Sekcja stożkowa - Conic section

Rodzaje przekrojów stożkowych:
1: Okrąg        2: Elipsa
3: Parabola  4: Hiperbola
Tablica stożkowa, Cyklopaedia , 1728

W matematyce , A stożkowej (lub po prostu stożkową ) jest krzywej oblicza się jako przecięcie powierzchni o stożku z samolotu . Trzy typy przekroju stożkowego to hiperbola , parabola i elipsa ; koło jest szczególnym przypadkiem elipsy, choć historycznie było czasami nazywany Czwarty typ. Starożytni greccy matematycy badali przekroje stożkowe, których kulminacją była około 200 rpne systematyczna praca Apoloniusza z Pergi nad ich właściwościami.

Przekroje stożkowe w płaszczyźnie euklidesowej mają różne właściwości wyróżniające, z których wiele można wykorzystać jako definicje alternatywne. Jedna z takich właściwości definiuje niekołowy stożek jako zbiór tych punktów, których odległości do określonego punktu, zwanego ogniskiem , i pewnej konkretnej linii, zwanej kierownicą , są w stałym stosunku, zwanym mimośrodem . Rodzaj stożka zależy od wartości mimośrodu. W geometrii analitycznej stożek może być zdefiniowany jako płaska krzywa algebraiczna stopnia 2; czyli jako zbiór punktów, których współrzędne spełniają równanie kwadratowe dwóch zmiennych, które można zapisać w postaci macierzowej . Równanie to pozwala na wyprowadzenie i wyrażenie algebraicznie właściwości geometrycznych przekrojów stożkowych.

W płaszczyźnie euklidesowej trzy rodzaje przekrojów stożkowych wyglądają zupełnie inaczej, ale mają wiele wspólnych właściwości. Rozszerzając płaszczyznę euklidesową tak, aby obejmowała linię w nieskończoności, uzyskując płaszczyznę rzutową , pozorna różnica znika: gałęzie hiperboli spotykają się w dwóch punktach w nieskończoności, czyniąc z niej jedną zamkniętą krzywą; a dwa końce paraboli spotykają się, tworząc zamkniętą krzywą styczną do linii w nieskończoności. Dalsze rozszerzenie, poprzez rozszerzenie rzeczywistych współrzędnych, aby uwzględnić złożone współrzędne, zapewnia środki do algebraicznego widzenia tej unifikacji.

Geometria euklidesowa

Przekroje stożkowe były badane od tysięcy lat i dostarczyły bogatego źródła interesujących i pięknych wyników w geometrii euklidesowej .

Definicja

Czarne granice kolorowych obszarów są przekrojami stożkowymi. Nie pokazano drugiej połowy hiperboli, która znajduje się na niewidocznej drugiej połowie podwójnego stożka.

Stożkowa jest krzywą otrzymywano w przecięciu powierzchni , zwanej płaszczyzny cięcia , przy czym powierzchnia podwójnego stożka (stożek z dwoma nappes ). Dla łatwego opisu przyjmuje się zwykle, że stożek jest odpowiednim okrągłym stożkiem, ale nie jest to wymagane; wystarczy dowolny podwójny stożek o okrągłym przekroju. Płaszczyzny przechodzące przez wierzchołek stożka przecinają stożek w punkcie, linii lub parze przecinających się linii. Nazywa się je zdegenerowanymi stożkami i niektórzy autorzy w ogóle nie uważają ich za stożki. O ile nie zaznaczono inaczej, „stożkowy” w tym artykule będzie odnosić się do niezdegenerowanego stożka.

Istnieją trzy rodzaje stożków: elipsa , parabola i hiperbola . Koło jest szczególnym rodzajem elipsy, choć historycznie Apoloniusz traktowane jako czwartego typu. Elipsy powstają, gdy przecięcie stożka i płaszczyzny jest krzywą zamkniętą . Okrąg uzyskuje się, gdy płaszczyzna cięcia jest równoległa do płaszczyzny tworzącego okręgu stożka; dla prawego stożka oznacza to, że płaszczyzna cięcia jest prostopadła do osi. Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do dokładnie jednej tworzącej stożka, to stożka jest nieograniczona i nazywana jest parabolą . W pozostałym przypadku figura jest hiperbolą : płaszczyzna przecina obie połówki stożka, tworząc dwie oddzielne nieograniczone krzywe.

Ekscentryczność, skupienie i kierownica

Elipsy ( e = 1/2), paraboliczny ( e = 1) i hiperboli ( e = 2) o stałej ogniskowej F i kierownicą L ( e = ∞). Czerwone kółko ( e = 0) jest włączone jako odniesienie; nie ma kierownicy w samolocie.

Alternatywnie, można określić stożkowej wyłącznie pod względem geometrii płaskiej: jest umiejscowienie wszystkich punktów P , którego odległość od ustalonego punktu F (zwanej ostrości ) stanowi wielokrotność stałej (zwane mimośrodowość e ) na odległość od P do linii stacjonarnej L (zwanej kierownicą ). Dla 0 < e < 1 otrzymujemy elipsę, dla e = 1 parabolę, a dla e > 1 hiperbolę.

Okrąg jest przypadkiem granicznym i nie jest definiowany przez ognisko i kierownicę w płaszczyźnie euklidesowej. Ekscentryczność koła jest zdefiniowana jako zero, a jego ogniskiem jest środek koła, ale jego kierownica może być traktowana tylko jako linia w nieskończoności w płaszczyźnie rzutowej.

Ekscentryczność elipsy może być postrzegana jako miara tego, jak dalece elipsa odbiega od kołowości.

Jeżeli kąt między powierzchnią stożka a jego osią jest równy, a kąt między płaszczyzną cięcia a osią jest równy, mimośrodowość jest równa

Dowód na to, że powyższe krzywe określone przez właściwość focus-directrix są takie same jak te uzyskane przez płaszczyzny przecinające stożek jest ułatwiony przez użycie kul Jaskra .

Alternatywnie, elipsą mogą być definiowane w kategoriach dwóch punktów ostrości, jako zbiór punktów, dla których suma odległości do dwóch ognisk jest 2 ; natomiast hiperbola jest miejscem, dla którego różnica odległości wynosi 2 a . (Tutaj a jest wielką półoś określoną poniżej.) Parabolę można również zdefiniować w kategoriach jej ogniska i linii odbytnicy (równoległej do kierownicy i przechodzącej przez ognisko): jest to umiejscowienie punktów, których odległość do focus plus lub minus odległość do linii jest równa 2 a ; plus, jeśli punkt znajduje się między kierownicą a latus rectum, minus w przeciwnym razie.

Parametry stożkowe

Parametry stożkowe w przypadku elipsy

Oprócz mimośrodu ( e ), ognisk i kierownic, z przekrojem stożkowym związane są różne cechy geometryczne i długości.

Oś główną jest linia łącząca ogniska elipsy lub hiperboli, a jego punkt środkowy jest krzywa w centrum . Parabola nie ma środka.

Mimośród liniowa ( C ) jest odległością pomiędzy środkiem a naciskiem.

Latus odbytnicy jest cięciwa równolegle do kierownicę i przechodzącej przez ostrości; jego połowa długości to odbytnica półlatusowa ( ).

Parametr ogniskowej ( P ) jest odległością naciskiem do odpowiedniego kierownicę.

Główną oś jest akord między dwoma wierzchołkami: najdłuższa cięciwa elipsy, najkrótszą akord między gałęziami hiperboli. Jego połowa długości to półoś wielka ( a ). Kiedy jest elipsą lub hiperboli są w standardowej pozycji, jak w poniższych równań, z ogniskami w x -osiowy i środek w pochodzenia wierzchołkami stożkowa ma współrzędne (- a , 0) i ( , 0) , z A nieujemna.

Osi podrzędnych jest najkrótszą średnicę elipsy, i połowa jego długości jest osią naczepy drobne ( b ), tym samym wartość b , jak w standardowym równaniu poniżej. Analogicznie, dla hiperboli parametr b w standardowym równaniu jest również nazywany półoś małą.

Zachodzą następujące relacje:

Dla stożków w położeniu standardowym parametry te mają następujące wartości, przyjmując .

sekcja stożkowa równanie mimośród ( e ) mimośród liniowy ( c ) odbytnica półlatusowa ( ) parametr ogniskowy ( p )
okrąg
elipsa
parabola Nie dotyczy
hiperbola

Standardowe formularze we współrzędnych kartezjańskich

Standardowe formy elipsy
Standardowe formy paraboli
Standardowe formy hiperboli

Po wprowadzeniu współrzędnych kartezjańskich właściwość focus-directrix może zostać wykorzystana do utworzenia równań spełnianych przez punkty przekroju stożkowego. Za pomocą zmiany współrzędnych ( obrót i przesunięcie osi ) równania te mogą być ujęte w standardowe postacie . W przypadku elips i hiperboli standardowa forma ma oś x jako oś główną i początek (0,0) jako środek. Wierzchołkami są a , 0) i ogniska c , 0) . Zdefiniuj b przez równania c 2 = a 2b 2 dla elipsy i c 2 = a 2 + b 2 dla hiperboli. Dla okręgu c = 0, więc a 2 = b 2 . W przypadku paraboli forma standardowa skupia się na osi x w punkcie ( a , 0), a kierownicy na prostej o równaniu x = − a . W standardowej formie parabola zawsze przechodzi przez początek.

W przypadku hiperboli prostokątnej lub równobocznej , której asymptoty są prostopadłe, istnieje alternatywna standardowa postać, w której asymptoty są osiami współrzędnych, a linia x = y jest osią główną. Ogniska mają wtedy współrzędne ( c , c ) i ( −c , −c ) .

  • Okrąg: x 2 + y 2 = a 2
  • Elipsa: x 2/2 + r 2/b 2 = 1
  • Parabola: y 2 = 4 osie z a > 0
  • Hiperbola: x 2/2r 2/b 2 = 1
  • Hiperbola prostokątna: xy =c 2/2

Pierwsze cztery z tych form są symetryczne zarówno względem osi x, jak i osi y (dla okręgu, elipsy i hiperboli) lub tylko wokół osi x (dla paraboli). Hiperbola prostokątna jest jednak symetryczna względem linii y = x i y = − x .

Te standardowe formularze można zapisać parametrycznie jako,

  • Koło : ( cos θ , sin θ ) ,
  • Elipsa : ( a cos θ , b sin θ ) ,
  • Parabola : ( o 2 , 2 o ) ,
  • Hiperbola : ( a sec θ , b tan θ ) lub a cosh u , b sinh u ) ,
  • Hiperbola prostokątna : gdzie

Ogólna forma kartezjańska

W układzie współrzędnych kartezjańskich The wykres z równania kwadratowego dwóch zmiennych jest zawsze stożkowej (chociaż może być zdegenerowany ), a wszystkie stożkowe powstają w ten sposób. Najbardziej ogólne równanie ma postać

przy wszystkich współczynnikach liczb rzeczywistych i A, B, C nie wszystkie zero.

Notacja macierzowa

Powyższe równanie można zapisać w notacji macierzowej jako

Ogólne równanie można również zapisać jako

Ta forma jest specjalizacją formy jednorodnej używanej w bardziej ogólnym ustawieniu geometrii rzutowej (patrz poniżej ).

Dyskryminujący

Odcinki stożkowe opisane przez to równanie można sklasyfikować pod względem wartości , zwanej dyskryminatorem równania. Zatem wyróżnikiem jest − 4Δ gdzie Δ jest wyznacznikiem macierzowym

Jeśli stożek jest niezdegenerowany , wtedy:

  • jeśli B 2 - 4 AC < 0 , równanie reprezentuje elipsę ;
    • jeśli A = C i B = 0 , równanie przedstawia okrąg , co jest szczególnym przypadkiem elipsy;
  • jeśli B 2 − 4 AC = 0 , równanie przedstawia parabolę ;
  • jeśli B 2 − 4 AC > 0 , równanie reprezentuje hiperbolę ;

W stosowanym tu zapisie A i B są współczynnikami wielomianowymi, w przeciwieństwie do niektórych źródeł, które oznaczają półwiększe i małe osie jako A i B .

Niezmienniki

Dyskryminant B 2 – 4 AC równania kwadratowego przekroju stożkowego (lub równoważnie wyznacznik ACB 2 /4 macierzy 2×2) oraz wielkość A + C ( ślad macierzy 2×2) są niezmienne pod dowolne obroty i przesunięcia osi współrzędnych, co jest wyznacznikiem macierzy 3 × 3 powyżej . Stały wyraz F i suma D 2 + E 2 są niezmienne tylko w rotacji.

Mimośród pod względem współczynników

Gdy sekcja stożkowa jest napisana algebraicznie jako

mimośród można zapisać jako funkcję współczynników równania kwadratowego. Jeśli 4 AC = B 2 stożek jest parabolą, a jej mimośród jest równy 1 (pod warunkiem, że jest niezdegenerowany). W przeciwnym razie, zakładając, że równanie reprezentuje niezdegenerowaną hiperbolę lub elipsę, mimośród jest podany przez

gdzie η = 1, jeśli wyznacznik powyższej macierzy 3 × 3 jest ujemny, a η = -1, jeśli wyznacznik jest dodatni.

Można również wykazać, że mimośród jest dodatnim rozwiązaniem równania

gdzie znowu Ma dokładnie jedno pozytywne rozwiązanie — mimośród — w przypadku paraboli lub elipsy, podczas gdy w przypadku hiperboli ma dwa pozytywne rozwiązania, z których jednym jest mimośród.

Konwersja do postaci kanonicznej

W przypadku elipsy lub hiperboli równanie

można przekonwertować do postaci kanonicznej w zmiennych transformowanych jako

lub równoważnie

gdzie i są wartościami własnymi macierzy — czyli rozwiązaniami równania

— i jest wyznacznikiem macierzy 3 × 3 powyżej i ponownie jest wyznacznikiem macierzy 2 × 2. W przypadku elipsy kwadraty dwóch półosi są podane przez mianowniki w formie kanonicznej.

Współrzędne biegunowe

Rozwój przekroju stożkowego wraz ze wzrostem mimośrodowości e

We współrzędnych biegunowych przekrój stożkowy z jednym ogniskiem w punkcie początkowym i ewentualnie drugim o wartości ujemnej (dla elipsy) lub wartości dodatniej (dla hiperboli) na osi x , jest określony równaniem

gdzie e to mimośród, a l to odbytnica półlatusa.

Jak wyżej, dla e = 0 wykres jest kołem, dla 0 < e < 1 wykres jest elipsą, dla e = 1 parabolą, a dla e > 1 hiperbolą.

Postać biegunowa równania stożka jest często używana w dynamice ; na przykład wyznaczanie orbit obiektów krążących wokół Słońca.

Nieruchomości

Tak jak dwa (różne) punkty wyznaczają prostą, tak pięć punktów wyznacza stożkową . Formalnie, biorąc pod uwagę dowolne pięć punktów na płaszczyźnie w ogólnym położeniu liniowym , co oznacza, że ​​nie ma trzech współliniowych , przechodzi przez nie unikalny stożek, który będzie niezdegenerowany; dotyczy to zarówno płaszczyzny euklidesowej, jak i jej przedłużenia, rzeczywistej płaszczyzny rzutowej. Rzeczywiście, biorąc pod uwagę dowolne pięć punktów, przechodzi przez nie stożka, ale jeśli trzy z tych punktów są współliniowe, stożka będzie zdegenerowana (redukowalna, ponieważ zawiera linię) i może nie być unikatowa; zobacz dalszą dyskusję .

Cztery punkty na płaszczyźnie w ogólnym położeniu liniowym określają unikalny stożek przechodzący przez pierwsze trzy punkty i mający czwarty punkt jako środek. Zatem poznanie środka jest równoważne poznaniu dwóch punktów na stożku w celu wyznaczenia krzywej.

Co więcej, stożka jest określona przez dowolną kombinację k punktów w pozycji ogólnej, przez które przechodzi, oraz 5 – k linii, które są do niej styczne, dla 0≤ k ≤5.

Dowolny punkt na płaszczyźnie znajduje się na zerowej, jednej lub dwóch stycznych liniach stożka. Na stożku znajduje się punkt na tylko jednej stycznej. Mówi się, że punkt na żadnej linii stycznej jest punktem wewnętrznym (lub wewnętrznym ) stożka, podczas gdy punkt na dwóch liniach stycznych jest punktem zewnętrznym (lub zewnętrznym ).

Wszystkie sekcje stożkowe mają wspólną właściwość odbicia, którą można określić jako: Wszystkie lustra w kształcie niezdegenerowanej sekcji stożkowej odbijają światło przychodzące lub idące w kierunku jednego ogniska w kierunku lub od drugiego ogniska. W przypadku paraboli, drugie ognisko należy uważać za nieskończenie odległe, tak aby promienie światła biegnące w kierunku drugiego ogniska lub wychodzące z niego były równoległe.

Twierdzenie Pascala dotyczy współliniowości trzech punktów, które są skonstruowane ze zbioru sześciu punktów na dowolnej niezdegenerowanej stożku. Twierdzenie to obowiązuje również dla zdegenerowanych stożków składających się z dwóch prostych, ale w tym przypadku jest znane jako twierdzenie Pappusa .

Niezdegenerowane odcinki stożkowe są zawsze „ gładkie ”. Jest to ważne w wielu zastosowaniach, takich jak aerodynamika, gdzie wymagana jest gładka powierzchnia, aby zapewnić przepływ laminarny i zapobiec turbulencji .

Historia

Menechmus i wczesne prace

Uważa się, że pierwszą definicję przekroju stożkowego podał Menaechmus (zm. 320 p.n.e. ) jako część jego rozwiązania problemu Deliańskiego ( Duplikacja sześcianu ). Jego praca nie przetrwała, nawet nazwy, których użył dla tych krzywych, i jest znana tylko z drugorzędnych rachunków. Definicja używana w tamtym czasie różni się od tej powszechnie używanej dzisiaj. Stożki skonstruowano przez obrót prawego trójkąta o jednym z nogami tak Przeciwprostokątna tworzy powierzchnię stożka (taka linia jest nazywany tworzącą ). Trzy rodzaje czopków zostały określone na podstawie ich kątów wierzchołkowych (mierzonych jako dwukrotność kąta utworzonego przez przeciwprostokątną i obracającą się nogą w trójkącie prostym). Przekrój stożkowy został następnie określony przez przecięcie jednego z tych stożków z płaszczyzną narysowaną prostopadle do tworzącej. Typ stożka jest określony przez typ stożka, to znaczy przez kąt utworzony na wierzchołku stożka: Jeśli kąt jest ostry, to stożka jest elipsą; jeśli kąt jest właściwy, stożek jest parabolą; a jeśli kąt jest rozwarty, to stożka jest hiperbolą (ale tylko jedną gałęzią krzywej).

Mówi się, że Euklides (fl. 300 pne) napisał cztery książki o stożkach, ale one również zostały utracone. Wiadomo, że Archimedes (zmarł ok.  212 p.n.e. ) badał stożki, wyznaczając obszar ograniczony parabolą i cięciwą w Kwadraturze Paraboli . Jego główne zainteresowania dotyczyły mierzenia powierzchni i objętości figur związanych ze stożkami, a część tej pracy zachowała się w jego książce o bryłach obrotu stożków, O stożkach i sferoidach .

Apoloniusz z Pergau

Schemat ze stożków Apoloniusza , w tłumaczeniu arabskim z IX wieku

Największy postęp w badaniu stożków dokonany przez starożytnych Greków dokonał Apoloniusz z Pergi (zm . ok.  190 p.n.e. ), którego ośmiotomowe sekcje stożkowe lub stożkowe podsumowały i znacznie poszerzyły dotychczasową wiedzę. Badanie własności tych krzywych przez Apoloniusza pozwoliło wykazać, że każda płaszczyzna przecinająca stały podwójny stożek (dwa drapane), niezależnie od jej kąta, wytworzy stożek zgodnie z wcześniejszą definicją, prowadzącą do definicji powszechnie używanej dzisiaj. W ten sposób można również uzyskać koła, których nie da się zbudować wcześniejszą metodą. To może tłumaczyć, dlaczego Apoloniusz uważał koła za czwarty typ przekroju stożkowego, rozróżnienie, którego już nie robi się. Apolloniusz użył nazw „elipsa”, „parabola” i „hiperbola” dla tych krzywych, zapożyczając terminologię z wcześniejszych pitagorejskich prac dotyczących obszarów.

Pappusowi z Aleksandrii (zm . ok.  350 n.e.) przypisuje się wyjaśnienie znaczenia koncepcji ogniska stożka i uszczegółowienie powiązanej koncepcji kierownicy , w tym przypadku paraboli (której brak w znanych dziełach Apoloniusza).

Al-Kuhi

Instrument do rysowania przekrojów stożkowych został po raz pierwszy opisany w 1000 roku n.e. przez islamskiego matematyka Al-Kuhi .

Omar Chajjam

Dzieło Apoloniusza zostało przetłumaczone na język arabski, a większość jego prac przetrwała tylko w wersji arabskiej. Persowie znaleźli zastosowania tej teorii, w szczególności perski matematyk i poeta Omar Khayyám , który znalazł geometryczną metodę rozwiązywania równań sześciennych za pomocą przekrojów stożkowych.

Europa

Johannes Kepler rozszerzył teorię stożków o „ zasadę ciągłości ”, prekursora pojęcia granic. Kepler po raz pierwszy użył terminu „foci” w 1604 roku.

Girard Desargues i Blaise Pascal opracowali teorię stożków przy użyciu wczesnej formy geometrii rzutowej, co pomogło dać impuls do badań tej nowej dziedziny. W szczególności Pascal odkrył twierdzenie znane jako hexagrammum mysticum, z którego można wydedukować wiele innych właściwości stożków.

René Descartes i Pierre Fermat zastosowali swoją nowo odkrytą geometrię analityczną do badania stożków. Spowodowało to zredukowanie geometrycznych problemów stożkowych do problemów algebry. Jednak to John Wallis w swoim traktacie Tractatus de sectionibus conicis z 1655 roku jako pierwszy zdefiniował odcinki stożkowe jako przykłady równań drugiego stopnia. Napisany wcześniej, ale opublikowano później Jan de Witt „s elementa Curvarum Linearum rozpoczyna Keplera kinematycznej konstrukcji stożkowych i następnie rozwija równań algebraicznych. Praca ta, wykorzystująca metodologię Fermata i notację Kartezjusza, została opisana jako pierwszy podręcznik na ten temat. De Witt wymyślił termin „directrix”.

Aplikacje

Paraboloid kształt Archeocyathids produkuje stożkowych sekcje ścian skalnych

Przekroje stożkowe są ważne w astronomii : orbity dwóch masywnych obiektów, które oddziałują zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona, są przekrojami stożkowymi, jeśli uważa się, że ich wspólny środek masy znajduje się w spoczynku. Jeśli są ze sobą połączone, obydwoje kreślą elipsy; jeśli oddalają się, oboje podążają za parabolami lub hiperbolami. Zobacz problem dwóch ciał .

Właściwości odblaskowe przekrojów stożkowych są wykorzystywane w projektowaniu reflektorów, radioteleskopów i niektórych teleskopów optycznych. Reflektor wykorzystuje lustro paraboliczne jako reflektor, z żarówką w centrum; i podobna konstrukcja jest używana dla mikrofonu parabolicznego . 4,2-metrowy teleskop optyczny Herschel na La Palmie na Wyspach Kanaryjskich wykorzystuje pierwotne lustro paraboliczne do odbijania światła w kierunku wtórnego zwierciadła hiperbolicznego, które odbija je ponownie do ogniska za pierwszym zwierciadłem.

W prawdziwej płaszczyźnie rzutowej

Przekroje stożkowe mają bardzo podobne właściwości w płaszczyźnie euklidesowej, a przyczyny tego stają się jaśniejsze, gdy patrzy się na stożki z perspektywy większej geometrii. Płaszczyzna euklidesowa może być osadzona w rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej, a stożki mogą być traktowane jako obiekty w tej geometrii rzutowej. Jednym ze sposobów, aby to zrobić, jest wprowadzenie współrzędnych jednorodnych i zdefiniowanie stożka jako zbioru punktów, których współrzędne spełniają nierozkładalne równanie kwadratowe z trzema zmiennymi (lub równoważnie zerami nieredukowalnej postaci kwadratowej ). Bardziej technicznie, zbiór punktów, które są zerami w formie kwadratowej (w dowolnej liczbie zmiennych) jest nazywany kwadryką , a nieredukowalne kwadryki w dwuwymiarowej przestrzeni rzutowej (tj. mającej trzy zmienne) są tradycyjnie nazywane stożkami.

Euklidesowa płaszczyzny R 2 jest osadzony w rzeczywistym rzutowej samolotem przylegających linii w nieskończoności (i odpowiadający punktów w nieskończoności ), tak, że wszystkie linie równoległe klasy spotykają się na tej linii. Z drugiej strony, zaczynając od rzeczywistej płaszczyzny rzutowej, płaszczyznę euklidesową uzyskuje się przez rozróżnienie pewnej linii jako linii w nieskończoności i usunięcie jej wraz ze wszystkimi jej punktami.

Przecięcie w nieskończoności

W przestrzeni rzutowej nad dowolnym pierścieniem podziału, aw szczególności nad liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, wszystkie niezdegenerowane stożki są równoważne, a zatem w geometrii rzutowej mówi się po prostu o „stożku” bez określania typu. Oznacza to, że istnieje transformacja rzutowa, która mapuje dowolną niezdegenerowaną stożkową na dowolną inną niezdegenerowaną stożkową.

Trzy typy przekrojów stożkowych pojawią się ponownie w płaszczyźnie afinicznej uzyskanej przez wybranie linii przestrzeni rzutowej jako linii w nieskończoności. Te trzy typy są następnie określane przez to, jak ta linia w nieskończoności przecina stożkową w przestrzeni rzutowej. W odpowiedniej przestrzeni afinicznej otrzymujemy elipsę, jeśli stożkowa nie przecina prostej w nieskończoności, parabolę, jeśli stożkowa przecina prostą w nieskończoności w jednym podwójnym punkcie odpowiadającym osi, oraz hiperbolę, jeśli stożkowa przecina prostą w nieskończoności nieskończoność w dwóch punktach odpowiadających asymptotom.

Jednorodne współrzędne

We współrzędnych jednorodnych przekrój stożkowy można przedstawić jako:

Lub w notacji macierzowej

Powyższa macierz 3 × 3 nazywana jest macierzą przekroju stożkowego .

Niektórzy autorzy wolą pisać ogólne równanie jednorodne jako

(lub jakąś odmianą tego), aby macierz przekroju stożkowego miała prostszą postać,

ale ta notacja nie jest używana w tym artykule.

Jeżeli wyznacznik macierzy przekroju stożkowego wynosi zero, przekrój stożkowy jest zdegenerowany .

Ponieważ pomnożenie wszystkich sześciu współczynników przez ten sam niezerowy skalar daje równanie z tym samym zbiorem zer, można rozważyć stożki reprezentowane przez ( A , B , C , D , E , F ) jako punkty w pięciowymiarowej projekcji przestrzeń

Definicja projekcyjna okręgu

Pojęcia metryczne geometrii euklidesowej (pojęcia dotyczące pomiaru długości i kątów) nie mogą być od razu rozszerzone na rzeczywistą płaszczyznę rzutową. Muszą zostać przedefiniowane (i uogólnione) w tej nowej geometrii. Można to zrobić dla dowolnych płaszczyzn rzutowych , ale aby uzyskać rzeczywistą płaszczyznę rzutową jako rozszerzoną płaszczyznę euklidesową, należy dokonać pewnych konkretnych wyborów.

Ustal dowolną linię na płaszczyźnie rzutowej, która będzie określana jako linia bezwzględna . Wybierz dwa różne punkty na linii bezwzględnej i odnieś się do nich jako do punktów bezwzględnych . W odniesieniu do tych wyborów można zdefiniować kilka pojęć metrycznych. Na przykład, mając daną prostą zawierającą punkty A i B , środek odcinka AB definiuje się jako punkt C będący sprzężeniem harmonicznym rzutowym punktu przecięcia AB i prostej bezwzględnej względem A i B .

Stożkowa na płaszczyźnie rzutowej, która zawiera dwa punkty bezwzględne, nazywana jest kołem . Ponieważ pięć punktów określa stożek, okrąg (który może być zdegenerowany) jest określony przez trzy punkty. Aby uzyskać rozszerzoną płaszczyznę euklidesową, linia bezwzględna jest wybrana jako linia w nieskończoności płaszczyzny euklidesowej, a punkty bezwzględne to dwa specjalne punkty na tej linii zwane punktami kołowymi w nieskończoności . Linie zawierające dwa punkty o rzeczywistych współrzędnych nie przechodzą przez okrągłe punkty w nieskończoności, więc na płaszczyźnie euklidesowej okrąg, zgodnie z tą definicją, jest określony przez trzy punkty, które nie są współliniowe .

Wspomniano już, że okręgi na płaszczyźnie euklidesowej nie mogą być zdefiniowane przez właściwość focus-directrix. Jednakże, gdyby uznać linię w nieskończoności za kierownicę, to przyjmując mimośród jako e = 0, okrąg będzie miał właściwość focus-directrix, ale nadal nie jest zdefiniowany przez tę właściwość. Należy w tej sytuacji uważać, aby poprawnie użyć definicji ekscentryczności jako stosunku odległości punktu na kole do ogniska (długość promienia) do odległości tego punktu od kierownicy (ta odległość jest nieskończona). co daje wartość graniczną zero.

Rzutowa definicja stożka Steinera

Definicja generacji Steinera sekcji stożkowej

Syntetyczny (współrzędnej wolne) podejście do określenia stożkowe w płaszczyźnie rzutowej podał Jakob Steiner, 1867.

  • Biorąc pod uwagę dwa ołówki linii na dwa punkty (wszystkie linie zawierające i wzgl.) I rzutowe , ale nie perspektywa mapping of wychodzą . Następnie punkty przecięcia odpowiednich linii tworzą niezdegenerowany rzutowy przekrój stożkowy.

Perspektywicznym mapowania ołówka na ołówka jest bijection (1-1 korespondencji) tak, że odpowiadające im linie przecinają się na stacjonarnej , co nazywa się z perspektywiczność .

Rzutowa mapowanie jest skończoną sekwencję przekształceń perspektywicznych.

Ponieważ odwzorowanie rzutowe w płaszczyźnie rzutowej nad polem ( płaszczyzną pappiana ) jest jednoznacznie określone przez przypisanie obrazów trzech linii, dla generacji Steinera przekroju stożkowego, oprócz dwóch punktów należy podać tylko obrazy trzech linii. Te 5 elementów (2 punkty, 3 linie) jednoznacznie określa przekrój stożkowy.

Stożek linii

Zgodnie z zasadą dwoistości na płaszczyźnie rzutowej, podwójna wartość każdego punktu jest linią, a podwójność miejsca punktów (zbiór punktów spełniających pewien warunek) nazywa się obwiednią linii. Używając definicji stożka Steinera (to miejsce punktów będzie teraz nazywane stożkiem punktowym ) jako spotkania odpowiednich promieni dwóch spokrewnionych ołówków, łatwo jest dualizować i uzyskać odpowiednią obwiednię składającą się z połączeń odpowiednich punktów dwa powiązane zakresy (punkty na linii) na różnych podstawach (linie, na których znajdują się punkty). Taka koperta nazywana jest stożkiem liniowym (lub stożkowym podwójnym ).

W rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej stożka punktowa ma tę właściwość, że każda prosta przecina ją w dwóch punktach (które mogą się pokrywać lub mogą być złożone), a każdy zbiór punktów o tej właściwości jest stożkiem punktowym. Wynika z tego podwójnie, że stożkowa linia ma dwie linie przechodzące przez każdy punkt, a każda obwiednia linii z tą właściwością jest stożkiem linii. W każdym punkcie stożka punktowego znajduje się niepowtarzalna linia styczna, a podwójnie, na każdej linii stożka linii znajduje się unikalny punkt zwany punktem styczności . Ważnym twierdzeniem jest, że proste styczne stożka punktowego tworzą stożkową prostą, a podwójnie punkty styczności stożkowej prostej tworzą stożkową punktową.

Definicja von Staudta

Karl Georg Christian von Staudt zdefiniował stożek jako zbiór punktów dany przez wszystkie absolutne punkty biegunowości, która ma absolutne punkty. Von Staudt wprowadził tę definicję w Geometrie der Lage (1847) jako część swojej próby usunięcia wszystkich pojęć metrycznych z geometrii rzutowej.

Polaryzacji , π , o powierzchni projekcyjnej, P , jest involutory (to znaczy, z rzędu dwa) bijekcji pomiędzy punktami i linii P , który zachowuje relacji występowania . W ten sposób polaryzacja odnosi się do punktu P z przewodem P , natomiast po Gergonne , Q jest nazywany polarny z Q i Q słup z q . Absolutny punkt ( linii ) o polaryzacji jest padające z polarnym (biegunów).

Stożek von Staudta w rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej jest odpowiednikiem stożka Steinera .

Konstrukcje

Za pomocą liniału i kompasu nie można zbudować ciągłego łuku stożka. Istnieje jednak kilka konstrukcji linijkowo-kompasowych dla dowolnej liczby pojedynczych punktów na łuku.

Jedna z nich opiera się na odwrotności twierdzenia Pascala, a mianowicie, jeśli punkty przecięcia przeciwległych boków sześciokąta są współliniowe, to sześć wierzchołków leży na stożku. Mając pięć punktów A , B , C , D , E i linię przechodzącą przez E , powiedzmy EG , można skonstruować punkt F leżący na tej prostej i znajdujący się na stożku wyznaczonym przez pięć punktów. Niech AB spotka DE w L , BC spotka się z EG w M , a CD spotka LM w N . Następnie AN spotyka się z EG w wymaganym punkcie F . Zmieniając linię przez E , można zbudować tyle dodatkowych punktów na stożku, ile potrzeba.

Metoda równoległoboku do konstruowania elipsy

Inną metodą, opartą na konstrukcji Steinera i przydatną w zastosowaniach inżynierskich, jest metoda równoległoboku , w której stożka jest konstruowana punkt po punkcie poprzez połączenie pewnych równo rozmieszczonych punktów na linii poziomej i linii pionowej. W szczególności, aby skonstruować elipsę z równaniemx 2/2 + r 2/b 2= 1 , najpierw skonstruuj prostokąt ABCD z wierzchołkami A ( a , 0 ), B ( a , 2 b ), C (− a , 2 b ) i D (− a , 0) . Podziel bok BC na n równych odcinków i użyj rzutu równoległego względem przekątnej AC , aby utworzyć równe odcinki na boku AB (długości tych odcinków będą wynosićb/arazy długość segmentów w BC ). Na boku BC oznacz lewe punkty końcowe segmentów od A 1 do A n zaczynając od B i zmierzając w kierunku C . Na boku AB oznacz górne punkty końcowe D 1 do D n zaczynając od A i idąc w kierunku B . Punkty przecięcia AA iDD i dla 1 ≤ in będą punktami elipsy między A i P (0, b ) . Oznakowanie łączy linie ołówka przechodzące przez A z liniami ołówka przechodzące przez D projekcyjnie, ale nie perspektywicznie. Poszukiwana stożka jest otrzymywana przez tę konstrukcję, ponieważ trzy punkty A , D i P oraz dwie styczne (pionowe linie w A i D ) jednoznacznie określają stożkę. Jeżeli zamiast głównych i mniejszych osi elipsy stosuje się inną średnicę (i jej sprzężoną średnicę), w konstrukcji stosuje się równoległobok, który nie jest prostokątem, podając nazwę metody. Połączenie linii ołówków można rozszerzyć, aby uzyskać inne punkty na elipsy. Konstrukcje hiperboli i parabol są podobne.

Jeszcze inna ogólna metoda wykorzystuje właściwość polaryzacji do skonstruowania obwiedni stycznej stożka (stożka linii).

W złożonej płaszczyźnie rzutowej

W płaszczyźnie zespolonej C 2 elipsy i hiperbole nie różnią się od siebie: hiperbolę można uznać za elipsę o urojonej długości osi. Na przykład elipsa staje się hiperbolą po podstawieniu geometrycznie złożonym obrotem, dając . Zatem istnieje dwukierunkowa klasyfikacja: elipsa/hiperbola i parabola. Rozszerzenie krzywych do złożonej płaszczyzny rzutowej odpowiada przecięciu linii w nieskończoności w dwóch odrębnych punktach (odpowiadających dwóm asymptotom) lub w 1 podwójnym punkcie (odpowiadającym osi paraboli); zatem rzeczywista hiperbola jest bardziej sugestywnym rzeczywistym obrazem złożonej elipsy/hiperboli, ponieważ ma ona również 2 (rzeczywiste) przecięcia z linią w nieskończoności.

Dalsza unifikacja zachodzi w złożonej płaszczyźnie rzutowej CP 2 : niezdegenerowane stożki nie mogą być od siebie odróżnione, ponieważ każda może być sprowadzona do dowolnej innej przez rzutowe przekształcenie liniowe .

Można udowodnić, że w CP 2 dwa przekroje stożkowe mają cztery punkty wspólne (jeśli jeden uwzględnia krotność ), więc jest od 1 do 4 punktów przecięcia . Możliwościami przecięcia są: cztery różne punkty, dwa punkty osobliwe i jeden punkt podwójny, dwa punkty podwójne, jeden punkt osobliwy i jeden o wielokrotności 3, jeden punkt o wielokrotności 4. Jeśli dowolny punkt przecięcia ma krotność > 1, mówi się o dwóch krzywych być stycznym . Jeśli istnieje punkt przecięcia o wielokrotności co najmniej 3, mówi się, że dwie krzywe się poruszają . Jeśli istnieje tylko jeden punkt przecięcia, który ma krotność 4, mówi się, że dwie krzywe są superoskulacyjne .

Co więcej, każda linia prosta dwukrotnie przecina każdy odcinek stożkowy. Jeśli punkt przecięcia jest podwójny, linia jest linią styczną . Przecinając się z linią w nieskończoności, każda sekcja stożkowa ma dwa punkty w nieskończoności. Jeśli te punkty są rzeczywiste, krzywa jest hiperbolą ; jeśli są wyimaginowanymi sprzężeniami, jest to elipsa ; jeśli jest tylko jeden podwójny punkt, jest to parabola . Jeśli punkty w nieskończoności są punktami cyklicznymi (1, i , 0) oraz (1, – i , 0) , przekrój stożkowy jest kołem . Jeśli współczynniki przekroju stożkowego są rzeczywiste, punkty w nieskończoności są albo rzeczywiste, albo sprzężone zespolone .

Zwyrodniałe przypadki

To, co należy uznać za zdegenerowany przypadek stożka, zależy od użytej definicji i ustawienia geometrycznego przekroju stożkowego. Niektórzy autorzy definiują stożek jako dwuwymiarową niezdegenerowaną kwadrykę. W tej terminologii nie ma zdegenerowanych stożków (tylko zdegenerowane kwadryki), ale będziemy używać bardziej tradycyjnej terminologii i unikać tej definicji.

W płaszczyźnie euklidesowej, stosując definicję geometryczną, zdegenerowany przypadek powstaje, gdy płaszczyzna cięcia przechodzi przez wierzchołek stożka. Stożek zdegenerowany to: punkt , w którym płaszczyzna przecina stożek tylko na wierzchołku; prosta , gdy płaszczyzna styczna do stożka (zawiera dokładnie jeden generator stożka); lub para przecinających się linii (dwa generatory stożka). Odpowiadają one odpowiednio ograniczającym formom elipsy, paraboli i hiperboli.

Jeżeli stożka w płaszczyźnie euklidesowej jest określona zerami równania kwadratowego (czyli jako kwadryka), to stożkami zdegenerowanymi są: zbiór pusty , punkt lub para prostych, które mogą być równoległe, przecinają się w punkcie lub pokrywają się. Pusty przypadek zbioru może odpowiadać parze złożonych sprzężonych linii równoległych, jak w równaniu lub wyimaginowanej elipsie , jak w równaniu Elipsa urojona nie spełnia ogólnej definicji degeneracji i dlatego nie jest zwykle uważana jako zdegenerowany. Przypadek dwóch linii występuje, gdy kwadratowe wyrażenie dzieli się na dwa czynniki liniowe, zera każdego z nich dają linię. W przypadku, gdy współczynniki są takie same, odpowiadające sobie proste pokrywają się i odnosimy się do linii jako do linii podwójnej (linia z krotnością 2) i jest to poprzedni przypadek płaszczyzny cięcia stycznej.

W rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej, ponieważ równoległe linie spotykają się w punkcie na linii w nieskończoności, przypadek linii równoległej płaszczyzny euklidesowej można postrzegać jako przecinające się linie. Ponieważ jednak punktem przecięcia jest wierzchołek stożka, sam stożek degeneruje się do postaci walca , czyli z wierzchołkiem w nieskończoności. Inne przekroje w tym przypadku nazywane są przekrojami cylindrycznymi . Niezdegenerowane przekroje cylindryczne są elipsami (lub okręgami).

Patrząc z perspektywy złożonej płaszczyzny rzutowej, zdegenerowane przypadki rzeczywistej kwadratury (tj. równanie kwadratowe ma rzeczywiste współczynniki) można wszystkie uważać za parę linii, prawdopodobnie pokrywających się. Pustym zbiorem może być linia w nieskończoności traktowana jako linia podwójna, punkt (rzeczywisty) to przecięcie dwóch złożonych linii sprzężonych, a inne przypadki, jak wspomniano wcześniej.

Aby odróżnić zdegenerowane przypadki od niezdegenerowanych przypadków (w tym pusty zbiór z tym ostatnim) za pomocą notacji macierzowej, niech β będzie wyznacznikiem macierzy 3 × 3 przekroju stożkowego, czyli β = ( AC -B 2/4) F +ŁÓŻKOCD 2AE 2/4; i niech α = B 2 − 4 AC będzie wyróżnikiem. Wtedy przekrój stożkowy jest niezdegenerowany wtedy i tylko wtedy, gdy β ≠ 0 . Jeśli β = 0 mamy punkt, gdy α < 0 , dwie równoległe linie (prawdopodobnie pokrywające się) gdy α = 0 , lub dwie przecinające się, gdy α > 0 .

Ołówek stożków

Stożek (niezdegenerowany) jest całkowicie wyznaczony przez pięć punktów w położeniu ogólnym (bez trzech współliniowych ) w płaszczyźnie, a układ stożków przechodzących przez ustalony zbiór czterech punktów (znowu w płaszczyźnie i bez trzech współliniowych) nazywa się ołówek z stożkowych . Cztery wspólne punkty nazywane są punktami bazowymi ołówka. Przez dowolny punkt inny niż punkt bazowy przechodzi pojedyncza stożkowatość ołówka. Ta koncepcja uogólnia ołówek okręgów .

Przecięcie dwóch stożków

Rozwiązania układu dwóch równań drugiego stopnia w dwóch zmiennych można traktować jako współrzędne punktów przecięcia dwóch ogólnych przekrojów stożkowych. W szczególności dwie stożki mogą nie mieć żadnego, dwa lub cztery ewentualnie pokrywające się punkty przecięcia. Wydajna metoda lokalizacji tych rozwiązań wykorzystuje jednorodną reprezentację macierzową przekrojów stożkowych , tj. macierz symetryczną 3 × 3 , która zależy od sześciu parametrów.

Procedura lokalizowania punktów przecięcia przebiega według następujących kroków, gdzie stożki są reprezentowane przez macierze:

  • biorąc pod uwagę dwie stożki i , rozważ ołówek stożków podany przez ich kombinację liniową
  • zidentyfikować jednorodne parametry, które odpowiadają zdegenerowanej stożku ołówka. Można to zrobić przez nałożenie warunku i rozwiązanie dla i . Okazuje się, że są to rozwiązania równania trzeciego stopnia.
  • biorąc pod uwagę zdegenerowany stożek , zidentyfikuj dwie, prawdopodobnie zbieżne, tworzące go linie.
  • przeciąć każdą zidentyfikowaną linię z jednym z dwóch oryginalnych stożków; ten krok można wykonać skutecznie, używając podwójnej reprezentacji stożkowej
  • punkty przecięcia będą reprezentować rozwiązania początkowego układu równań.

Uogólnienia

Stożek można zdefiniować na innych polach (to znaczy w innych geometriach pappijskich ). Należy jednak zachować ostrożność, gdy pole ma charakterystykę 2, ponieważ niektóre formuły nie mogą być użyte. Na przykład reprezentacje macierzowe użyte powyżej wymagają dzielenia przez 2.

Uogólnieniem niezdegenerowanej stożka w płaszczyźnie rzutowej jest owal . Owal to zbiór punktów, który ma następujące właściwości, które są utrzymywane przez stożki: 1) dowolna linia przecina owal w żadnym, w jednym lub dwóch punktach, 2) w dowolnym punkcie owalu istnieje unikalna linia styczna.

Uogólnienie właściwości ogniskowania stożków na przypadek, w którym jest więcej niż dwa ogniska, daje zbiory zwane uogólnionymi stożkami .

W innych dziedzinach matematyki

Klasyfikacja na eliptyczne, paraboliczne i hiperboliczne jest wszechobecna w matematyce i często dzieli pole na ostro odrębne podpola. Klasyfikacja wynika głównie z obecności formy kwadratowej (w dwóch zmiennych odpowiada to skojarzonemu wyróżnikowi ), ale może również odpowiadać ekscentryczności.

Klasyfikacje postaci kwadratowej:

Formy kwadratowe
Formy kwadratowe nad liczbami rzeczywistymi są klasyfikowane zgodnie z prawem bezwładności Sylwestra , a mianowicie według ich indeksu dodatniego, indeksu zerowego i indeksu ujemnego: forma kwadratowa w n zmiennych może być przekształcona w formę diagonalną , gdzie liczba współczynników +1, k , jest indeksem dodatnim, liczba -1 współczynników, , jest indeksem ujemnym, a pozostałe zmienne są indeksem zerowym m, więc W dwóch zmiennych niezerowe formy kwadratowe są klasyfikowane jako:
  • – pozytyw-określony (w tym negatyw), odpowiadający elipsom,
  • – zdegenerowane, odpowiadające paraboli, oraz
  • – nieokreślony, odpowiadający hiperboli.
W przypadku dwóch zmiennych formy kwadratowe są klasyfikowane przez dyskryminację, analogicznie do stożków, ale w wyższych wymiarach bardziej użyteczna jest klasyfikacja jako określona (wszystkie dodatnie lub wszystkie ujemne), zdegenerowana (niektóre zera) lub nieokreślona (mieszanka dodatnich i ujemnych, ale bez zer). Ta klasyfikacja leży u podstaw wielu następnych.
Krzywizna
Krzywizny Gaussa z powierzchni określa geometrię nieskończenie i mogą w każdym punkcie być dodatnia - geometria eliptyczny zero - geometria euklidesowa (płaskie, paraboli) lub ujemna - geometria hiperboliczny ; w nieskończoność, do drugiego rzędu powierzchnia wygląda jak wykres (lub 0) lub . Rzeczywiście, przez twierdzenie o uniformizacji każda powierzchnia może być uznana za globalnie (w każdym punkcie) zakrzywioną dodatnio, płaską lub zakrzywioną ujemnie. W wyższych wymiarach tensor krzywizny Riemanna jest obiektem bardziej skomplikowanym, ale rozmaitości o stałej krzywiźnie przekroju są interesującymi obiektami badań i mają uderzająco różne właściwości, jak omówiono w artykule Krzywizna przekroju .
PDE drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe (PDE) drugiego rzędu są klasyfikowane w każdym punkcie jako eliptyczne, paraboliczne lub hiperboliczne, zgodnie z tym, że ich terminy drugiego rzędu odpowiadają eliptycznej, parabolicznej lub hiperbolicznej formie kwadratowej. Zachowanie i teoria tych różnych typów PDE są uderzająco różne – reprezentatywnymi przykładami jest to, że równanie Poissona jest eliptyczne, równanie ciepła jest paraboliczne, a równanie falowe jest hiperboliczne.

Klasyfikacje ekscentryczności obejmują:

transformacje Möbiusa
Rzeczywiste przekształcenia Möbiusa (elementy PSL 2 ( R ) lub jego dwukrotne pokrycie, SL 2 ( R ) ) są klasyfikowane jako eliptyczne, paraboliczne lub hiperboliczne odpowiednio, ponieważ ich półślad jest lub odzwierciedla klasyfikację przez mimośród.
Stosunek wariancji do średniej
Stosunek wariancji do średniej klasyfikuje kilka ważnych rodzin dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa : rozkład stały jako kołowy (mimośrodowość 0), rozkłady dwumianowe jako eliptyczne, rozkłady Poissona jako paraboliczne, a ujemne rozkłady dwumianowe jako hiperboliczne. Jest to opracowane na kumulantach niektórych dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa .
W tym interaktywnym SVG przesuń w lewo i w prawo nad obrazem SVG, aby obrócić podwójny stożek

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

Zewnętrzne linki