Twierdzenie przysięgłych Condorceta - Condorcet's jury theorem

Jury twierdzenie Condorceta jest polityczna nauka twierdzenie o względnego prawdopodobieństwa danej grupy osób przybywających na właściwej decyzji. Twierdzenie to zostało po raz pierwszy wyrażone przez markiza de Condorcet w jego pracy Esej o zastosowaniu analizy do prawdopodobieństwa decyzji większościowych z 1785 roku .

Założenia twierdzenia są takie, że grupa chce podjąć decyzję większością głosów . Jeden z dwóch wyników głosowania jest prawidłowy , a każdy głosujący ma niezależne prawdopodobieństwo p zagłosowania za poprawną decyzją. Twierdzenie to pyta, ilu wyborców powinniśmy zaliczyć do tej grupy. Wynik zależy od tego, czy p jest większe czy mniejsze niż 1/2:

  • Jeśli p jest większe niż 1/2 (każdy głosujący ma większe prawdopodobieństwo, że zagłosuje poprawnie), dodanie większej liczby głosujących zwiększa prawdopodobieństwo, że decyzja większości jest prawidłowa. W limicie prawdopodobieństwo, że większość głosuje poprawnie zbliża się do 1 w miarę wzrostu liczby głosujących.
  • Z drugiej strony, jeśli p jest mniejsze niż 1/2 (każdy wyborca ​​prawdopodobnie zagłosuje niepoprawnie), to dodanie większej liczby wyborców pogarsza sprawę: optymalne jury składa się z jednego wyborcy.

Od czasu Condorceta wielu innych badaczy udowodniło różne inne twierdzenia przysięgłych , rozluźniając niektóre lub wszystkie założenia Condorceta.

Dowody

Dowód 1: Obliczanie prawdopodobieństwa, że ​​dwóch dodatkowych wyborców zmieni wynik

Aby uniknąć konieczności stosowania zasady rozstrzygania remisów, zakładamy, że n jest nieparzyste. Zasadniczo ten sam argument działa nawet dla n, jeśli remisy zostaną zerwane przez uczciwe rzuty monetą.

Załóżmy teraz, że zaczynamy od n wyborców i niech m z tych wyborców zagłosuje poprawnie.

Zastanów się, co się stanie, gdy dodamy dwóch kolejnych wyborców (aby całkowita liczba była nieparzysta). Większość głosów zmienia się tylko w dwóch przypadkach:

  • m było o jeden głos za małe, aby uzyskać większość n głosów, ale obaj nowi wyborcy głosowali poprawnie.
  • m było równe większości n głosów, ale obaj nowi wyborcy głosowali niepoprawnie.

Przez resztę czasu albo nowe głosy znikają, tylko powiększają lukę, albo nie robią wystarczającej różnicy. Tak więc obchodzi nas tylko to, co się stanie, gdy pojedynczy głos (wśród pierwszych n ) oddzieli poprawną od nieprawidłowej większości.

Ograniczając naszą uwagę do tego przypadku, możemy sobie wyobrazić, że pierwsze n -1 głosów unieważnia się, a decydujący głos odda n- ty głosujący. W tym przypadku prawdopodobieństwo uzyskania prawidłowej większości wynosi tylko p . Załóżmy teraz, że wysyłamy dwóch dodatkowych wyborców. Prawdopodobieństwo, że zmienią większość nieprawidłową na większość poprawną wynosi (1- p ) p 2 , natomiast prawdopodobieństwo, że zmienią większość poprawną na większość nieprawidłową wynosi p (1- p ) (1- p ). Pierwsze z tych prawdopodobieństw jest większe niż drugie wtedy i tylko wtedy, gdy p > 1/2, co dowodzi twierdzenia.

Dowód 2: Obliczanie prawdopodobieństwa, że ​​decyzja jest prawidłowa

Ten dowód jest bezpośredni; po prostu podsumowuje prawdopodobieństwa większości. Każdy wyraz sumy mnoży liczbę kombinacji większości przez prawdopodobieństwo tej większości. Każda większość jest liczona za pomocą kombinacji , n przedmiotów wziętych k na raz, gdzie n to wielkość ławy przysięgłych, a k to wielkość większości. Prawdopodobieństwo waha się od 0 (= głos zawsze jest błędny) do 1 (= zawsze słuszny). Każda osoba decyduje samodzielnie, więc prawdopodobieństwa jej decyzji mnożą się. Prawdopodobieństwo każdej prawidłowej decyzji wynosi p . Prawdopodobieństwo błędnej decyzji, q , jest przeciwieństwem p , tj. 1 − p . Notacja potęgowa, czyli jest skrótem dla x mnożenia p .

Dokładność komisji lub jury można łatwo oszacować, stosując to podejście w arkuszach kalkulacyjnych lub programach komputerowych.

Jako przykład weźmy najprostszy przypadek n = 3, p = 0,8. Musimy pokazać, że 3 osoby mają więcej niż 0,8 szansy na rację. W rzeczy samej:

0,8 × 0,8 × 0,8 + 0,8 × 0,8 × 0,2 + 0,8 × 0,2 × 0,8 + 0,2 × 0,8 × 0,8 = 0,896.

Asymptotyka

Prawdopodobieństwo prawidłowej decyzji większościowej P ( n ,  p ), gdy indywidualne prawdopodobieństwo p jest bliskie 1/2 rośnie liniowo w przeliczeniu na p − 1/2. Dla n wyborców każdy ma prawdopodobieństwo p prawidłowej decyzji i dla nieparzystego n (gdzie nie ma remisu):

gdzie

a przybliżenie asymptotyczne w kategoriach n jest bardzo dokładne. Rozszerzenie jest tylko w dziwnych mocach i . W uproszczeniu oznacza to, że gdy decyzja jest trudna ( p blisko 1/2), zysk z n wyborców rośnie proporcjonalnie do .

Twierdzenie w innych dyscyplinach

Twierdzenie przysięgłych Condorceta zostało ostatnio użyte do konceptualizacji integracji wyników, gdy kilku lekarzy czytających (radiologów, endoskopistów itp.) niezależnie ocenia obrazy pod kątem aktywności choroby. Zadanie to pojawia się w centralnym odczycie wykonywanym podczas badań klinicznych i ma podobieństwo do głosowania. Według autorów, zastosowanie tego twierdzenia może przełożyć indywidualne wyniki czytelnika na wynik końcowy w sposób zarówno matematycznie poprawny (poprzez unikanie uśredniania danych porządkowych), matematycznie wykonalny do dalszej analizy, jak i w sposób zgodny z zadanie oceniania pod ręką (na podstawie decyzji o obecności lub braku cech, subiektywne zadanie klasyfikacyjne)

Twierdzenie jury Condorceta jest również wykorzystywane w uczeniu zespołowym w dziedzinie uczenia maszynowego . Metoda zespołowa łączy przewidywania wielu indywidualnych klasyfikatorów w drodze głosowania większościowego. Zakładając, że każdy z indywidualnych klasyfikatorów przewiduje z nieco większą niż 50% dokładnością, a ich przewidywania są niezależne, zespół ich przewidywań będzie znacznie większy niż ich indywidualne wyniki predykcyjne.

Dalsza lektura

Uwagi