Konstruktywizm (filozofia matematyki) - Constructivism (philosophy of mathematics)

W filozofii matematyki , konstruktywizm twierdzi, że konieczne jest znalezienie (lub „konstrukt”) przykładem specyficzny matematycznego obiektu w celu udowodnienia, że przykładem istnieje. W przeciwieństwie do tego, w matematyce klasycznej można udowodnić istnienie obiektu matematycznego bez wyraźnego „znalezienia” tego obiektu, zakładając jego nieistnienie, a następnie wyprowadzając z tego założenia sprzeczność . Taki dowód przez sprzeczność można by nazwać niekonstruktywnym, a konstruktywista mógłby go odrzucić. Konstruktywny punkt widzenia zakłada weryfikacyjną interpretację kwantyfikatora egzystencjalnego , co jest sprzeczne z jego klasyczną interpretacją.

Istnieje wiele form konstruktywizmu. Należą do nich program intuicjonizmu założony przez Brouwera , z finityzm z Hilbert i Bernays Z konstruktywne rekurencyjnych matematyki z zShanin i Markowa oraz bp programu „s konstruktywnej analizy . Konstruktywizm obejmuje również badanie konstruktywnych teorii mnogości, takich jak CZF oraz badanie teorii toposów .

Konstruktywizm jest często utożsamiany z intuicjonizmem, choć intuicjonizm jest tylko jednym programem konstruktywistycznym. Intuicjonizm utrzymuje, że fundamenty matematyki leżą w intuicji indywidualnego matematyka, czyniąc matematykę czynnością z natury subiektywną. Inne formy konstruktywizmu nie opierają się na tym punkcie widzenia intuicji i są zgodne z obiektywnym punktem widzenia na matematykę.

Konstruktywna matematyka

Duża część matematyki konstruktywnej wykorzystuje logikę intuicjonistyczną , która jest zasadniczo logiką klasyczną bez prawa wyłączonego środka . Prawo to stwierdza, że ​​dla każdego zdania albo to zdanie jest prawdziwe, albo jego negacja jest. Nie znaczy to, że całkowicie zaprzecza się prawu wyłączonego środka; będzie można udowodnić szczególne przypadki prawa. Po prostu ogólne prawo nie jest przyjmowane jako aksjomat . Prawo niesprzeczności (który stanowi, że sprzeczne oświadczenia nie oba jednocześnie może być prawdą) jest nadal ważna.

Na przykład w arytmetyce Heytinga można udowodnić, że dla każdego zdania p, które nie zawiera kwantyfikatorów , jest twierdzenie (gdzie x , y , z ... są zmiennymi wolnymi w zdaniu p ). W tym sensie twierdzenia ograniczone do skończonego są nadal uważane za prawdziwe lub fałszywe, tak jak w matematyce klasycznej, ale ta biwalencja nie rozciąga się na twierdzenia odnoszące się do zbiorów nieskończonych .

W rzeczywistości LEJ Brouwer , założyciel szkoły intuicjonistycznej, postrzegał prawo wyłączonego środka jako wyabstrahowane z skończonego doświadczenia, a następnie bez uzasadnienia stosowało je do nieskończoności . Na przykład hipoteza Goldbacha to twierdzenie, że każda liczba parzysta (większa niż 2) jest sumą dwóch liczb pierwszych . Możliwe jest przetestowanie dowolnej liczby parzystej, niezależnie od tego, czy jest to suma dwóch liczb pierwszych (na przykład przez wyszukiwanie wyczerpujące), więc każda z nich jest albo sumą dwóch liczb pierwszych, albo nie. I jak dotąd każdy tak przetestowany był w rzeczywistości sumą dwóch liczb pierwszych.

Ale nie ma żadnego znanego dowodu, że wszystkie z nich są takie, ani żadnego znanego dowodu, że nie wszystkie z nich są takie. Tak więc dla Brouwera nie możemy twierdzić, że „albo hipoteza Goldbacha jest prawdziwa, albo nie”. I chociaż przypuszczenie może pewnego dnia zostać rozwiązane, argument ten dotyczy podobnych nierozwiązanych problemów; dla Brouwera prawo wyłączonego środka było równoznaczne z założeniem, że każdy problem matematyczny ma rozwiązanie.

Z pominięciem prawa wyłączonego środka jako aksjomatu, pozostały system logiczny ma właściwość istnienia, której logika klasyczna nie posiada: ilekroć jest dowodzine konstruktywnie, to w rzeczywistości jest dowodzine konstruktywnie dla (przynajmniej) jednego konkretu , często nazywanego świadek. Tak więc dowód na istnienie obiektu matematycznego wiąże się z możliwością jego zbudowania.

Przykład z prawdziwej analizy

W klasycznej analizy rzeczywistej , jeden sposób, aby określić liczbę rzeczywistą jest jako klasy równoważności z sekwencjami Cauchy'ego z liczb wymiernych .

W matematyce konstruktywnej jednym ze sposobów skonstruowania liczby rzeczywistej jest funkcja ƒ, która przyjmuje dodatnią liczbę całkowitą i daje wymierną ƒ ( n ) wraz z funkcją g, która przyjmuje dodatnią liczbę całkowitą n i daje dodatnią liczbę całkowitą g ( n ) takie, że

tak, że wraz ze wzrostem n wartości ƒ ( n ) zbliżają się do siebie. Możemy użyć ƒ i g razem do obliczenia tak bliskiego wymiernego przybliżenia, jakie chcemy, do liczby rzeczywistej, którą reprezentują.

Zgodnie z tą definicją, prosta reprezentacja liczby rzeczywistej e to:

Ta definicja odpowiada klasycznej definicji wykorzystującej sekwencje Cauchy'ego, z wyjątkiem konstruktywnego zwrotu: dla klasycznej sekwencji Cauchy'ego wymagane jest, aby dla dowolnej odległości istniał (w klasycznym sensie) członek w sekwencji, po którym wszystkie elementy są bliżej siebie niż ta odległość. W wersji konstruktywnej wymagane jest, aby dla dowolnej odległości można było faktycznie określić punkt w sekwencji, w którym to się dzieje (ta wymagana specyfikacja jest często nazywana modułem zbieżności ). W rzeczywistości standardowa konstruktywna interpretacja zdania matematycznego

jest właśnie istnienie funkcji obliczającej moduł zbieżności. Tak więc różnicę między dwiema definicjami liczb rzeczywistych można uznać za różnicę w interpretacji zdania „dla wszystkich… istnieje…”.

To z kolei otwiera pytanie, jaki rodzaj funkcji ze zbioru policzalnego do zbioru policzalnego, takich jak f i g powyżej, można faktycznie skonstruować. Różne wersje konstruktywizmu różnią się w tej kwestii. Konstrukcje można zdefiniować tak szeroko, jak sekwencje wolnego wyboru , co jest poglądem intuicjonistycznym, lub tak wąsko, jak algorytmy (lub bardziej technicznie, funkcje obliczalne ), a nawet pozostawić nieokreślone. Jeśli, na przykład, weźmiemy pod uwagę pogląd algorytmiczny, wtedy konstruowane tutaj liczby rzeczywiste są zasadniczo tym, co klasycznie nazwano by liczbami obliczalnymi .

Kardynalność

Przyjęcie powyższej interpretacji algorytmicznej wydaje się sprzeczne z klasycznymi pojęciami kardynalności . Wyliczając algorytmy, możemy klasycznie pokazać, że liczby obliczalne są policzalne. A jednak argument przekątny Cantora pokazuje, że liczby rzeczywiste mają wyższą kardynalność. Ponadto argument diagonalny wydaje się doskonale konstruktywny. Identyfikacja liczb rzeczywistych z liczbami obliczalnymi byłaby wtedy sprzecznością.

I faktycznie, argument przekątny Cantora jest konstruktywny, w tym sensie, że biorąc pod uwagę bijekcję między liczbami rzeczywistymi a liczbami naturalnymi, konstruuje się liczbę rzeczywistą, która nie pasuje, a tym samym dowodzi sprzeczności. Rzeczywiście możemy wyliczyć algorytmy do skonstruowania funkcji T , co do której początkowo zakładamy, że jest to funkcja z liczb naturalnych na liczby rzeczywiste. Ale każdemu algorytmowi może odpowiadać liczba rzeczywista lub nie, ponieważ algorytm może nie spełniać ograniczeń lub nawet być niekończący ( T jest funkcją częściową ), więc nie daje wymaganej bijekcji. Krótko mówiąc, ten, kto uważa, że ​​liczby rzeczywiste są (indywidualnie) efektywnie obliczalne, interpretuje wynik Cantora jako pokazujący, że liczby rzeczywiste (zbiorczo) nie są rekurencyjnie przeliczalne .

Mimo to można by się spodziewać, że skoro T jest funkcją częściową z liczb naturalnych na liczby rzeczywiste, to liczby rzeczywiste są nie więcej niż przeliczalne. A ponieważ każdą liczbę naturalną można w trywialny sposób przedstawić jako liczbę rzeczywistą, dlatego liczby rzeczywiste są nie mniej niż policzalne. Są zatem dokładnie policzalne. Jednak to rozumowanie nie jest konstruktywne, ponieważ nadal nie tworzy wymaganego bijekcji. Klasyczne twierdzenie dowodzące istnienia bijekcji w takich okolicznościach, czyli twierdzenie Cantora–Bernsteina–Schroedera , jest niekonstruktywne. Ostatnio wykazano, że twierdzenie Cantora–Bernsteina–Schroedera implikuje prawo wyłączonego środka , stąd nie może być konstruktywnego dowodu twierdzenia.

Aksjomat wyboru

Status aksjomatu wyboru w matematyce konstruktywnej komplikują różne podejścia różnych programów konstruktywistycznych. Jedno trywialne znaczenie słowa „konstruktywny”, używane nieformalnie przez matematyków, jest „możliwe do udowodnienia w teorii mnogości ZF bez aksjomatu wyboru”. Jednak zwolennicy bardziej ograniczonych form matematyki konstruktywnej twierdzą, że sam ZF nie jest systemem konstruktywnym.

W intuicjonistycznych teoriach teorii typów (zwłaszcza arytmetyki wyższego typu) dozwolonych jest wiele form aksjomatu wyboru. Na przykład aksjomat AC 11 można sparafrazować, mówiąc, że dla dowolnej relacji R na zbiorze liczb rzeczywistych, jeśli udowodniłeś, że dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje liczba rzeczywista y taka, że R ( x , y ) zachodzi, wtedy faktycznie istnieje funkcja F taka, że R ( x , F ( x )) spełnia wszystkie liczby rzeczywiste. Podobne zasady wyboru są akceptowane dla wszystkich typów skończonych. Motywacją do zaakceptowania tych pozornie niekonstruktywnych zasad jest intuicjonistyczne zrozumienie dowodu, że „dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje liczba rzeczywista y taka, jaka obowiązuje R ( x , y )”. Zgodnie z interpretacją BHK sam ten dowód jest zasadniczo pożądaną funkcją F. Zasady wyboru, które akceptują intuicjoniści, nie implikują prawa wykluczonego środka .

Jednak w pewnych systemach aksjomatów dla konstruktywnej teorii mnogości aksjomat wyboru implikuje prawo wyłączonego środka (w obecności innych aksjomatów), jak pokazuje twierdzenie Diaconescu-Goodmana-Myhilla . Niektóre konstruktywne teorie mnogości zawierają słabsze formy aksjomatu wyboru, takie jak aksjomat wyboru zależnego w teorii mnogości Myhilla.

Teoria miary

Klasyczna teoria miary jest zasadniczo niekonstruktywna, ponieważ klasyczna definicja miary Lebesgue'a nie opisuje żadnego sposobu obliczania miary zbioru lub całki funkcji. W rzeczywistości, jeśli ktoś myśli o funkcji jako o zasadzie, która „wprowadza liczbę rzeczywistą i wyprowadza liczbę rzeczywistą”, to nie może istnieć żaden algorytm do obliczania całki funkcji, ponieważ każdy algorytm byłby w stanie wywołać tylko skończoną liczbę wartości funkcji na raz, a skończenie wiele wartości nie wystarcza do obliczenia całki z nietrywialną dokładnością. Rozwiązaniem tej zagadki, przedstawionej po raz pierwszy w książce Bishopa z 1967 r., jest rozważenie tylko funkcji zapisanych jako punktowa granica funkcji ciągłych (o znanym module ciągłości), z informacją o szybkości zbieżności. Zaletą konstruktywizacji teorii miary jest to, że jeśli można udowodnić, że zbiór jest konstruktywnie o pełnej mierze, to istnieje algorytm znajdowania punktu w tym zbiorze (znowu patrz książka Bishopa). Na przykład to podejście może być użyte do skonstruowania liczby rzeczywistej, która jest normalna dla każdej podstawy.

Miejsce konstruktywizmu w matematyce

Tradycyjnie niektórzy matematycy byli podejrzliwi, jeśli nie wrogo nastawieni, do konstruktywizmu matematycznego, głównie z powodu ograniczeń, które uważali za stwarzające dla konstruktywnej analizy. Poglądy te zostały dobitnie wyrażone przez Davida Hilberta w 1928 r., kiedy pisał w Grundlagen der Mathematik : „Odjęcie od matematyka zasady wykluczonego środka byłoby tym samym, co zakazanie teleskopu astronomowi lub bokserowi korzystania z jego pięści".

Errett Bishop w swojej pracy Podstawy analizy konstruktywnej z 1967 r. pracował nad rozwianiem tych obaw poprzez rozwinięcie dużej ilości tradycyjnej analizy w konstruktywnych ramach.

Chociaż większość matematyków nie akceptuje tezy konstruktywistów, że tylko matematyka wykonywana w oparciu o metody konstruktywne jest słuszna, metody konstruktywne cieszą się coraz większym zainteresowaniem ze względów nieideologicznych. Na przykład konstruktywne dowody w analizie mogą zapewnić wydobycie świadków w taki sposób, że praca w ramach ograniczeń metod konstruktywnych może ułatwić znalezienie świadków teorii niż przy użyciu metod klasycznych. Zastosowania matematyki konstruktywnej znaleziono także w typowanych obliczeniach lambda , teorii toposów i logice kategorialnej , które są ważnymi przedmiotami w matematyce podstawowej i informatyce . W algebrze, dla takich bytów jak topos i algebry Hopfa , struktura wspiera język wewnętrzny, który jest teorią konstruktywną; praca w ramach tego języka jest często bardziej intuicyjna i elastyczna niż praca zewnętrznie za pomocą takich środków, jak wnioskowanie o zbiorze możliwych konkretnych algebr i ich homomorfizmach .

Fizyk Lee Smolin pisze w Three Roads to Quantum Gravity, że teoria toposu jest „właściwą formą logiki dla kosmologii” (str. 30) i „W swoich pierwszych formach nazywano ją 'logiką intuicjonistyczną'” (str. 31). „W tego rodzaju logice wypowiedzi obserwatora na temat wszechświata są podzielone na co najmniej trzy grupy: te, które możemy ocenić jako prawdziwe, te, które możemy uznać za fałszywe i te, o których prawdziwości nie możemy się zdecydować. teraźniejszość” (str. 28).

Matematycy, którzy wnieśli duży wkład w konstruktywizm

Gałęzie

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki