Element koniugatu (teoria Pole) - Conjugate element (field theory)

W matematyce , zwłaszcza teorii pola , gdy elementy sprzężone z an algebraicznych elementów  alfa , nad rozszerzeniem obszar L / K , są korzenie minimalnym wielomianu p _{K , α} ( x ) z alfa nad K . Elementy sprzężone są również nazywane koniugatów Galois lub po prostu koniugatów . Zwykle a sama jest w zestawie koniugatów  alfa .

Przykład

Korzenie sześcianu numer jeden to:

${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {1}} = {\ {przypadków rozpoczynają} \\ 1 [3pt] - {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {\ sqrt {3}} {2}} i \\ [5pt] - {\ Frac {1}}} {2 - {\ Frac {\ sqrt {3}}} {2} i \ końcowych {przypadków}}}$

Te dwa ostatnie elementy są korzenie koniugatu Q [ I √ 3 ] z minimalnym wielomianu

${\ Displaystyle \ lewo (x + {\ Frac {1} {2}} \ prawej) ^ {2} + {\ Frac {3}, {4}} = x ^ {2} + x + 1.}$

Nieruchomości

Jeżeli K podano wewnątrz algebraicznie zamkniętego pola C , a następnie koniugaty można przyjmować wewnątrz C . Jeżeli nie ma takiego C podano, można przyjąć w niektórych koniugatów stosunkowo małe pole L . Najmniejszy możliwy wybór L ma mieć pole dzielenia przez K o p _{K , alfa} , zawierający  alfa . Jeśli L oznacza dowolny normalnego rozszerzenia o K zawierający  alfa , a następnie z definicji, zawiera już takiego pola łupania.

Biorąc pod uwagę, wtedy rozszerzenie normalne l o K z grupy automorfizmem Aut ( l / K ) = G i zawierającego α , każdy element g ( α ) do g , w G będzie sprzężona z alfa , ponieważ automorfizmem g wysyła korzeni str do korzeni p . Z drugiej strony każdy koniugat β z alfa jest tej postaci, innymi słowy, G występuje przechodni w koniugatach. Wynika to w K ( α ) jest K -isomorphic do K ( P ) poprzez nieredukowalności minimalnego wielomianu i każda Izomorfizm pól F i F „który mapuje wielomianu s do p ” może być rozszerzony do izomorfizmie pól rozłupywania P przez F i P ' na F ' , odpowiednio.

Podsumowując, elementy sprzężone z alfa znajdują się w każdym normalnego rozszerzenia L z K , który zawiera K ( alfa ), a zestaw elementów g ( alfa ) do g , w Aut ( l / K ). Liczba powtórzeń na tej liście każdego elementu jest oddzielić stopień [ l : K ( α )] _sep .

Twierdzenie o Kroneckera , że jeśli α jest niezerowe algebraiczna liczbą całkowitą tak, że α i wszystkie jej koniugatów w liczbach zespolonych ma wartość bezwzględną co najwyżej 1, następnie α jest pierwiastkiem jedności . Istnieją formy ilościowe tego, stwierdzając dokładniej granic (w zależności od stopnia) z największą wartością bezwzględną koniugatu, które sugerują, że całkowita algebraiczna jest pierwiastkiem jedności.

Referencje

• David S. Dummit Richard M. Foote, algebry abstrakcyjnej , 3rd ed., Wiley, 2004.

Linki zewnętrzne

• Weisstein Eric W. "Conjugate Elements" . MathWorld .