Codimension - Codimension

W matematyce , codimension to podstawowa idea geometryczny, że odnosi się do podprzestrzeni w przestrzeni wektorowej , aby podrozmaitości w kolektorach i odpowiednich podgrupach z odmianami algebraicznych .

Dla afinicznej i rzutowych rozmaitości algebraicznych The codimension równa wysokości w definiującej ideału . Z tego powodu, wysokość ideału jest często nazywany jego codimension.

Podwójny koncepcja jest względny wymiar .

Definicja

Codimension jest względne pojęcie: jest zdefiniowana tylko dla jednego obiektu wewnątrz drugiego. Nie ma „codimension z przestrzeni wektorowej (w izolacji)”, tylko codimension wektora sub przestrzeni.

Jeśli W jest liniowy podprzestrzeń o skończonej wymiarowej przestrzeni wektora V , wtedy codimension o W w V jest różnica pomiędzy wymiarami:

${\ Displaystyle \ OperatorName {codim} (W) = \ dim (V) -. \ Wym (W)}$

Jest uzupełnieniem wymiaru W, w tym, z wymiaru W, to dodaje się do wymiaru kosmicznego otoczenia V:

${\ Displaystyle \ dim (W) + \ OperatorName {codim} (W) = \ dim (V).}$

Podobnie, jeżeli N jest podrozmaitością lub subvariety w M , a następnie codimension z N w M jest

${\ Displaystyle \ OperatorName {codim} (N) = \ wym (M), -. \ Wym (N)}$

Podobnie jak Wymiar podrozmaitością jest wymiar wiązki stycznej (liczba wymiarów, które można przenieść na tej podrozmaitością), to codimension jest wymiar normalnego wiązki (liczba wymiarów można poruszać się z podrozmaitością).

Mówiąc ogólnie, jeżeli W jest liniowy podprzestrzeń (być może nieskończonej wymiarowe) wektora przestrzeni V następnie codimension o W w V jest wymiarem (ewentualnie nieskończoność) z przestrzeni iloraz V / W , który jest bardziej abstrakcyjny zwanej cokernel z włączenie. Na skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej, to zgadza się z poprzedniej definicji

${\ Displaystyle \ OperatorName {codim} (W) = \ dim (V / m) = \ słabe \ OperatorName koksowania} {(W \ V) = \ dim (V) - \ dim (W)}$

i jest podwójny do względnego wymiaru jako wymiar jądra .

Skończenie codimensional podprzestrzenie przestrzeni nieskończonych wymiarowe są często przydatne w badaniu topologicznych przestrzeni wektorowych .

Addytywności codimension i liczenia wymiaru

Fundamentalną własnością codimension leży w jego stosunku do skrzyżowania : jeśli W ₁ ma codimension k ₁ i W ₂ ma codimension k ₂ , a następnie, jeśli U jest ich przecięcia z codimension j mamy

max ( K ₁ , K ₂ ) ≤ j ≤ k ₁ + k ₂ .

W rzeczywistości j może podjąć każdą całkowitą wartość w tym zakresie. To stwierdzenie jest bardziej zrozumiały niż tłumaczenia pod względem wymiarów, ponieważ RHS jest po prostu sumą codimensions. W słowach

codimensions (co najwyżej) dodać .

Jeśli podprzestrzenie lub podrozmaitości przecinają poprzecznie (który występuje ogólnie ) codimensions dodać dokładnie.

To stwierdzenie jest nazywany liczenia wymiar, szczególnie w teorii przecięć .

Podwójny interpretacja

Jeśli chodzi o podwójnej przestrzeni , to jest dość oczywiste, dlaczego wymiary dodać. W podprzestrzenie może być zdefiniowany przez zanik pewnej liczby funkcjonałów liniowych , które jeśli weźmiemy być liniowo niezależne , ich liczba jest codimension. W związku z tym widać, że U definiuje biorąc związek z zestawów funkcjonałom liniowych definiowania W _ı . Że Unia może wprowadzić pewien stopień zależności liniowej : Możliwe wartości j wyrazić tę zależność, przy czym suma RHS, w sytuacji gdy nie ma uzależnienia. Ta definicja codimension pod względem liczby funkcji potrzebnych do wyciąć podprzestrzeń rozciąga się do sytuacji, w której zarówno przestrzeń otoczenia i podprzestrzeń są nieskończone trójwymiarowy.

W innym języku, który jest podstawowy dla każdego rodzaju teorii przecięć , bierzemy unię pewnej liczby ograniczeń . Mamy dwa zjawiska, które należy zwrócić uwagę:

1. Dwa zestawy ograniczeń może być niezależne;
2. dwa zestawy ograniczeń mogą nie być kompatybilne.

Pierwszy z nich jest często wyraża się jako zasadę licząc ograniczeń : jeśli posiada szereg N o parametry do regulacji (to znaczy, że posiada N stopni swobody ), i elementy ograniczające trzeba „zużywać” parametrem, który to spełniają wówczas codimension z zestawu rozwiązań jest co najwyżej liczbę ograniczeń. Nie oczekujemy, aby być w stanie znaleźć rozwiązanie, jeśli przewidywana codimension, czyli liczby niezależnych ograniczeń przekracza N (w przypadku algebry liniowej, zawsze jest trywialne , zerowy wektor rozwiązanie, które jest zatem dyskontowane).

Drugi jest sprawą geometrii modelu w równoległych ; to jest coś, co można mówić o problemach liniowych metodami algebry liniowej, a dla problemów nieliniowych w przestrzeni rzutowej , nad numerem skomplikowanej dziedzinie.

Topologii geometrycznej

Codimension również pewne wyraźne znaczenie w topologii geometrycznej : na kolektorze, codimension 1 ma wymiar odłączenia topologicznej przez podrozmaitością, a codimension 2 wymiar rozgałęzienia i teorii węzłów . W rzeczywistości, teoria wysokich rozdzielaczy wymiarową, która zaczyna się w wymiarze 5 i powyżej, alternatywnie można powiedzieć, rozpocznie się codimension 3, ponieważ wyższe codimensions uniknąć zjawiska węzłów. Ponieważ teoria operacja wymaga pracy do średniego wymiaru, gdy ktoś jest w wymiarze 5, środkowy wymiar ma codimension większy niż 2, a tym samym unika węzłów.

Ten cięty jest bezproblemowy: Badanie zanurzeń w codimension 2 jest teoria węzeł i trudne, a badanie zanurzeń w codimension 3 lub więcej, jest podatny na narzędzi wysokiej wymiarowej topologii geometrycznego, a więc znacznie łatwiejsze.

Zobacz też

• Słownik geometrii różnicowego i topologii

Referencje

• Hazewinkel, Michiel , wyd. (2001) [1994], "Codimension" , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4