Widmo przekroju - Cross-spectrum

W analizie szeregów czasowych The cross-widmo jest wykorzystywane jako część domeny częstotliwości analizy korelacji krzyżowej lub przekroju kowariancji pomiędzy dwoma szeregami czasu.

Definicja

Niech stanowią parę procesów stochastycznych , które wspólnie szerokim znaczeniu stacjonarny z autokowariancji funkcji i oraz cross-kowariancji funkcji . Wtedy przekrój widmo jest określone jak przekształcenie Fouriera z${\ Displaystyle (X_ {T} Y_ {T})}$${\ Displaystyle \ y _ {xx}}$${\ Displaystyle \ y _ {rr}}$${\ Displaystyle \ y _ {oksy}}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {oksy}}$${\ Displaystyle \ y _ {oksy}}$

${\ Displaystyle \ gamma _ {oksy} (f) = {\ mathcal {f}} \ {\ y _ {oksy} \} (f) = \ suma _ {\ tau = - \ infty} ^ {\ infty} \ \ y _ {oksy} (\ tau) \ e ^ {- 2 \ \ pi \, i \, \ tau \ f}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ y _ {oksy} (\ tau) = \ OperatorName {E} [(x_ {T} - \ mu _ {x}) (Y_ {t + \ tau} - \ mu _ {yn})]}$ ,

Przekrój ma widmo reprezentacje jak rozkładu w (i) jego części rzeczywistej (CO-widma) oraz (ii) część urojona (widmo kwadraturowy)

${\ Displaystyle \ gamma _ {} xy (f) = \ _ A ^ {} xy (f) + l \ Psi _ {oksy} (f)}$

oraz (ii) we współrzędnych biegunowych

${\ Displaystyle \ gamma _ {oksy} (f) = A_ {oksy} (f) \ e ^ {i \ cp _ {oksy} (f)}.}$

W tym przypadku, widma amplitudy jest przez ${\ A_ displaystyle {oksy}}$

${\ Displaystyle A_ {oksy} (f) = (\ N _ {oksy} (f) ^ {2} + \ psi _ {oksy} (f) ^ {2}) ^ {\ Frac {1} {2} }}$

i widmo faza jest przez ${\ Displaystyle \ Phi _ {oksy}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} \ tan ^ {- 1} (\ psi _ {oksy} (f) / \ N _ {oksy} (f)) i {\ tekst {if}} \ psi _ {XY } (f) \ neq 0 {\ tekst {i}} \ N _ {oksy} (f) \ neq 0 \\ 0 & {\ tekst {if}} \ psi _ {oksy} (f) = 0 {\ tekst {i}} \ N _ {oksy} (f)> 0 \\\ pm \ PI {\ tekst {if}} \ psi _ {oksy} (f) = 0 {\ tekst {i}} \ N _ {oksy} (f) <0 \\\ pi / 2 '{\ tekst {if}} \ psi _ {oksy} (f)> 0 {\ tekst {i}} \ N _ {oksy} (f) = 0 \\\ pi / 2 '{\ tekst {if}} \ psi _ {oksy} (f) <0 {\ tekst {i}} \ N _ {oksy} (f) = 0 \\\ koniec {} przypadków }}$

Widmo kwadratu koherencji

Kwadratu widma koherencji jest dana przez

${\ Displaystyle \ kappa _ {oksy} (f) = {\ A_ Frac {{oksy} ^ {2}} {\ gamma _ {xx} (f) \ gamma _ {rr} (f)}}}$

wyrażający widmo amplitudy w jednostkach bezwymiarowe.

Zobacz też

• Cross-korelacji
• Widmo mocy
• skalowane Korelacja

Referencje