Kontrapozycja - Contraposition

W logice i matematycznych , przeciwstawienie odnosi się do wnioskowania oddawania z warunkowej w jego logicznie równoważnej contrapositive i związane z odpornego metody znanej jako dowód przez kontrapozycji. Przeciwstawienie zdania ma swój poprzednik i następnik odwrócony i odwrócony .

Instrukcja warunkowa . We wzorach : przeciwieństwojest.

Jeśli P , to Q . — Jeśli nie Q , to nie P . Jeśli pada deszcz, potem noszę płaszcz” - „Jeśli nie noszę kurtkę, potem nie pada.”

Prawo kontrapozycji mówi, że zdanie warunkowe jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jego przeciwieństwo jest prawdziwe.

Przeciwstawienie ( ) można porównać z trzema innymi stwierdzeniami:

Inwersja ( odwrotność ),
„Jeśli nie pada, to nie noszę płaszcza ”. W przeciwieństwie do kontrapozytywu, wartość prawdziwości odwrotności w ogóle nie zależy od tego, czy oryginalne zdanie było prawdziwe, jak pokazano tutaj.
Konwersja ( odwrotność ),
„Jeśli noszę płaszcz, po czym pada deszcz .” Odwrotność jest w rzeczywistości przeciwieństwem odwrotności, a więc zawsze ma tę samą wartość logiczną co odwrotność (która, jak wspomniano wcześniej, nie zawsze ma taką samą wartość logiczną jak w pierwotnym zdaniu).
Negacja ( logiczne uzupełnienie ),
To nie jest tak, że jeśli pada deszcz następnie noszę płaszcz. ”, Lub równoważnie, „ Czasem, gdy pada deszcz, nie noszę mój płaszcz .” Jeśli negacja jest prawdą, to oryginalna propozycja ( a co za tym idzie, przeciwieństwo) jest fałszywe.

Zauważ, że jeśli jest prawdziwe i podano, że jest fałszywe (tj. ), to logicznie można wywnioskować, że również musi być fałszywe (tj . ). Jest to często nazywane prawem przeciwstawności lub zasadą wnioskowania modus tollens .

Intuicyjne wyjaśnienie

Venn A podzbiór B.svg

Na przedstawionym diagramie Eulera , jeśli coś znajduje się w A, musi być również w B. Możemy więc zinterpretować „całość A jest w B” jako:

Jasne jest również, że wszystko, co nie znajduje się w obszarze B (obszar niebieski), nie może również znajdować się w obszarze A. To stwierdzenie, które można wyrazić jako:

jest przeciwieństwem powyższego stwierdzenia. Dlatego można powiedzieć, że

.

W praktyce równoważność tę można wykorzystać do ułatwienia udowodnienia oświadczenia. Na przykład, jeśli ktoś chce udowodnić, że każda dziewczyna w Stanach Zjednoczonych (A) ma brązowe włosy (B), można albo spróbować udowodnić bezpośrednio , sprawdzając, czy wszystkie dziewczyny w Stanach Zjednoczonych rzeczywiście mają brązowe włosy, albo spróbować udowodnij , sprawdzając, czy wszystkie dziewczyny bez brązowych włosów są rzeczywiście poza Stanami Zjednoczonymi. W szczególności, jeśli ktoś miałby znaleźć co najmniej jedną dziewczynę bez brązowych włosów w Stanach Zjednoczonych, to obaliłby to i równoważnie .

Ogólnie rzecz biorąc, dla każdego stwierdzenia, w którym A implikuje B , nie B zawsze implikuje nie A . W rezultacie udowodnienie lub zaprzeczenie jednego z tych stwierdzeń automatycznie dowodzi lub zaprzecza drugiemu, ponieważ są one sobie logicznie równoważne.

Formalna definicja

Zdanie Q implikuje zdanie P, gdy zachodzi następująca zależność:

To stwierdza, że ​​„jeśli , to ” lub „jeśli Sokrates jest człowiekiem , to Sokrates jest człowiekiem ”. W warunkowego, takich jak ten, jest poprzednikiem , a to w konsekwencji . Jedno stwierdzenie jest przeciwstawne drugiemu tylko wtedy, gdy jego poprzednikiem jest zanegowany następnik drugiego i na odwrót. Tak więc przeciwieństwo zazwyczaj przyjmuje postać:

.

To znaczy: „Jeśli nie- , to nie- ”, lub, bardziej wyraźnie, „Jeśli nie jest, to P nie ma miejsca”. Korzystając z naszego przykładu, jest to renderowane jako „Jeśli Sokrates nie jest człowiekiem , to Sokrates nie jest człowiekiem ”. Mówi się, że to stwierdzenie jest sprzeczne z oryginałem i jest z nim logicznie równoważne. Ze względu na ich logiczną równoważność , stwierdzenie jednego skutecznie stwierdza drugie; gdy jedno jest prawdziwe , drugie jest również prawdziwe, a gdy jedno jest fałszywe, drugie jest również fałszywe.

Ściśle mówiąc, przeciwstawienie może istnieć tylko w dwóch prostych warunkach. Jednak przeciwstawienie może również występować w dwóch złożonych, uniwersalnych warunkach warunkowych, jeśli są one podobne. Tak więc , lub „Wszystkie są s” przeciwstawia się , lub „Wszystkie nie- s są nie- s”.

Prosty dowód z definicji warunkowego

W logice pierwszego rzędu warunek warunkowy jest zdefiniowany jako:

które można uczynić równoważnymi z przeciwieństwem, w następujący sposób:

Prosty dowód przez sprzeczność

Pozwolić:

Podaje się, że jeśli A jest prawdziwe, to B jest prawdziwe, a także, że B nie jest prawdziwe. Możemy wtedy pokazać, że A nie może być prawdziwe przez sprzeczność. Bo gdyby A było prawdziwe, to B również musiałoby być prawdziwe (według Modus Ponens ). Przyjmuje się jednak, że B nie jest prawdziwe, więc mamy sprzeczność. Dlatego A nie jest prawdziwe (przy założeniu, że mamy do czynienia ze stwierdzeniami dwuwartościowymi, które są albo prawdziwe, albo fałszywe):

Możemy zastosować ten sam proces odwrotnie, wychodząc z założenia, że:

Tutaj również wiemy, że B jest albo prawdziwe, albo nieprawdziwe. Jeśli B nie jest prawdziwe, to A także nie jest prawdziwe. Jednak dane jest, że A jest prawdziwe, więc założenie, że B nie jest prawdziwe, prowadzi do sprzeczności, co oznacza, że ​​nie jest tak, że B nie jest prawdziwe. Dlatego B musi być prawdziwe:

Łącząc razem oba udowodnione zdania, otrzymujemy poszukiwaną logiczną równoważność między warunkiem a przeciwieństwem:

Bardziej rygorystyczny dowód równoważności przeciwstawnych

Logiczna równoważność między dwoma zdaniami oznacza, że ​​razem są one prawdziwe lub razem fałszywe. Aby udowodnić, że przeciwieństwa są logicznie równoważne , musimy zrozumieć, kiedy materialna implikacja jest prawdziwa, czy fałszywa.

To jest fałszywe tylko wtedy, gdy jest prawdziwe i fałszywe. Dlatego możemy zredukować tę propozycję do stwierdzenia „Fałsz, kiedy i nie- ” (tj. „Prawda, gdy nie jest tak, a nie- ”):

Elementy koniunkcji można odwrócić bez efektu (przez przemienność ):

Definiujemy jako równe " " i jako równe (z tego równa się , co jest równe tylko ):

To brzmi: „Nie jest tak, że ( R jest prawdziwe, a S jest fałszywe)”, co jest definicją materialnego warunkowego. Możemy wtedy dokonać tego podstawienia:

Odwracając R i S z powrotem do i , otrzymujemy pożądany kontrast przeciwstawny:

Porównania

Nazwa Formularz opis
implikacja jeśli P to Q pierwsze stwierdzenie implikuje prawdziwość drugiego
odwrotność jeśli nie P to nie Q negacja obu stwierdzeń
rozmawiać jeśli Q to P odwrócenie obu stwierdzeń
przeciwstawne jeśli nie Q to nie P odwrócenie i zaprzeczenie obu stwierdzeń
negacja P i nie Q zaprzecza sugestii

Przykłady

Weźmy zdanie „ Wszystkie czerwone obiekty mają kolor. Można to równoważnie wyrazić jako „ Jeśli obiekt jest czerwony, to ma kolor ”.

  • Contrapositive to „ Jeśli obiekt nie ma koloru, to nie jest czerwony. ” Wynika to logicznie od naszego początkowego ujęcia i, podobnie jak to, to jest oczywiście prawdą.
  • Odwrotna jest „ Jeśli obiekt nie jest czerwony, to nie ma koloru. ” Przedmiot, który jest niebieski nie jest czerwony, a wciąż ma kolor. Dlatego w tym przypadku odwrotność jest fałszem.
  • Converse to „ Jeśli obiekt ma kolor, to jest czerwony. ” Obiekty mogą mieć inne kolory, więc rozmawiać z naszego zestawienia jest fałszywa.
  • Negacja jest „ Istnieje czerwony obiekt, który nie ma koloru. ” To stwierdzenie jest fałszywe, ponieważ wstępne oświadczenie, które neguje to prawda.

Innymi słowy, przeciwieństwo jest logicznie równoważne danej instrukcji warunkowej , chociaż nie wystarcza dla dwuwarunkowego .

Podobnie, weźmy zdanie „ Wszystkie czworokąty mają cztery boki ” lub równoważnie wyrażone „ Jeśli wielokąt jest czworokątem, to ma cztery boki ”.

  • Contrapositive to „ Jeśli wielokąt nie posiada cztery boki, to nie jest w kształcie czworoboku. ” Wynika to logicznie, i co do zasady, contrapositives dzielić wartość logiczną ich warunkowe.
  • Odwrotna jest „ Jeżeli wielokąt nie jest czworokąt, to nie ma cztery boki. ” W tym przypadku, w przeciwieństwie do ostatniego przykładu, odwrotność oświadczenie jest prawdziwe.
  • Converse to „ Jeśli wielokąt ma cztery boki, to jest to czworobok. ” Również w tym przypadku, w przeciwieństwie do ostatniego przykład odwrotne twierdzenie jest prawdziwe.
  • Negacja jest „ Istnieje co najmniej jeden czworobok, że nie ma cztery boki. ” To stwierdzenie jest wyraźnie fałszywe.

Ponieważ zarówno stwierdzenie, jak i odwrotność są prawdziwe, nazywa się je dwuwarunkowym i można je wyrazić jako „ Wielokąt jest czworokątem wtedy i tylko wtedy, gdy ma cztery boki. (wyrażenie wtedy i tylko wtedy, gdy jest czasami skracane jako iff .) Oznacza to, że posiadanie czterech boków jest konieczne, aby być czworokątem, a samo to wystarczy, aby uznać go za czworobok.

Prawda

  • Jeśli zdanie jest prawdziwe, to jego przeciwieństwo jest prawdziwe (i odwrotnie).
  • Jeśli zdanie jest fałszywe, to jego przeciwieństwo jest fałszywe (i odwrotnie).
  • Jeśli odwrotność zdania jest prawdziwa, to jej odwrotność jest prawdziwa (i odwrotnie).
  • Jeśli odwrotność twierdzenia jest fałszywa, to jej odwrotność jest fałszywa (i odwrotnie).
  • Jeśli negacja twierdzenia jest fałszywa, to twierdzenie jest prawdziwe (i vice versa).
  • Jeśli zdanie (lub jego przeciwieństwo) i odwrotność (lub odwrotność) są zarówno prawdziwe, jak i oba fałszywe, to jest znane jako logiczne dwuwarunkowe .

Podanie

Ponieważ kontrapozytyw zdania ma zawsze taką samą wartość prawdziwości (prawda lub fałsz) jak samo zdanie, może być potężnym narzędziem do dowodzenia twierdzeń matematycznych (zwłaszcza jeśli prawdziwość kontrapozytywu jest łatwiejsza do ustalenia niż prawdziwość zdania). samo). Dowód przez przeciwstawienie (contrapositive) jest bezpośrednim dowodem na contrapositive oświadczenia. Jednak metody pośrednie, takie jak dowód przez sprzeczność, mogą być również używane z przeciwstawieniem, jak na przykład w dowodzie nieracjonalności pierwiastka kwadratowego z 2 . Z definicji liczby wymiernej można powiedzieć, że „ Jeśli jest wymierna, to można ją wyrazić jako ułamek nieredukowalny ”. To stwierdzenie jest prawdziwe, ponieważ jest przeformułowaniem definicji. Przeciwieństwem tego stwierdzenia jest „ Jeśli nie można wyrazić jako ułamek nieredukowalny, to nie jest racjonalne ”. To przeciwieństwo, podobnie jak oryginalne stwierdzenie, jest również prawdziwe. Dlatego, jeśli można udowodnić, że nie można wyrazić jako ułamek nieredukowalny, to musi być tak, że nie jest liczbą wymierną. To ostatnie można udowodnić poprzez sprzeczność.

W poprzednim przykładzie zastosowano przeciwstawność definicji, aby udowodnić twierdzenie. Można również udowodnić twierdzenie, udowadniając przeciwstawność twierdzenia. Aby udowodnić, że jeśli dodatnia liczba całkowita N jest liczbą niekwadratową , jej pierwiastek kwadratowy jest niewymierny , możemy równoważnie udowodnić jej przeciwieństwo, że jeśli dodatnia liczba całkowita N ma pierwiastek kwadratowy, który jest wymierny, to N jest liczbą kwadratową. Można to sprawdzić przez ustawienie N równa się racjonalnym ekspresji a / b z i b są dodatnie liczby całkowite, bez wspólnej czynnika podstawowym, podnoszenie do kwadratu, aby otrzymać N = a 2 / b 2 , zauważając, że od N jest dodatnią liczbą całkowitą b =1 tak, że N = a 2 , liczba kwadratowa.

Korespondencja z innymi schematami matematycznymi

Logika intuicjonistyczna

W intuicjonistycznej logiki , oświadczenie nie może być okazały się równoważne . Możemy udowodnić, że implikuje , ale odwrotna implikacja, z do , wymaga prawa wyłączonego środka lub równoważnego aksjomatu.

Rachunek prawdopodobieństwa

Kontrapozycja reprezentuje przykład twierdzenia Bayesa, które w określonej postaci można wyrazić jako:

.

W powyższym równaniu prawdopodobieństwo warunkowe uogólnia zdanie logiczne , tzn. oprócz przypisania PRAWDA lub FAŁSZ możemy również przypisać zdaniu dowolne prawdopodobieństwo. Termin ten oznacza stopę bazową (inaczej prawdopodobieństwo a priori ) . Załóżmy, że jest to równoważne byciu PRAWDA, a to jest równoważne byciu FAŁSZ. Łatwo wtedy zauważyć, że kiedy, czyli kiedy, jest PRAWDĄ. Dzieje się tak dlatego , że ułamek po prawej stronie powyższego równania jest równy 1, a zatem jest równoważny byciu PRAWDA. Stąd twierdzenie Bayesa reprezentuje uogólnienie kontrapozycji .

Logika subiektywna

Kontrapozycja reprezentuje przykład subiektywnego twierdzenia Bayesa w logice subiektywnej wyrażonej jako:

,

gdzie oznacza parę dwumianowych opinii warunkowych wydanych przez źródło . Parametr oznacza stopę bazową (inaczej prawdopodobieństwo a priori ) . Oznaczono parę odwróconych opinii warunkowych . Opinia warunkowa uogólnia zdanie logiczne , tzn. oprócz przypisania PRAWDA lub FAŁSZ źródło może przypisać do stwierdzenia dowolną subiektywną opinię. Przypadek, w którym jest to opinia bezwzględna PRAWDA jest równoważny ze źródłem mówiącym, że jest to PRAWDA, a przypadek, w którym jest to opinia bezwzględna FAŁSZ, jest równoważny ze źródłem mówiącym, że jest to FAŁSZ. W przypadku, gdy opinia uzależnione jest absolutna wartość TRUE operatora twierdzenie subiektywnej Bayesa z subiektywnym logiki wytwarza FALSE opinię warunkowego bezwzględnego , a więc również bezwzględną opinię TRUE warunkowy , który jest odpowiednikiem jest prawdziwe. Stąd subiektywne twierdzenie Bayesa reprezentuje uogólnienie zarówno kontrapozycji, jak i twierdzenia Bayesa .

Zobacz też

Bibliografia

Źródła

  • Audun Jøsang, 2016, Logika subiektywna; Formalizm rozumowania w warunkach niepewności Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1

Zewnętrzne linki