Gęsty porządek - Dense order

W matematyce , ą częściowo zamówienie lub całkowite kolejność <w zestawie mówi się gęsty , jeżeli dla wszystkich i w odniesieniu do których nie jest w taki sposób, że . Oznacza to, że dla dowolnych dwóch elementów, jednego mniej od drugiego, istnieje między nimi inny element. W przypadku porządków całkowitych możemy powiedzieć to prościej jako „dla dowolnych dwóch odrębnych elementów, istnieje między nimi inny element”, ponieważ całość oznacza, że dwa różne elementy są powiązane przez , ale jest to ogólnie fałszywe dla porządków częściowych, ponieważ różne elementy mogą być nieporównywalny . ${\ Displaystyle X}$ $x$ $y$ ${\ Displaystyle X}$ $x<y$ $z$ ${\ Displaystyle X}$ $x<z<y$ ${\styl wyświetlania <}$

Przykład

Te liczby wymierne jako liniowo uporządkowanego zbioru są gęsto zamówił zestaw w tym sensie, jak to algebraicznych numery , z liczbami rzeczywistymi , że dwójkowym wymiernych i ułamki dziesiętne . W rzeczywistości, każdy Archimedesa nakazał przedłużenie pierścień z liczb całkowitych jest gęsto zamówił zestaw. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$

Dowód —

Dla elementu , ze względu na właściwość Archimedesa, jeśli istnieje największa liczba całkowita z , a jeśli , , oraz istnieje największa liczba całkowita z . W rezultacie . Dla dowolnych dwóch elementów z , i . Dlatego jest gęsty. ${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {Z} [x]}$ $x>0$ $n<x$ $n<x<n+1$ $x<0$ $-x>0$ $m=-n-1<-x$ $-n-1<-x<-n$ $0<xn<1$ ${\ Displaystyle y, z \ w \ mathbb {Z} [x]}$ $z<y$ $0<(xn)(yz)<yz$ $z<(xn)(yz)+z<y$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$

Z drugiej strony uporządkowanie liniowe na liczbach całkowitych nie jest gęste.

Wyjątkowość dla całkowitych gęstych zamówień bez punktów końcowych

Georg Cantor dowiódł, że każde dwa niepuste, gęste, całkowicie uporządkowane zbiory policzalne bez dolnych lub górnych granic są porządkowo-izomorficzne . To sprawia, że teoria gęstych rzędów liniowych bez ograniczeń jest przykładem teorii ω- kategorycznej, gdzie ω jest najmniejszą liczbą porządkową graniczną . Na przykład między liczbami wymiernymi a innymi gęsto uporządkowanymi zbiorami policzalnymi, w tym wymiernymi dwójkami i liczbami algebraicznymi , istnieje izomorfizm rzędów . Dowody tych wyników wykorzystują metodę tam iz powrotem .

Funkcję znaku zapytania Minkowskiego można wykorzystać do wyznaczenia izomorfizmów porządku między kwadratowymi liczbami algebraicznymi a liczbami wymiernymi oraz między wymiernymi a wymiernymi dwumianowymi .

Uogólnienia

Mówi się, że każda relacja binarna R jest gęsta, jeśli dla wszystkich x i y związanych z R istnieje z takie, że x i z, a także z i y są powiązane z R. Formalnie:

{\ Displaystyle \ forall x \ \ forall y \ xRy \ Rightarrow (\ istnieje z \ xRz \ land zRy).}

Alternatywnie, w odniesieniu do kompozycji z R z samym sobą, stan gęstej może być wyrażona jako R ⊆ R ° R .

Warunki dostateczne, aby relacja binarna R na zbiorze X była gęsta to:

R jest zwrotny ;
R jest współrefleksyjny ;
R jest quasi-zwrotny ;
R jest lewą lub prawą Euklidesą ; lub
R jest symetryczny i semi-connex, a X ma co najmniej 3 elementy.

Żaden z nich nie jest potrzebny . Na przykład istnieje relacja R, która nie jest zwrotna, ale gęsta. Niepusty i gęsty relacja nie może być antitransitive .

Ścisły porządek częściowy < jest gęstym porządkiem wtedy i tylko wtedy, gdy < jest gęstą relacją. Mówi się, że gęsta relacja, która jest również przechodnia, jest idempotentna .

Zobacz też

Zbiór gęsty — podzbiór przestrzeni topologicznej, której domknięciem jest cała przestrzeń
Gęsty w sobie — podzbiór przestrzeni topologicznej, który nie zawiera izolowanego punktu ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A}$
Semantyka Kripkego — gęsta relacja dostępności odpowiada aksjomatowi ${\ Displaystyle \ Box \ Box A \ Rightarrow \ Box A}$

Bibliografia

Dalsza lektura

David Harel , Dexter Kozen , Jerzy Tiuryn, Logika dynamiczna , MIT Press, 2000, ISBN 0-262-08289-6 , s. 6ff

Languages

In other projects