Specjalne zajęcia półgrup - Special classes of semigroups

W matematyce , o półgrupa jest niepusty ustaw wraz z asocjacyjnej operacji binarnej . Specjalna klasa półgrup to klasa o półgrup spełniających dodatkowe właściwości lub warunków. Zatem klasa przemiennych półgrup składa się ze wszystkich tych półgrup w którym binarne spełnia EKSPLOATACJI własności przemienność że AB = BA dla wszystkich elementów a i b w półgrupa. Klasa skończonych półgrup składa się z tych półgrup, dla których podstawowy zbiór ma skończoną liczność . Od członków klasy półgrup Brandta wymaga się spełnienia nie tylko jednego warunku, ale zestawu dodatkowych właściwości. Zdefiniowano duży zbiór specjalnych klas półgrup, chociaż nie wszystkie z nich były równie intensywnie badane.

W algebraicznej teorii półgrup w konstruowaniu specjalne zajęcia, uwaga skupia się tylko na te właściwości, ograniczeń i warunków, które mogą być wyrażone w operacjach binarnych w półgrup i sporadycznie na liczności i podobnych właściwości podzbiorów tego zbioru bazowego . Zakłada się, że bazowe zbiory nie zawierają żadnych innych struktur matematycznych , takich jak porządek lub topologia .

Jak w każdej teorii algebraicznej, jednym z głównych problemów teorii półgrup jest klasyfikacja wszystkich półgrup i pełny opis ich budowy. W przypadku półgrup, ponieważ operacja binarna jest wymagana do spełnienia jedynie właściwości asocjatywności, problem klasyfikacji jest uważany za niezwykle trudny. Uzyskano opisy konstrukcji dla określonych klas specjalnych półgrup. Na przykład struktura zbiorów idempotentów regularnych półgrup jest całkowicie znana. Opisy struktur przedstawiono w ujęciu bardziej znanych typów półgrup. Najbardziej znanym typem półgrupy jest grupa .

Poniżej przedstawiono (koniecznie niekompletną) listę różnych klas specjalnych półgrup. W miarę możliwości właściwości definiujące są sformułowane w kategoriach operacji binarnych w półgrupach. Odniesienia wskazują lokalizacje, z których pochodzą właściwości definiujące.

Notacje

Przy opisywaniu definiujących właściwości różnych specjalnych klas półgrup przyjęto następujące konwencje notacyjne.

Notacje

Notacja	Znaczenie
S	Arbitralna półgrupa
mi	Zestaw idempotentów w S
sol	Grupa jednostek w S.
ja	Minimalny ideał S.
V	Regularne elementy S.
X	Zbiór arbitralny
a , b , c	Arbitralne elementy S.
x , y , z	Specyficzne elementy S.
e , f , g	Arbitralne elementy E.
godz	Specyficzny element E.
l , m , n	Dowolne dodatnie liczby całkowite
j , k	Określone liczby całkowite dodatnie
v , w	Arbitralne elementy V
0	Element zerowy S.
1	Element tożsamości S.
S 1	S jeśli 1 ∈ S ; S ∪ {1} jeśli 1 ∉ S
a ≤ L b a ≤ R b a ≤ H b a ≤ J b	S 1 a ⊆ S 1 b aS 1 ⊆ bS 1 S 1 a ⊆ S 1 b i aS 1 ⊆ bS 1 S 1 aS 1 ⊆ S 1 bS 1
L , R , H , D , J	Relacje Greena
L a , R a , H a , D a , J a	Zielone lekcje zawierające A
${\ Displaystyle x ^ {\ omega}}$	Jedyna potęga x, która jest idempotentna. Ten element istnieje, zakładając, że półgrupa jest (lokalnie) skończona. Zobacz różne półgrupy skończone, aby uzyskać więcej informacji na temat tego zapisu.
${\ displaystyle | X |}$	Liczność X przy założeniu, że X jest skończona.

Na przykład definicję xab = xba należy czytać jako:

• Istnieje x element półgrupa w taki sposób, że dla każdego z A i B w półgrupa, Xab i Xbal są równe.

Lista klas specjalnych półgrup

Trzecia kolumna stwierdza, czy ten zestaw półgrup stanowi różnorodność . I czy zbiór skończonych półgrup tej specjalnej klasy tworzy różnorodne półgrupy skończone . Zauważ, że jeśli ten zbiór jest różnorodnością, to jego zbiór elementów skończonych jest automatycznie różnorodnością półgrup skończonych.

Lista klas specjalnych półgrup

Terminologia	Definiowanie właściwości	Odmiana półgrupy skończonej	Bibliografia)
Półgrupa skończona	S jest zbiorem skończonym .	Nie nieskończone Skończone
Pusta półgrupa	S = ${\ displaystyle \ emptyset}$	Nie
Trywialna półgrupa	Kardynalność S wynosi 1.	Nieskończony Skończone
Monoid	1, S	Nie	Gril s. 3
Zespół (półgrupa Idempotentna)	a 2 = a	Nieskończony Skończone	C&P s. 4
Prostokątny pasek	Pasmo takie, że abca = acba	Nieskończony Skończone	Fennemore
Semilattice	Pasmo przemienne, czyli: a 2 = a ab = ba	Nieskończony Skończone	C&P s. 24 Fennemore
Przemienna półgrupa	ab = ba	Nieskończony Skończone	C&P s. 3
Archimedesa przemienna półgrupa	ab = ba Istnieje x i k takie, że k = XB .		C&P s. 131
Nigdzie przemienna półgrupa	ab = ba   ⇒   a = b		C&P s. 26
Pozostawiony słabo przemienny	Istnieją x i k takie, że ( ab ) k = bx .		Nagy s. 59
Prawo słabo przemienne	Istnieją x i k takie, że ( ab ) k = xa .		Nagy s. 59
Słabo przemienny	Lewy i prawy słabo przemienne. To jest: Istnieją x i j takie, że ( ab ) j = bx . Istnieją y i k takie, że ( ab ) k = ya .		Nagy s. 59
Półgrupa warunkowo przemienna	Jeśli ab = ba, to axb = bxa dla wszystkich x .		Nagy s. 77
R -półgrupa przemienna	ab R ba		Nagy s. 69–71
RC -półgrupa przemienna	R - przemienna i warunkowo przemienna		Nagy s. 93–107
L -półgrupa przemienna	ab L ba		Nagy s. 69–71
LC -półgrupa przemienna	L - przemienna i warunkowo przemienna		Nagy s. 93–107
H - półgrupa przemienna	ab H ba		Nagy s. 69–71
Półgrupa quasi-przemienna	ab = ( ba ) k dla niektórych k .		Nagy s. 109
Prawa przemienna półgrupa	xab = xba		Nagy s. 137
Półgrupa przemienna lewa	abx = bax		Nagy s. 137
Zewnętrznie przemienna półgrupa	axb = bxa		Nagy s. 175
Półgrupa medialna	xaby = xbay		Nagy s. 119
Półgrupa E- k ( k stała)	( ab ) k = a k b k	Nieskończony Skończone	Nagy s. 183
Półgrupa wykładnicza	( ab ) m = a m b m dla wszystkich m	Nieskończony Skończone	Nagy s. 183
Półgrupa WE- k ( k stała)	Istnieje dodatnia liczba całkowita j zależna od pary (a, b) taka, że ​​( ab ) k + j = a k b k ( ab ) j = ( ab ) j a k b k		Nagy s. 199
Słabo wykładnicza półgrupa	WE- m dla wszystkich m		Nagy s. 215
Prawa półgrupa anulująca	ba = ca   ⇒   b = c		C&P s. 3
Lewa półgrupa anulująca	ab = ac   ⇒   b = c		C&P s. 3
Półgrupa anulująca	To znaczy lewa i prawa półgrupa anulująca ab = ac   ⇒   b = c ba = ca   ⇒   b = c		C&P s. 3
`` E '' - półgrupa inwersyjna ( półgrupa E- gęsta)	Istnieje x tak, że ax ∈ E .		C&P s. 98
Regularna półgrupa	Istnieje x takie, że axa = a .		C&P s. 26
Zwykły zespół	Pasmo takie, że abaca = abca	Nieskończony Skończone	Fennemore
Półgrupa wewnątrz regularna	Istnieją x i y takie, że xa 2 y = a .		C&P s. 121
Opuścił regularną półgrupę	Istnieje x takie, że xa 2 = a .		C&P s. 121
Lewy regularny zespół	Pasmo takie, że aba = ab	Nieskończony Skończone	Fennemore
Prawa regularna półgrupa	Istnieje x takie, że a 2 x = a .		C&P s. 121
Prawy regularny zespół	Pasmo takie, że aba = ba	Nieskończony Skończone	Fennemore
Całkowicie regularna półgrupa	H a to grupa.		Gril s. 75
(odwrotna) półgrupa Clifforda	Regularna półgrupa, w której centralni są wszyscy idempotenci. Równoważnie dla półgrupy skończonej: ${\ Displaystyle a ^ {\ omega} b = ba ^ {\ omega}}$	Skończone	Petrich s. 65
k- regularna półgrupa ( k stała)	Istnieje x takie, że a k xa k = a k .		Hari
Ostatecznie regularna półgrupa (π-regularna półgrupa, quasi-regularna półgrupa)	Istnieje k i x (w zależności od a ) takie, że a k xa k = a k .		Edwa Shum Higg s. 49
Półgrupa quasi-okresowa, epogrupa , półgrupa związana z grupą, całkowicie (lub silnie) π-regularna półgrupa i wiele innych; zobacz listę Kela )	Istnieje K (w zależności od a ) tak, że K należy do podgrupy o S		Kela Gril s. 110 Higg str. 4
Półgrupa prymitywna	Jeśli 0 ≠ e i f = ef = fe następnie e = f .		C&P s. 26
Jednostkowa półgrupa regularna	Istnieje u w G takie, że aua = a .		Tvm
Silnie jednostkowa, regularna półgrupa	Istnieje u w G takie, że aua = a . E D C ⇒ F = V -1 EV jakiegoś v w G .		Tvm
Półgrupa prawosławna	Istnieje x takie, że axa = a . E jest subsemigroup z S .		Gril s. 57 Howi s. 226
Półgrupa odwrotna	Istnieje unikalne x takie, że axa = a i xax = x .		C&P s. 28
Półgrupa odwrotna lewa ( R -niepotentna)	R a zawiera unikalny h .		Gril s. 382
Półgrupa prawostronna odwrotna ( L -niepotentna)	L a zawiera unikalny h .		Gril s. 382
Półgrupa lokalnie odwrotna (półgrupa pseudoinverse)	Istnieje x takie, że axa = a . E to pseudosemilattice.		Gril s. 352
M - półgrupa odwrotna	Istnieją x i y takie, że baxc = bc i byac = bc .		C&P s. 98
Półgrupa pseudoinverse ( półgrupa lokalnie odwrotna)	Istnieje x takie, że axa = a . E to pseudosemilattice.		Gril s. 352
Obfita półgrupa	Klasy L * a i R * a , gdzie a L * b, jeśli ac = ad ⇔ bc = bd i a R * b, jeśli ca = da ⇔ cb = db , zawierają idempotenty.		Chen
Rpp-semigroup (Prawa główna półgrupa rzutowa)	Klasa L * a , gdzie a L * b, jeśli ac = ad ⇔ bc = bd , zawiera co najmniej jeden idempotent.		Shum
Półgrupa Lpp (Lewa główna półgrupa projekcyjna)	Klasa R * a , gdzie a R * b, jeśli ca = da ⇔ cb = db , zawiera co najmniej jeden idempotent.		Shum
Półgrupa zerowa ( półgrupa zerowa )	0 ∈ S ab = 0 Równoważnie ab = cd	Nieskończony Skończone	C&P s. 4
Lewa półgrupa zerowa	ab = a	Nieskończony Skończone	C&P s. 4
Lewe pasmo zerowe	Lewa półgrupa zerowa, która jest pasmem. To jest: ab = a aa = a	Nieskończony Skończone	Fennemore
Opuścić grupę	Półgrupa, która jest prosta i prawa anulująca. Iloczyn bezpośredni lewej półgrupy zerowej i grupy abelowej.		C&P s. 37, 38
Prawa półgrupa zerowa	ab = b	Nieskończony Skończone	C&P s. 4
Prawe pasmo zerowe	Właściwa półgrupa zerowa, która jest pasmem. To jest: ab = b aa = a	Nieskończony Skończone	Fennemore
Właściwa grupa	Półgrupa, która jest prawostronna prosta i lewostronna anulująca. Iloczyn bezpośredni prawej półgrupy zerowej i grupy.		C&P s. 37, 38
Prawa grupa abelowa	Prawidłowa prosta i warunkowo przemienna półgrupa. Iloczyn bezpośredni prawej półgrupy zerowej i grupy abelowej.		Nagy s. 87
Jednogrupowa półgrupa	E jest singletonem.	Nieskończony Skończone	C&P s. 21
Lewa półgrupa redukcyjna	Jeśli xa = xb dla wszystkich x, to a = b .		C&P s. 9
Prawa półgrupa redukcyjna	Jeśli ax = bx dla wszystkich x, to a = b .		C&P s. 4
Półgrupa redukcyjna	Jeśli xa = xb dla wszystkich x, to a = b . Jeśli ax = bx dla wszystkich x, to a = b .		C&P s. 4
Oddzielna półgrupa	ab = a 2 = b 2   ⇒   a = b		C&P s. 130–131
Odwracalna półgrupa	Sa ∩ Sb ≠ Ø aS ∩ bS ≠ Ø		C&P s. 34
Prawa odwracalna półgrupa	Sa ∩ Sb ≠ Ø		C&P s. 34
Lewa odwracalna półgrupa	aS ∩ bS ≠ Ø		C&P s. 34
Półgrupa aperiodyczna	Istnieje k (w zależności od a ) takie, że a k = a k + 1 Równoważnie, dla skończonej półgrupa: dla każdego A , . ${\ Displaystyle a ^ {\ omega} a = a ^ {\ omega}}$		KKM s. 29 Szpilka p. 158
ω-półgrupa	E jest policzalnym łańcuchem malejącym w kolejności a ≤ H b		Gril s. 233–238
Lewa półgrupa Clifforda ( półgrupa LC)	aS ⊆ Sa		Shum
Prawa półgrupa Clifforda ( półgrupa RC)	Sa ⊆ aS		Shum
Orthogroup	H a to grupa. E jest podgrupą S		Shum
Pełna przemienna półgrupa	ab = ba a k należy do podgrupy S dla jakiegoś k . Każdy niepusty podzbiór E ma kreskę dolną.		Gril s. 110
Nilsemigroup (półgrupa nilpotentna)	0 ∈ S a k = 0 dla pewnej liczby całkowitej k, która zależy od a . Równoważnie, na skończoną półgrupa: dla każdego elementu x i y , . ${\ Displaystyle yx ^ {\ omega} = x ^ {\ omega} = x ^ {\ omega} y}$	Skończone	Gril s. 99 Szpilka p. 148
Półgrupa elementarna	ab = ba S ma postać G ∪ N gdzie G to grupa, a 1 ∈ G N to ideał, nilsemigroup, a 0 ∈ N		Gril s. 111
E - półgrupa wojskowa	Istnieje unikalne x takie, że axa = a i xax = x . ea = e   ⇒   a ∈ E		Gril s. 245
Skończona półgrupa	S ma prezentację ( X ; R ), w której X i R są skończone.		Gril s. 134
Podstawowa półgrupa	Równości, S jest jedynym zbieżność zawarte w H .		Gril s. 88
Idempotentnie wygenerowana półgrupa	S jest równy półgrupa generowanego przez E .		Gril s. 328
Lokalnie skończona półgrupa	Każda nieskończenie wygenerowana podgrupa S jest skończona.	Nie nieskończone Skończone	Gril s. 161
N - półgrupa	ab = ba Istnieje x i dodatnia liczba całkowita n taka, że a = xb n . ax = ay   ⇒   x = y xa = ya   ⇒   x = y E = Ř		Gril s. 100
L - półgrupa jednogrupowa (prawostronna półgrupa odwrotna)	L a zawiera unikalny e .		Gril s. 362
R - półgrupa jednogrupowa (półgrupa odwrotna lewa)	R a zawiera unikalną e .		Gril s. 362
Lewa prosta półgrupa	L a = S		Gril s. 57
Właściwa prosta półgrupa	R a = S		Gril s. 57
Podelementarna półgrupa	ab = ba S = C ∪ N gdzie C jest półgrupą anulującą, N jest półgrupą nilsemgrupą lub półgrupą jednoelementową. Dotyczy to ideałem S . Zerowy N to 0 S . Dla x , y w S i c w C , cx = cy oznacza, że x = y .		Gril s. 134
Półgrupa symetryczna ( półgrupa pełnej transformacji )	Zbiór wszystkich mapowań X do siebie z kompozycją mapowań jako operacja binarna.		C&P s. 2
Półgrupa słabo redukcyjna	Jeśli xz = yz i zx = zy dla wszystkich z w S, to x = y .		C&P s. 11
Prawidłowa jednoznaczna półgrupa	Jeśli x , y ≥ R z, to x ≥ R y lub y ≥ R x .		Gril s. 170
Pozostawiono jednoznaczną półgrupę	Jeśli x , y ≥ L z, to x ≥ L y lub y ≥ L x .		Gril s. 170
Jednoznaczna półgrupa	Jeśli x , y ≥ R z, to x ≥ R y lub y ≥ R x . Jeśli x , y ≥ L z, to x ≥ L y lub y ≥ L x .		Gril s. 170
Pozostawione 0 - jednoznaczne	0∈ S 0 ≠ x ≤ L y , z   ⇒   y ≤ L z lub z ≤ L y		Gril s. 178
Prawo 0 - jednoznaczne	0∈ S 0 ≠ x ≤ R y , z   ⇒   y ≤ L z lub z ≤ R y		Gril s. 178
0-jednoznaczna półgrupa	0∈ S 0 ≠ x ≤ L y , z   ⇒   y ≤ L z lub z ≤ L y 0 ≠ x ≤ R y , z   ⇒   y ≤ L z lub z ≤ R y		Gril s. 178
Lewa półgrupa Putcha	a ∈ bS 1   ⇒   a n ∈ b 2 S 1 dla jakiegoś n .		Nagy s. 35
Prawa półgrupa Putcha	a ∈ S 1 b   ⇒   a n ∈ S 1 b 2 dla jakiegoś n .		Nagy s. 35
Półgrupa Putcha	a ∈ S 1 b S 1   ⇒   a n ∈ S 1 b 2 S 1 dla pewnej dodatniej liczby całkowitej n		Nagy s. 35
Półgrupa Bisimple ( półgrupa D- prosta)	D a = S		C&P s. 49
0-bisimple półgrupa	0 ∈ S S - {0} jest D -class z S .		C&P s. 76
Całkowicie prosta półgrupa	Nie istnieje A ⊆ S , ≠ S takie, że SA ⊆ i AS ⊆ . Istnieje h w E takie, że ilekroć hf = f i fh = f , mamy h = f .		C&P s. 76
Całkowicie 0-prosta półgrupa	0 ∈ S S 2 ≠ 0 Jeśli ⊆ S jest taka, że CO ⊆ i SA ⊆ następnie = 0 lub = S . Istnieje niezerowe h w E takie, że ilekroć hf = f , fh = f i f ≠ 0, mamy h = f .		C&P s. 76
D - półgrupa prosta (półgrupa Bisimple)	D a = S		C&P s. 49
Półgrupa półprosta	Niech J ( a ) = S 1 aS 1 , I ( a ) = J ( a ) - J a . Każda półgrupa czynnika Reesa J ( a ) / I ( a ) jest 0-prosta lub prosta.		C&P s. 71–75
${\ displaystyle \ mathbf {CS}}$ : Prosta półgrupa	J = S . (Nie ma A ⊆ S , A ≠ S takiego, że SA ⊆ A i AS ⊆ A. ), równoważnie, dla półgrupy skończonej: i . ${\ displaystyle a ^ {\ omega} a = a}$${\ Displaystyle (aba) ^ {\ omega} = a ^ {\ omega}}$	Skończone	C&P s. 5 Higg s. 16 Pin s. 151, 158
0-prosta półgrupa	0 ∈ S S 2 ≠ 0 Jeśli A ⊆ S jest takie, że AS ⊆ A i SA ⊆ A, to A = 0.		C&P s. 67
Lewa 0-prosta półgrupa	0 ∈ S S 2 ≠ 0 Jeśli A ⊆ S jest takie, że SA ⊆ A to A = 0.		C&P s. 67
Prawa półgrupa prosta 0	0 ∈ S S 2 ≠ 0 Jeśli A ⊆ S jest takie, że AS ⊆ A, to A = 0.		C&P s. 67
Półgrupa cykliczna ( półgrupa monogeniczna )	S = { W , w 2 , w 3 , ...} dla niektórych W w S	Nie nieskończone Nie skończone	C&P s. 19
Półgrupa okresowa	{ a , a 2 , a 3 , ...} jest zbiorem skończonym.	Nie nieskończone Skończone	C&P s. 20
Półgrupa bicykliczna	1, S S. przyznaje się do prezentacji . ${\ displaystyle \ langle x, y \ mid xy = 1 \ rangle}$		C&P s. 43–46
Półgrupa pełnej transformacji T X (półgrupa symetryczna)	Ustaw wszystkich odwzorowań z X w siebie ze składu odwzorowań jak operacji binarnej .		C&P s. 2
Prostokątny pasek	Pasmo takie, że aba = a Równoważnie abc = ac	Nieskończony Skończone	Fennemore
Półgrupa prostokątna	Ilekroć trzy z toporów , ay , bx , by są równe, wszystkie cztery są równe.		C&P s. 97
Półgrupa odwrotna symetryczna I X	Półgrupa z jednego do jednego częściowego przemian z X .		C&P s. 29
Półgrupa Brandta	0 ∈ S ( ac = bc ≠ 0 lub ca = cb ≠ 0) ⇒   a = b ( ab ≠ 0 i bc ≠ 0) ⇒   abc ≠ 0 Jeśli a ≠ 0 istnieje unikalne x , y , z , takie, że xa = a , ay = a , za = y . ( e ≠ 0 if ≠ 0) ⇒   eSf ≠ 0.		C&P s. 101
Darmowa półgrupa F X	Zbiór skończonych ciągów elementów X z operacją ( x 1 , ..., x m ) ( y 1 , ..., y n ) = ( x 1 , ..., x m , y 1 , .. ., y n )		Gril s. 18
Półgrupa macierzy Reesa	G 0 grupa G z przylegającym 0. P : Λ × I → G 0 a mapa. Zdefiniuj operację w I × G 0 × Λ przez ( i , g , λ) ( j , h , μ) = ( i , g P (λ, j ) h , μ). ( I , G 0 , Λ) / ( I × {0} × Λ) to półgrupa macierzy Reesa M 0 ( G 0 ; I, Λ; P ).		C&P s. 88
Półgrupa przekształceń liniowych	Półgrupa z liniowych przemian o przestrzeni wektorowej V nad polu F na podstawie składu funkcji .		C&P s. 57
Półgrupa relacji binarnych B X	Zbiór wszystkich relacji binarnych na X w składzie		C&P s.13
Półgrupa numeryczna	0 ∈ S ⊆ N = {0,1,2, ...} pod +. N - S jest skończone		Delg
Półgrupa z inwolucją (* -semgrupa)	Istnieje jednoargumentowa operacja a → a * w S taka, że a ** = a i ( ab ) * = b * a *.		Jak ja
Półgrupa Baera – Leviego	Półgrupa przekształceń jeden do jednego f z X takich, że X - f ( X ) jest nieskończona.		C&P II rozdział 8
U - półgrupa	Istnieje jednoargumentowa operacja a → a 'w S taka, że ​​( a ') '= a .		Howi p.102
I - półgrupa	Istnieje jednoargumentowa operacja a → a 'w S taka, że ​​( a ') '= a i aa ' a = a .		Howi p.102
Semiband	Zwykła półgrupa generowana przez jej idempotentów.		Howi p.230
Grupa	Istnieje h takie, że dla wszystkich a, ah = ha = a . Istnieje x (w zależności od a ) takie, że ax = xa = h .	Nie nieskończone Skończone
Półgrupa topologiczna	Półgrupa będąca jednocześnie przestrzenią topologiczną. Taki, że iloczyn półgrupy jest ciągły.	Nie dotyczy	Szpilka p. 130
Półgrupa syntaktyczna	Najmniejszy skończony monoid, który może rozpoznać podzbiór innej półgrupy.		Szpilka p. 14
${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ : R- trywialne monoidy	R - banalne. Oznacza to, że każda klasa równoważności R jest trywialna. Równoważnie, dla skończonej półgrupa: . ${\ Displaystyle (ab) ^ {\ omega} a = (ab) ^ {\ omega}}$	Skończone	Szpilka p. 158
${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ : L- trywialne monoidy	L - banalne. Oznacza to, że każda klasa L- równoważności jest trywialna. Równoważnie, dla skończonych monoids, . ${\ Displaystyle b (ab) ^ {\ omega} = (ab) ^ {\ omega}}$	Skończone	Szpilka p. 158
${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ : J- trywialne monoidy	Monoidy, które są j- trywialne. Oznacza to, że każda klasa równoważności J jest trywialna. Równoważnie monoidy, które są L- trywialne i R- trywialne.	Skończone	Szpilka p. 158
${\ displaystyle \ mathbf {R_ {1}}}$ : idempotentne i R- trywialne monoidy	R - banalne. Oznacza to, że każda klasa równoważności R jest trywialna. Równoważnie dla skończonych monoidów: aba = ab .	Skończone	Szpilka p. 158
${\ displaystyle \ mathbf {L_ {1}}}$ : idempotentne i L- trywialne monoidy	L - banalne. Oznacza to, że każda klasa L- równoważności jest trywialna. Równoważnie dla skończonych monoidów: aba = ba .	Skończone	Szpilka p. 158
${\ displaystyle \ mathbb {D} \ mathbf {S}}$ : Półgrupa, której regularne D to półgrupa	Równoważnie, dla skończonych monoids: . ${\ Displaystyle (a ^ {\ omega} a ^ {\ omega} a ^ {\ omega}) ^ {\ omega} = a ^ {\ omega}}$ Równoważnie, zwykłe klasy H to grupy, Równoważnie, v ≤ J a implikuje v R va i v L av Równoważnie, dla każdego idempotentnego e , zbiór a taki, że e ≤ J a jest zamknięty pod iloczynem (tj. Ten zbiór jest podgrupą) Równoważnie nie istnieje idempotentne e i f takie, że e J f, ale nie ef J e Równoważnie monoid nie dzieli ${\ displaystyle B_ {2} ^ {1}}$${\ Displaystyle S \ razy S}$	Skończone	Pin s. 154, 155, 158
${\ displaystyle \ mathbb {D} \ mathbf {A}}$ : Półgrupa, której regularne D są półgrupami aperiodycznymi	Każda zwykła klasa D jest nieokresową półgrupą Odpowiednio każda zwykła klasa D jest prostokątnym paskiem Równoważnie, regularne klasy D są półgrupami, a ponadto S jest aperiodyczne Odpowiednio dla skończonej monoidy: regularne klasy D są półgrupami, a ponadto ${\ Displaystyle aa ^ {\ omega} = a ^ {\ omega}}$ Odpowiednio, e ≤ J a implikuje eae = e Równoważnie, e ≤ J f implikuje efe = e .	Skończone	Szpilka p. 156, 158
${\ displaystyle \ ell \ mathbf {1}}$ / : Lewa trywialna półgrupa ${\ displaystyle \ mathbf {K}}$	e : eS = e , Równoważnie I jest lewą półgrupą zerową równą E , Równoważnie, dla półgrupy skończonej: I jest lewą półgrupą zerową równa się , ${\ Displaystyle S ^ {| S |}}$ Równoważnie, dla skończonej półgrupa: , ${\ displaystyle a_ {1} \ kropki a_ {n} y = a_ {1} \ kropki a_ {n}}$ Równoważnie, dla skończonej półgrupa: . ${\ Displaystyle a ^ {\ omega} b = a ^ {\ omega}}$	Skończone	Pin s. 149, 158
${\ displaystyle \ mathbf {r1}}$ / : Właściwie trywialna półgrupa ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$	e : Se = e , Równoważnie I jest prawą półgrupą zerową równą E , Równoważnie, dla półgrupy skończonej: I jest właściwą półgrupą zerową równa się , ${\ Displaystyle S ^ {| S |}}$ Równoważnie, dla skończonej półgrupa: , ${\ Displaystyle ba_ {1} \ kropki a_ {n} = a_ {1} \ kropki a_ {n}}$ Równoważnie, dla skończonej półgrupa: . ${\ Displaystyle ba ^ {\ omega} = a ^ {\ omega}}$	Skończone	Pin s. 149, 158
${\ displaystyle \ mathbb {L} \ mathbf {1}}$ : Lokalnie trywialna półgrupa	eSe = e , Równoważnie I jest równe E , Równoważnie eaf = ef , Równoważnie, dla skończonej półgrupa: , ${\ Displaystyle ya_ {1} \ kropki a_ {n} = a_ {1} \ kropki a_ {n}}$ Równoważnie, dla skończonej półgrupa: , ${\ Displaystyle a_ {1} \ kropki a_ {n} ya_ {1} \ kropki a_ {n} = a_ {1} \ kropki a_ {n}}$ Równoważnie, dla skończonej półgrupa: . ${\ Displaystyle a ^ {\ omega} ba ^ {\ omega} = a ^ {\ omega}}$	Skończone	Pin s. 150, 158
${\ displaystyle \ mathbb {L} \ mathbf {G}}$ : Grupy lokalne	eSe to grupa, Odpowiednio, E ⊆ I , Równoważnie, dla skończonej półgrupa: . ${\ Displaystyle (a ^ {\ omega} ba ^ {\ omega}) ^ {\ omega} = a ^ {\ omega}}$	Skończone	Pin s. 151, 158

Lista klas specjalnych uporządkowanych półgrup

Terminologia	Definiowanie właściwości	Różnorodność	Bibliografia)
Zamówiona półgrupa	Półgrupa z relacją częściowego rzędu ≤, tak że a ≤ b implikuje c • a ≤ c • b i a • c ≤ b • c	Skończone	Szpilka p. 14
${\ displaystyle \ mathbf {N} ^ {+}}$	Nilpotentne półgrupy skończone z ${\ displaystyle a \ leq b ^ {\ omega}}$	Skończone	Pin s. 157, 158
${\ displaystyle \ mathbf {N} ^ {-}}$	Nilpotentne półgrupy skończone z ${\ displaystyle b ^ {\ omega} \ leq a}$	Skończone	Pin s. 157, 158
${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {1} ^ {+}}$	Semilattices z ${\ displaystyle 1 \ leq a}$	Skończone	Pin s. 157, 158
${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {1} ^ {-}}$	Semilattices z ${\ displaystyle a \ leq 1}$	Skończone	Pin s. 157, 158
${\ displaystyle \ mathbb {L} \ mathbf {J} _ {1} ^ {+}}$ lokalnie dodatnia półgrupa J-trywialna	Skończone półgrupy satysfakcjonujące ${\ Displaystyle a ^ {\ omega} \ leq a ^ {\ omega} ba ^ {\ omega}}$	Skończone	Pin s. 157, 158

Bibliografia