenie D _C = D _B D _A ma powiązany podwójny kwaternion określony wzorem

${\displaystyle {\kapelusz {C}}=\cos {\frac {\kapelusz {\gamma}}{2}}+\sin {\frac {\kapelusz {\gamma}}{2}}{\mathsf { C}}=\left(\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {B}}\ po prawej)\left(\cos {\frac {\hat {\alfa }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\alfa }}{2}}{\mathsf {A}}\po prawej) .}$

Rozwiń ten produkt, aby uzyskać

${\ Displaystyle \ cos {\ Frac {\ kapelusz {\ gamma}} {2}} + \ grzech {\ Frac {\ kapelusz {\ gamma}} {2}} {\ mathsf {C}} = \ lewo (\ cos {\frac {\kapelusz {\beta }}{2}}\cos {\frac {\kapelusz {\alfa }}{2}}-\sin {\frac {\kapelusz {\beta }}{2} }\sin {\frac {\hat {\alfa }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}\right)+\left(\sin {\frac {\hat { \beta }}{2}}\cos {\frac {\kapelusz {\alfa }}{2}}{\mathsf {B}}+\sin {\frac {\kapelusz {\alfa }}{2}} \cos {\frac {\kapelusz {\beta }}{2}}{\mathsf {A}}+\grzech {\frac {\kapelusz {\beta }}{2}}\grzech {\frac {\kapelusz {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}\prawo).}$

Podziel obie strony tego równania przez tożsamość

${\displaystyle \cos {\frac {\kapelusz {\gamma}}{2}}=\cos {\frac {\kapelusz {\beta}}{2}}\cos {\frac {\kapelusz {\alfa} }{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alfa }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot { \mathsf {A}}}$

pozyskać

${\displaystyle \tan {\frac {\kapelusz {\gamma}}{2}}{\mathsf {C}}={\frac {\tan {\frac {\kapelusz {\beta}}{2}}{ \mathsf {B}}+\tan {\frac {\kapelusz {\alfa }}{2}}{\mathsf {A}}+\tan {\frac {\kapelusz {\beta }}{2}}\ tan {\frac {\hat {\alfa }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}}{1-\tan {\frac {\hat {\beta }}{ 2}}\tan {\frac {\hat {\alfa }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}}}.}$

Jest to wzór Rodriguesa na oś śruby złożonego przemieszczenia zdefiniowanego w kategoriach osi śruby dwóch przemieszczeń. Wyprowadził tę formułę w 1840 roku.

Trzy osie śrubowe A, B i C tworzą trójkąt przestrzenny, a podwójne kąty na tych wierzchołkach pomiędzy wspólnymi normalnymi, które tworzą boki tego trójkąta, są bezpośrednio związane z podwójnymi kątami trzech przemieszczeń przestrzennych.

Forma macierzowa podwójnego mnożenia kwaternionów

Macierzowa reprezentacja iloczynu kwaternionów jest wygodna do programowania obliczeń kwaternionów przy użyciu algebry macierzy, co jest prawdziwe również w przypadku operacji na podwójnych kwaternionach.

Iloczyn kwaternionów AC jest przekształceniem liniowym przez operator A składowych kwaternionów C, dlatego istnieje macierzowa reprezentacja A operująca na wektorze utworzonym ze składowych C.

Połącz składniki kwaternionów C = c ₀ + C w szyk C = ( C ₁ , C ₂ , C ₃ , c ₀ ) . Zauważ, że składniki części wektorowej kwaternionów są wymienione jako pierwsze, a skalar jako ostatni. To jest arbitralny wybór, ale kiedy już wybierzemy tę konwencję, musimy jej przestrzegać.

Iloczyn kwaternionów AC można teraz przedstawić jako iloczyn macierzy

${\ Displaystyle AC = [A ^ {+}] C = {\ zacząć {bmatrix} a_ {0} i A_ {3} i A_ {2} i A_ {1} \ \ - A_ {3} i a_ {0} i A_ {1}&A_{2}\\A_{2}&-A_{1}&a_{0}&A_{3}\\-A_{1}&-A_{2}&-A_{3}&a_{0} \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\\c_{0}\end{Bmatrix}}.}$

Produkt AC może być również postrzegany jako operacja C na składnikach A, w takim przypadku mamy

${\ Displaystyle AC = [C ^ {-}] A = {\ zacząć {bmatrix} c_ {0} i C_ {3} i C_ {2} i C_ {1} \ \ - C_ {3} i c_ {0} i C_ {1}&C_{2}\\C_{2}&-C_{1}&c_{0}&C_{3}\\-C_{1}&-C_{2}&-C_{3}&c_{0} \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\a_{0}\end{Bmatrix}}.}$

Iloczyn podwójnego kwaternionów Ĉ = (A, B)(C, D) = (AC, AD+BC) można sformułować jako operację macierzową w następujący sposób. Złóż składniki Ĉ w ośmiowymiarową tablicę Ĉ = (C ₁ , C ₂ , C ₃ , c ₀ , D ₁ , D ₂ , D ₃ , d ₀ ), wtedy ÂĈ jest dane przez iloczyn macierzy 8x8

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} {\ kapelusz {C}} = [{\ kapelusz {A}} ^ {+}] {\ kapelusz {C}} = {\ zacząć {bmatrix} A ^ {+} &0\\B^{+}&A^{+}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C\\D\end{Bmatrix}}.}$

Jak widzieliśmy dla kwaternionów, iloczyn Ĉ może być postrzegany jako działanie Ĉ na wektorze współrzędnych Â, co oznacza, że ​​ÂĈ można również sformułować jako,

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} {\ kapelusz {C}} = [{\ kapelusz {C}} ^ {-}] {\ kapelusz {A}} = {\ zacząć {bmatrix} C ^ {-} &0\\D^{-}&C^{-}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A\\B\end{Bmatrix}}.}$

Więcej o przemieszczeniach przestrzennych

Podwójny kwaternion przemieszczenia D=([A], d ) może być skonstruowany z kwaternionów S=cos(φ/2) + sin(φ/2) S, które określają obrót [A] i quaternion wektorowy skonstruowany z wektor translacji d , dany przez D = d ₁ i + d ₂ j + d ₃ k. Używając tego zapisu, podwójny kwaternion dla przemieszczenia D=([A], d ) jest określony wzorem

${\ Displaystyle {\ kapelusz {S}} = S + \ varepsilon {\ Frac {1} {2}} DS.}$

Niech współrzędne Plückera prostej w kierunku x przechodzącej przez punkt p w poruszającym się ciele i jej współrzędne w stałym układzie, który jest w kierunku X przez punkt P będą dane przez:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} = \ mathbf {x} + \ varepsilon \ mathbf {p} \ razy \ mathbf {x} \ quad {\ tekst {i}} \ quad {\ kapelusz {X}} = \mathbf {X} + \varepsilon \mathbf {P} \times \mathbf {X} .}$

Następnie podwójny kwaternion przemieszczenia tego ciała przekształca współrzędne Plückera w ruchomym układzie na współrzędne Plückera w stałym układzie według wzoru

${\ Displaystyle {\ kapelusz {X}} = {\ kapelusz {S}} {\ kapelusz {x}} {\ overline {{\ kapelusz {S}} ^ {*}}}.}$

Stosując formę macierzową iloczynu podwójnego kwaternionów staje się to,

${\ Displaystyle {\ kapelusz {X}} = [{\ kapelusz {S}} ^ {+}][ {\ kapelusz {S}} ^ {-}] ^ {*} {\ kapelusz {x}}.}$

Tym obliczeniem można łatwo zarządzać za pomocą operacji macierzowych.

Podwójne kwaterniony i jednorodne przekształcenia 4×4

Pomocne może być, zwłaszcza w ruchu ciała sztywnego, przedstawienie jednostkowych podwójnych kwaternionów jako macierzy jednorodnych . Jak podano powyżej, podwójny kwaternion można zapisać jako: gdzie r i d są obydwoma kwaternionami. R kwaternion jest znany jako rzeczywistym lub obrotowej części i kwaternion znany jest jako podwójne lub wymiany części. ${\displaystyle {\kapelusz {q}}=r+d\varepsilon r}$${\displaystyle d}$

Część obrotowa może być podana przez

${\ Displaystyle r = r_ {w} + r_ {x} i + r_ {y} j + r_ {z} k = \ cos \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ po prawej) + \ grzech \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left({\vec {a}}\cdot (i,j,k)\right)}$

gdzie jest kątem obrotu wokół kierunku określonego przez wektor jednostkowy . Część przemieszczenia można zapisać jako ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle {\vec {a}}}$

${\ Displaystyle d = 0 + {\ Frac {\ Delta x} {2}} i + {\ Frac {\ Delta Y} {2}} j + {\ Frac {\ Delta z} {2}} k}$.

Odpowiednik dual-quaternion wektora 3D to

${\ Displaystyle {\ kapelusz {v}}: = 1 + \ varepsilon (v_ {x} i + v_ {y} j + v_ {z} k)}$

a jego przekształcenie przez jest podane przez ${\displaystyle {\kapelusz {q}}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {v}}' = {\ kapelusz {q}} \ cdot {\ kapelusz {v}} \ cdot {\ overline {{\ kapelusz {q}} ^ {*}}}}$.

Te podwójne kwaterniony (a właściwie ich transformacje na wektorach 3D) mogą być reprezentowane przez jednorodną macierz transformacji

${\ Displaystyle T = {\ zacznij {pmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 i \\\ delta x i & & \\\ delta y & & & r& \ \ \ delta z & & & \ \ \ koniec {pmatrix}}}$

gdzie macierz ortogonalna 3×3 jest dana przez

${\ Displaystyle R = {\ zacząć {pmatrix} r_ {w} ^ {2} + r_ {x} ^ {2}-r_ {y} ^ {2}-r_ {z} ^ {2} i 2r_ {x} r_{y}-2r_{w}r_{z}&2r_{x}r_{z}+2r_{w}r_{y}\\2r_{x}r_{y}+2r_{w}r_{z}&r_ {w}^{2}-r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{y}r_{z}-2r_{w}r_{x }\\2r_{x}r_{z}-2r_{w}r_{y}&2r_{y}r_{z}+2r_{w}r_{x}&r_{w}^{2}-r_{x} ^{2}-r_{y}^{2}+r_{z}^{2}\\\end{pmatrix}}.}$

Dla wektora 3D

${\ Displaystyle v = {\ zacząć {pmatrix} 1 \ \ v_ {x} \ \ v_ {y} \ \ v_ {z} \ \ \ koniec {pmatrix}}}$

transformacja przez T jest dana przez

${\displaystyle {\vec {v}}'=T\cdot {\vec {v}}}$

Połączenie z algebrami Clifforda

Poza tym, że są iloczynem tensorowym dwóch algebr Clifforda, kwaternionów i liczb podwójnych, kwaterniony mają dwa inne sformułowania w kategoriach algebr Clifforda.

Po pierwsze, podwójne kwaterniony są izomorficzne z algebrą Clifforda generowaną przez 3 elementy antykomutacyjne , , z i . Jeśli zdefiniujemy i , to relacje definiujące podwójne kwaterniony są implikowane przez te i na odwrót. Po drugie, podwójne kwaterniony są izomorficzne z parzystą częścią algebry Clifforda generowanej przez 4 elementy antykomutacyjne z ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle e}$${\ Displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = -1}$${\ Displaystyle e ^ {2} = 0}$${\displaystyle k=ij}$${\ Displaystyle \ varepsilon = ek}$${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$

Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz Algebry Clifforda: podwójne kwaterniony .

Eponimy

Ponieważ zarówno Eduard Study, jak i William Kingdon Clifford używali i pisali o podwójnych kwaternionach, czasami autorzy odnoszą się do podwójnych kwaternionów jako „study biquaternions” lub „Clifford biquaternions”. Ten ostatni eponim był również używany w odniesieniu do split-biquaternions . Przeczytaj artykuł Joe Rooney, do którego link znajduje się poniżej, aby zobaczyć zwolennika twierdzenia WK Clifforda. Ponieważ twierdzenia Clifforda i Study są w sporze, wygodnie jest użyć obecnego podwójnego quaternionu, aby uniknąć konfliktu.

Zobacz też

• Teoria śrub
• Racjonalny ruch
• Kwaterniony i rotacja przestrzenna
• Konwersja między kwaternionymi i kątami Eulera
• Olinde Rodrigues
• Numer dwuzłożony

Bibliografia

Uwagi

Źródła

Dalsza lektura

• Iana Fischera (1998). Metody dwuliczbowe w kinematyce, statyce i dynamice . CRC Prasa. Numer ISBN 978-0-8493-9115-6.
• E. Pennestri i R. Stefanelli (2007) Linear Algebra and Numerical Algorithms Using Dual Numbers, opublikowana w Multibody System Dynamics 18(3):323–349.
• E. Pennestri i PP Valentini, Podwójne kwaterniony jako narzędzie analizy ruchu ciała sztywnego: samouczek z zastosowaniem w biomechanice , ARCHIWUM BUDOWY MASZYN , t. 57, s. 187–205, 2010
• E. Pennestri i PP Valentini, Linear Dual Algebra Algorithms and their Application to Kinematics , Multibody Dynamics , October 2008, s. 207-229, doi : 10.1007/978-1-4020-8829-2_11
• DP Chevallier (1996) „O zasadzie przeniesienia w kinematyce: jej różne formy i ograniczenia”, Mechanism and Machine Theory 31 (1): 57-76.
• MA Gungor (2009) „Dual Lorentzowskie ruchy sferyczne i podwójne formuły Eulera-Savary'ego”, European Journal of Mechanics A Solids 28(4):820-6.
• LFC Figueredo i BV Adorno i JY Ishihara i GA Borges (2013) „Solidne sterowanie kinematyczne robotów manipulatorowych z wykorzystaniem reprezentacji podwójnej kwaternionów”, „{2013 IEEE International Conference on Robotics and Automation”, doi : 10.1109/ICRA.2013.6630836

Linki zewnętrzne

• Wilhelm Blaschke (1958) DH Delphenich tłumacz, „Zastosowania podwójnych kwaternionów do kinematyki”
• Wilhelm Blaschke (1960) DH Delphenich tłumacz Quaternions and Kinemmatics z Neo-classical-physics.info.
• Dual Quaternions, przewodnik dla początkujących do podwójnych kwaternionów Ben Kenwright
• Dual Quaternions: od mechaniki klasycznej do grafiki komputerowej i nie tylko Ben Kenwright
• Modelowanie kinematyczne robota i sterowanie oparte na algebrze podwójnego kwaternionu Bruno Vilhena Adorno