Stożek - Cone

Prawy okrągły stożek i ukośny okrągły stożek
Podwójny stożek (nie pokazano nieskończenie rozciągnięty)
Model 3D stożka

Stożek jest trójwymiarowy kształt geometryczny , który zwęża się płynnie z płaskiej podstawy (często, ale nie zawsze, okrągły) do punktu zwany szczyt lub wierzchołka .

Stożek jest utworzony przez zestaw odcinków linii , półprostych lub linii łączących wspólny punkt, wierzchołek, ze wszystkimi punktami na podstawie, która znajduje się w płaszczyźnie , która nie zawiera wierzchołka. W zależności od autora, podstawą może być okrąg , dowolna jednowymiarowa forma kwadratowa w płaszczyźnie, dowolna zamknięta figura jednowymiarowa lub dowolny z powyższych plus wszystkie zawarte punkty. Jeśli zamknięte punkty są zawarte w podstawie, stożek jest obiektem litym ; w przeciwnym razie jest to dwuwymiarowy obiekt w przestrzeni trójwymiarowej. W przypadku ciała stałego granicę utworzoną przez te linie lub linie cząstkowe nazywa się powierzchnią boczną ; jeśli powierzchnia boczna jest nieograniczona, jest to powierzchnia stożkowa .

W przypadku odcinków liniowych stożek nie wystaje poza podstawę, natomiast w przypadku półprostych rozciąga się nieskończenie daleko. W przypadku linii stożek rozciąga się nieskończenie daleko w obu kierunkach od wierzchołka, w takim przypadku nazywany jest czasem podwójnym stożkiem. Każda połowa podwójnego stożka po jednej stronie wierzchołka nazywana jest płaszczem .

stożka jest linia prosta (jeśli w ogóle), przechodzącej przez wierzchołek, o którym podstawa (i cały stożek) ma symetrię kołową .

W powszechnym użyciu w elementarnej geometrii zakłada się, że stożki są prawoskrętne , gdzie kołowe oznacza, że ​​podstawa jest kołem, a prawostronne , że oś przechodzi przez środek podstawy pod kątem prostym do jej płaszczyzny. Jeśli stożek jest prawy kołowy, przecięcie płaszczyzny z powierzchnią boczną jest przekrojem stożkowym . Ogólnie jednak podstawa może mieć dowolny kształt, a wierzchołek może leżeć w dowolnym miejscu (chociaż zwykle zakłada się, że podstawa jest ograniczona i dlatego ma skończoną powierzchnię , a wierzchołek leży poza płaszczyzną podstawy). Kontrastowe ze stożkami prawymi są stożki skośne, w których oś przechodzi przez środek podstawy nie prostopadle.

Stożek o wielokątnej podstawie nazywany jest piramidą .

W zależności od kontekstu „stożek” może również oznaczać konkretnie wypukły stożek lub stożek projekcyjny .

Szyszki można również uogólnić na wyższe wymiary .

Dalsza terminologia

Obwód podstawy stożka nazywa się „kierownicą”, a każdy z odcinków linii między kierownicą a wierzchołkiem jest „generatrix” lub „linią generującą” powierzchni bocznej. (Powiązanie między tym znaczeniem terminu „directrix” a kierownicą sekcji stożkowej, patrz Sfery Dandelin .)

„Promień podstawy” okrągłego stożka to promień jego podstawy; często nazywa się to po prostu promieniem stożka. Otwór z kołowego stożka jest Maksymalny kąt pomiędzy dwiema liniami tworząca; jeśli tworząca tworzy kąt θ do osi, apertura wynosi 2 θ .

Ilustracja z Problemata mathematica... opublikowanej w Acta Eruditorum , 1734

Stożek z regionem zawierającym jego wierzchołek odcięty przez płaszczyznę nazywany jest „ stożkiem ściętym ”; jeśli płaszczyzna ścięcia jest równoległa do podstawy stożka, nazywa się to ściętym . „Stożek eliptyczny” to stożek o eliptycznej podstawie. „Uogólniony stożek” to powierzchnia utworzona przez zestaw linii przechodzących przez wierzchołek i każdy punkt na granicy (patrz także kadłub wizualny ).

Pomiary i równania

Tom

Objętość któregokolwiek stożkowa osad jedną trzecią produktu o powierzchni podstawy i wysokości

W nowoczesnej matematyki, wzór ten można łatwo obliczyć za pomocą rachunku - to, do skalowania, integralny Bez użycia rachunku, formuła może być sprawdzona przez porównanie stożek do piramidy i zastosowanie zasada cavalieriego - konkretnie, porównując stożek Do (skalowany w pionie) ostrosłup kwadratowy w prawo, który tworzy jedną trzecią sześcianu. Formuły tej nie można udowodnić bez użycia takich nieskończenie małych argumentów — w przeciwieństwie do dwuwymiarowych formuł dla pola wielościennego, choć podobnego do pola koła — i stąd dopuszczono mniej rygorystyczne dowody przed pojawieniem się rachunku różniczkowego, przy czym starożytni Grecy stosowali metodę wyczerpanie . Jest to w istocie treść trzeciego problemu Hilberta — a dokładniej, nie wszystkie wielościenne piramidy są przystające nożycami (mogą być cięte na skończone kawałki i przestawiane w inne), a zatem objętość nie może być obliczona wyłącznie przy użyciu argumentu dekompozycji —.

Środek masy

Środka masy od stożkowej bryły jednolitą gęstość mieści jedną czwartą drodze od środka podstawy do wierzchołka, na prostej linii łączącej dwa.

Prawy okrągły stożek

Tom

Dla okrągłego stożka o promieniu r i wysokości h podstawą jest okrąg o powierzchni, więc wzór na objętość wynosi

Wysokość skosu

Wysokość skosu prawego okrągłego stożka to odległość od dowolnego punktu na okręgu jego podstawy do wierzchołka poprzez odcinek wzdłuż powierzchni stożka. Wyrażana jest wzorem , gdzie jest promieniem podstawy, a wysokością. Świadczy o tym twierdzenie Pitagorasa .

Powierzchnia

Powierzchnia boczna powierzchnia, kołowego stożka wynosi w którym promień koła przy dolnej części stożka i jest skos wysokość stożka. Pole powierzchni dolnego okręgu stożka jest takie samo jak dla każdego okręgu, . Zatem całkowite pole powierzchni prawego okrągłego stożka można wyrazić jako każdy z poniższych:

  • Promień i wysokość
(pole podstawy plus pole powierzchni bocznej; pojęcie to wysokość skosu)
gdzie jest promień, a wysokość.
  • Promień i wysokość skosu
gdzie jest promień i wysokość skosu.
  • Obwód i wysokość skosu
gdzie jest obwód i wysokość skosu.
  • Kąt wierzchołkowy i wysokość
gdzie jest kątem wierzchołka i jest wysokością.

Sektor o obiegu zamkniętym

Sektor kołowy uzyskany przez rozłożenie powierzchni jednej karbu stożka ma:

  • promień R
  • długość łuku L
  • kąt centralny φ w radianach

Forma równania

Powierzchnię stożka można sparametryzować jako

gdzie jest kątem „wokół” stożka, a „wysokość” wzdłuż stożka.

Prawy pełny okrągły stożek o wysokości i otworze , którego oś jest osią współrzędnych, a wierzchołek jest początkiem, jest opisany parametrycznie jako

gdzie zakres powyżej , , i , odpowiednio.

W niejawnej formie ta sama bryła jest zdefiniowana przez nierówności

gdzie

Bardziej ogólnie, prawy okrągły stożek z wierzchołkiem na początku, osią równoległą do wektora i otworem , jest określony przez niejawne równanie wektorowe, gdzie

  lub  

gdzie , i oznacza iloczyn skalarny .

Stożek eliptyczny

eliptyczna powierzchnia stożka kwadratowego
Kwadratowa powierzchnia eliptycznego stożka

W układzie współrzędnych kartezjańskich An eliptyczny stożek jest locus równania formie

Jest to affine obraz z prawej okrągłym stożka jednostkowej z równaniem z faktu, że afiniczna obraz stożkowej jest stożkowa część tego samego typu (elipsa, parabola, ...) dostaje:

  • Każdy płaski przekrój stożka eliptycznego jest przekrojem stożkowym.

Oczywiście każdy prawy okrągły stożek zawiera koła. Odnosi się to również, ale mniej oczywiste, w ogólnym przypadku (patrz okrągły rozdział ).

Przecięcie stożka eliptycznego z koncentryczną kulą jest stożkiem kulistym .

Geometria rzutowa

W geometrii rzutowej , A cylindra jest tylko stożka, którego wierzchołek jest w nieskończoności, co odpowiada wizualnie cylindra w perspektywie pojawiające się stożek w kierunku nieba.

W geometrii rzutowej , A cylindra jest tylko stożka, którego wierzchołek znajduje się w nieskończoność. Intuicyjnie, jeśli trzymamy nieruchomą podstawę i przyjmujemy granicę, gdy wierzchołek zmierza do nieskończoności, otrzymujemy walec, którego kąt boku rośnie jak arctan , w granicy tworzącej kąt prosty . Jest to przydatne przy definiowaniu stożków zdegenerowanych , które wymagają uwzględnienia stożków cylindrycznych .

Według GB Halsteda , stożek jest generowany podobnie do stożka Steinera tylko z ołówkami projekcyjnymi i osiowymi (nie w perspektywie), a nie zakresami rzutowymi stosowanymi dla stożka Steinera:

„Jeżeli dwa punktowe ołówki osiowe nierówne są rzutami, ale nie perspektywą, spotkania skorelowanych płaszczyzn tworzą 'powierzchnię stożkową drugiego rzędu' lub 'stożek'.

Wyższe wymiary

Definicję stożka można rozszerzyć do wyższych wymiarów (patrz stożki wypukłe ). W tym przypadku mówimy, że zbiór wypukły C w rzeczywistej przestrzeni wektorowej R n jest stożkiem (z wierzchołkiem na początku) jeśli dla każdego wektora x w C i każdej nieujemnej liczby rzeczywistej a , wektor ax znajduje się w C . W tym kontekście analogi okrągłych stożków zwykle nie są wyjątkowe; w rzeczywistości często interesują się stożki wielościenne .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Rachunek z geometrią analityczną (2nd ed.), Czytanie: Addison-Wesley , LCCN  76087042

Linki zewnętrzne