Seria kompozycji - Composition series

W abstrakcyjnej Algebra , A series kompozycja stanowi aż do wyłamania się algebraiczną struktury , takie jak grupa lub modułem , do prostych części. Potrzeba rozważa szereg kompozycji w kontekście modułów wynika z faktu, że wiele naturalnie występujące moduły nie są półprosty , stąd nie może być rozłożona na sumę prostą od prostych modułów . Szereg kompozycji z modułu M jest skończoną zwiększenie filtracji z M przez podmodułów tak, że kolejne ilorazy są proste i służy jako zamiennik bezpośredniego suma rozkładu M do jej prostych składników.

Seria kompozycji może nie istnieć, a jeśli już, to nie musi być unikalna. Niemniej jednak grupa wyników znana pod ogólną nazwą twierdzenie Jordana–Höldera twierdzi, że ilekroć istnieją serie kompozycji, klasy izomorfizmu prostych utworów (choć być może nie ich położenie w omawianym szeregu kompozycji) i ich krotności są jednoznacznie określone. Serie kompozycji można zatem wykorzystać do zdefiniowania niezmienników skończonych grup i modułów artyńskich .

Pokrewnym, ale odrębnym pojęciem jest szereg główny : szereg złożony jest maksymalnym szeregiem podnormalnym , podczas gdy szereg główny jest maksymalnym szeregiem normalnym .

Dla grup

Jeśli grupa G ma normalną podgrupę N , wówczas można utworzyć grupę czynnikową G / N , a niektóre aspekty badania struktury G można rozbić poprzez badanie „mniejszych” grup G/N i N . Jeśli G nie ma normalnej podgrupy, która różni się od G i grupy trywialnej, to G jest prostą grupą . W przeciwnym razie naturalnie pojawia się pytanie, czy G można zredukować do prostych „kawałków”, a jeśli tak, to czy istnieją jakieś unikalne cechy sposobu, w jaki można to zrobić?

Bardziej formalnie, A series kompozycji z grupy G jest seria nienormalny skończonej długości

surowych wtrąceń tak, że każdy z H i jest maksymalna właściwa normalny podgrupa H i +1 . Równoważnie szereg złożony jest szeregiem podnormalnym takim, że każda grupa czynników H i + 1 / H i jest prosta . Grupy czynników nazywane są czynnikami składowymi .

Szereg podnormalny jest szeregiem złożonym wtedy i tylko wtedy, gdy ma maksymalną długość. Oznacza to, że nie ma dodatkowych podgrup, które można „wstawić” do serii kompozycji. Długość n szeregu nazywana jest długością kompozycji .

Jeśli kompozycja występuje cykl dla grupy G , to wszystkie serie nienormalnym G mogą być dopracowane na serię kompozycji nieformalnie wkładając podgrupy w cyklu aż do maksymalności. Każda skończona grupa ma serię kompozycji, ale nie każda nieskończona grupa ma jedną. Na przykład nie ma serii kompozycji.

Wyjątkowość: twierdzenie Jordana–Höldera

Grupa może mieć więcej niż jedną serię kompozycji. Jednak twierdzenie Jordana–Höldera (nazwane na cześć Camille Jordan i Otto Hölder ) mówi, że dowolne dwie serie kompozycyjne danej grupy są równoważne. Oznacza to, że mają taką samą długość składu i te same współczynniki składu, aż do permutacji i izomorfizmu . Twierdzenie to można udowodnić za pomocą twierdzenia o doprecyzowaniu Schreiera . Twierdzenie Jordana–Höldera jest również prawdziwe dla nadskończonych rosnących szeregów złożeniowych, ale nie nadskończonych zstępujących szeregów złożeniowych ( Birkhoff 1934 ). Baumslag (2006) podaje krótki dowód twierdzenia Jordana-Höldera, przecinając wyrazy z jednego szeregu podnormalnego z wyrazami z drugiego szeregu.

Przykład

Dla cyklicznej grupy rzędu n , szereg kompozycji odpowiada uporządkowanym pierwszym faktoryzacji n , iw rzeczywistości dostarcza dowodu na fundamentalne twierdzenie arytmetyki .

Na przykład, grupa cykliczna zawiera i o trzy różne serie kompozycji. Otrzymane w poszczególnych przypadkach sekwencje czynników składu to i

Do modułów

Definicja serii składu dla modułów ogranicza całą uwagę do podmodułów, ignorując wszystkie podgrupy dodatków, które nie są podmodułami. Biorąc pod uwagę pierścień R i moduł R M , szereg kompozycji dla M jest szeregiem podmodułów

gdzie wszystkie inkluzje są ścisłe, a J k jest maksymalnym podmodułem J k +1 dla każdego k . Jeśli chodzi o grupy, jeśli M ma w ogóle szereg kompozycji, to każdy skończony ściśle rosnący szereg submodułów M może zostać uściślany do szeregu kompozycji, a dowolne dwie serie kompozycji dla M są równoważne. W tym przypadku (proste) iloraz moduły J k + 1 / J K są znane jako czynniki kompozycji z M i Jordan oprawka twierdzenie, upewniając się, że ilość przypadków występowania każdego typu izomorfizmu prostego R -module jako współczynnik składu nie zależy od wyboru serii składu.

Powszechnie wiadomo, że moduł ma skończoną serię kompozycji wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno modułem artyńskim, jak i modułem noetheryjskim . Jeśli R jest pierścieniem artyńskim , to każdy skończenie wygenerowany moduł R jest artyńskim i noeteryńskim, a zatem ma skończoną serię kompozycji. W szczególności, dla dowolnego ciała K , każdy moduł skończenie wymiarowy dla algebry skończenie wymiarowej nad K ma szereg składu, unikalny aż do równoważności.

Uogólnienie

Grupy z zestawem operatorów uogólniają akcje grupowe i akcje pierścieniowe na grupie. Jednolite podejście zarówno do grup, jak i modułów można przyjąć, jak w ( Bourbaki 1974 , rozdz. 1) lub ( Isaacs 1994 , rozdz. 10), upraszczając część ekspozycji. Grupa G jest postrzegana jako oddziałująca na elementy (operatory) ze zbioru Ω . Uwaga ogranicza się wyłącznie do podgrup niezmiennych pod działaniem elementów z Ω , zwanych Ω -podgrupami. Zatem Ω -composition seria musi korzystać wyłącznie Ω podgrup, a Ω -composition czynniki muszą być tylko Ω-proste. Powyższe standardowe wyniki, takie jak twierdzenie Jordana-Höldera, są ustalane z prawie identycznymi dowodami.

Odzyskane szczególne przypadki obejmują sytuacje, w których Ω = G, tak że G działa na siebie. Ważnym tego przykładem jest sytuacja, gdy elementy G działają przez koniugację, tak że zbiór operatorów składa się z wewnętrznych automorfizmów . Seria kompozycyjna w ramach tej akcji jest właśnie serią naczelną . Struktury modułowe są przypadkiem Ω-akcji, gdzie Ω jest pierścieniem i spełnione są pewne dodatkowe aksjomaty.

Dla obiektów z kategorii abelowej

Serii kompozycji o obiektu A AA, Abelowych kategorii jest sekwencją podobiektów

taki, że każdy iloraz obiektu X i  / X i  + 1 jest prosty (dla 0 ≤ i < n ). Jeśli ma szereg kompozycji, liczba całkowita n zależy tylko od A i jest nazywany długość od A .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Birkhoff, Garrett (1934), „Transfinite podgrupa serii” , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 40 (12): 847-850, doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05982-2
  • Baumslag, Benjamin (2006), „Prosty sposób udowodnienia twierdzenia Jordana-Höldera-Schreiera”, American Mathematical Monthly , 113 (10): 933-935, doi : 10.2307/27642092
  • Bourbaki, N. (1974), Algebra , Hermann, Paryż; Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass.
  • Isaacs, I. Martin (1994), Algebra: Kurs podyplomowy , Brooks / Cole, ISBN 978-0-534-19002-6
  • Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Kategorie i snopy